人教A版 (2019)选择性必修 第二册第五章 一元函数的导数及其应用本章综合与测试同步测试题

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第五章导数章末检测（二）
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若f(x)＝sin α－cos x，则f′(x)等于(　　)
A．sin x　　　　　　　　　 B．cos x
C．cos α＋sin x D．2sin α＋cos x
解析：选A　函数是关于x的函数，因此sin α是一个常数．
2．以正弦曲线y＝sin x上一点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是(　　)
A.∪ B．[0，π)
C. D.∪
解析：选A　y′＝cos x，∵cos x∈[－1,1]，∴切线的斜率范围是[－1,1]，∴倾斜角的范围是∪.
3．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点(　　 )

A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选A　设极值点依次为x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，则f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上递增，在(x1，x2)，(x3，b)上递减，因此，x1，x3是极大值点，只有x2是极小值点．
4．函数f(x)＝x2－ln x的单调递减区间是(　　)
A. B.
C. ， D.，
解析：选A　∵f′(x)＝2x－＝，当0＜x≤时，f′(x)≤0，故f(x)的单调递减区间为.
5．函数f(x)＝3x－4x3(x∈[0,1])的最大值是(　　)
A．1 B.
C．0 D．－1
解析：选A　f′(x)＝3－12x2，令f′(x)＝0，
则x＝－(舍去)或x＝，f(0)＝0，f(1)＝－1，
f＝－＝1，∴f(x)在[0,1]上的最大值为1.
6．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3处取得极值，则a＝(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：选D　f′(x)＝3x2＋2ax＋3，∵f′(－3)＝0.
∴3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，∴a＝5.
7．函数f(x)＝ax3＋ax2－2ax＋1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围是(　　)
A.
B.
C.
D.∪
解析：选D　f′(x)＝ax2＋ax－2a＝a(x＋2)(x－1)，
要使函数f(x)的图象经过四个象限，则f(－2)f(1)<0，即<0，解得a<－或a>.
故选D.
8．已知定义在R上的函数f(x)，f(x)＋xf′(x)＜0，若a＜b，则一定有(　　)
A．af(a)＜bf(b) B．af(b)＜bf(a)
C．af(a)＞bf(b) D．af(b)＞bf(a)
解析：选C　令y＝xf(x)，则y′＝[xf(x)]′＝x′f(x)＋xf′(x)＝f(x)＋xf′(x)＜0，∴函数y＝xf(x)是R上的减函数，∵a＜b，∴af(a)＞bf(b)．
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)
9．下列结论中不正确的是(　　)
A．若y＝cos，则y′＝－sin
B．若y＝sin x2，则y′＝2xcos x2
C．若y＝cos 5x，则y′＝－sin 5x
D．若y＝xsin 2x，则y′＝xsin 2x
解析：选ACD　对于A，y＝cos ，则y′＝sin，故错误；对于B，y＝sin x2，则y′＝2xcos x2，故正确；对于C，y＝cos 5x，则y′＝－5sin 5x，故错误；对于D，y＝xsin 2x，则y′＝sin 2x＋xcos 2x，故错误．
10．下列函数中，存在极值点的是(　　)
A．y＝x－ B．y＝2|x|
C．y＝－2x3－x D．y＝xln x
解析：选BD　由题意，函数y＝x－，则y′＝1＋＞0，所以函数y＝x－在(－∞，0)，(0，＋∞)内单调递增，没有极值点．函数y＝2|x|＝根据指数函数的图象与性质可得，当x＜0时，函数y＝2|x|单调递减，当x≥0时，函数y＝2|x|单调递增，所以函数y＝2|x|在x＝0处取得极小值；函数y＝－2x3－x，则y′＝－6x2－1＜0，所以函数y＝－2x3－x在R上单调递减，没有极值点；函数y＝xln x，则y′＝ln x＋1，x＞0，当x∈时，y′＜0，函数单调递减，当x∈时，y′＞0，函数单调递增，当x＝时，函数取得极小值，故选B、D.
11.定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)
A．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增
B．函数f(x)在区间上单调递减
C．函数f(x)在x＝1处取得极大值
D．函数f(x)在x＝0处取得极小值
解析：选ABD　根据导函数图象可知，f(x)在区间上，f′(x)＜0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增．所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，所以A、B、D选项正确，C选项错误．故选A、B、D.
12．已知函数f(x)＝ex－ax有两个零点x1，x2，且x1＜x2，则下列说法正确的是(　　)
A．a＞e
B．x1＋x2＞2
C．x1x2＞1
D．f(x)有极小值点x0，且x1＋x2＜2x0
解析：选ABD　由题意，函数f(x)＝ex－ax，则f′(x)＝ex－a，当a≤0时，f′(x)＝ex－a＞0在R上恒成立，所以函数f(x)单调递增，不符合题意；当a＞0时，令f′(x)＝ex－a＞0，解得x＞ln a，令f′(x)＝ex－a＜0，解得x＜ln a，所以函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，因为函数f(x)＝ex－ax有两个零点x1，x2且x1＜x2，则f(ln a)＝eln a－aln a＝a－aln a＝a(1－ln a)＜0，且a＞0，所以1－ln a＜0，解得a＞e，所以A项正确；又由x1＋x2＝ln(a2x1x2)＝2ln a＋ln(x1x2)＞2＋ln(x1x2)，取a＝，则f(2)＝e2－2a＝0，x2＝2，f(0)＝1＞0，所以0＜x1＜1，所以x1＋x2＞2，所以B正确；由f(0)＝1＞0，则0＜x1＜1，但x1x2＞1不能确定，所以C不正确；由函数f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，所以函数的极小值点为x0＝ln a，且x1＋x2＜2x0＝2ln a，所以D正确．故选A、B、D.
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．若f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
解析：f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝.
答案：
14．已知奇函数 f(x)＝则函数h(x)的最大值为________．
解析：先求出x>0时，f(x)＝－1的最小值．当x>0时， f′(x)＝，∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x) >0，函数单调递增，∴x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e.
答案：1－e
15．已知函数f(x)满足f(x)＝f(π－x)，且当x∈时，f(x)＝x＋sin x，设a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系是________．
解析：f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，
因为f′(x)＝1＋cos x≥0，
故f(x)在上是增函数，
∵>π－2>1>π－3>0，
∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c 答案：c 16．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是__________．
解析：f′(x)＝，令f′(x)＞0，得－1＜x＜1，
即函数f(x)的增区间为(－1,1)．
又因为f(x)在(m,2m＋1)上单调递增，
所以解得－1＜m≤0.
答案：(－1,0]
四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值4.
(1)求实数a，b的值；
(2)当a>0时，求曲线y＝f(x)在点(－2，f(－2))处的切线方程．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
∵f(1)＝1＋a＋b＋a2＝4，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
∴或
经检验都符合题意．
(2)当a>0时，由(1)得f(x)＝x3＋3x2－9x＋9，
∴f′(x)＝3x2＋6x－9.
∴f(－2)＝31，f′(－2)＝－9.
∴所求的切线方程为y－31＝－9(x＋2)，即9x＋y－13＝0.
18．(本小题满分12分)已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex.
(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝(－x2＋2)ex.令f′(x)>0，即(－x2＋2)ex>0，注意到ex>0，所以－x2＋2>0，解得－ 所以，函数f(x)的单调递增区间为(－，)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－)和(，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立．
又因为f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，所以[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0，注意到ex>0，因此－x2＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．
设y＝x＋1－，则y′＝1＋>0，即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，则y<1＋1－＝，故a≥.即实数a的取值范围为.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处取得极小值－.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若过点M(1，m)的直线与曲线y＝f(x)相切且这样的切线有三条，求实数m的取值范围．
解：(1)由题意得，f′(x)＝3ax2＋b.∵函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处取得极小值－，
∴即解得经检验满足条件，则函数f(x)的解析式为f(x)＝2x3－3x.
(2)设切点坐标为(x0,2x－3x0)，则曲线y＝f(x)的切线的斜率k＝f′(x0)＝6x－3，
切线方程为y－(2x－3x0)＝(6x－3)(x－x0)，
代入点M(1，m)，得m＝－4x＋6x－3，
依题意，方程m＝－4x＋6x－3有三个不同的实根．
令g(x)＝－4x3＋6x2－3，
则g′(x)＝－12x2＋12x＝－12x(x－1)，
∴当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0；
当x∈(0,1)时，g′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.
故g(x)＝－4x3＋6x2－3在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴g(x)极小值＝g(0)＝－3，g(x)极大值＝g(1)＝－1.
∴当－3 ∴－3 故实数m的取值范围是(－3，－1)．
20. (本小题满分12分)设函数f(x)＝－kln x，k>0.
(1)求f(x)的单调区间和极值；
(2)证明：若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．
解：(1)由f(x)＝－kln x(k>0)，
得x>0且f′(x)＝x－＝.
由f′(x)＝0，解得x＝(负值舍去)．
f(x)与f′(x)在区间(0，＋∞)上的情况如下：
x
(0，)

(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减

单调递增
所以，f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是(，＋∞)．
f(x)在x＝处取得极小值f()＝，无极大值．
(2)证明：由(1)知，f(x)在区间(0，＋∞)上的最小值为f()＝.
因为f(x)存在零点，所以≤0，从而k≥e.
当k＝e时，f(x)在区间(1，)上单调递减，且f()＝0，
所以x＝是f(x)在区间(1， ]上的唯一零点．
当k>e时，f(x)在区间(1， ]上单调递减，且f(1)＝>0，f()＝<0，
所以f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．
综上可知，若f(x)存在零点，则f(x)在区间(1， ]上仅有一个零点．
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＜0时，证明f(x)≤－－2.
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.
若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0，
故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
若a＜0，则当x∈时，f′(x)＞0；
当x∈时，f′(x)＜0.
故f(x)在上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：由(1)知，当a＜0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f＝ln－1－.
所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2，即ln＋＋1≤0.
设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1.
当x∈(0,1)时，g′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
故当x＝1时，g(x)取得极大值且为最大值，最大值为g(1)＝0.
所以当x＞0时，g(x)≤0.
从而当a＜0时，ln＋＋1≤0，
即f(x)≤－－2.
22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ln x－.
(1)若f(x)存在最小值且最小值为2，求a的值；
(2)设g(x)＝ln x－a，若g(x) 解：(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，
当a≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
f(x)不存在最小值；
当a<0时，由f′(x)＝0得x＝－a，
且0 x>－a时，f′(x)>0.
∴x＝－a时，f(x)取得最小值，
f(－a)＝ln(－a)＋1＝2，解得a＝－e.
(2)g(x)ln x－x2，
故g(x)ln x－x2在(0，e]上恒成立．
设h(x)＝ln x－x2，则h′(x)＝－2x＝，
由h′(x)＝0及0 当00，当 所以当x＝时h(x)取得最大值为h＝ln －.
所以g(x)