高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册5.2 导数的运算课后测评

5.2.2导数的四则运算法则

[A级　基础巩固]

1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)等于(　　)

A．－1　　　　　　　　　　 B．－2

C．2   D．0

解析：选B　∵f′(x)＝4ax3＋2bx为奇函数，

∴f′(－1)＝－f′(1)＝－2.

2．函数y＝的导数是(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　y′＝′＝＝＝.

3．曲线f(x)＝xln x在点x＝1处的切线方程为(　　)

A．y＝2x＋2   B．y＝2x－2

C．y＝x－1   D．y＝x＋1

解析：选C　∵f′(x)＝ln x＋1，∴f′(1)＝1，又∵f(1)＝0，∴在点x＝1处曲线f(x)的切线方程为y＝x－1.

4．设曲线y＝ax－ln (x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)

A．0   B．1

C．2   D．3

解析：选D　y′＝a－，由题意得y′|x＝0＝2，即a－1＝2，所以a＝3.

5．已知直线y＝3x＋1与曲线y＝ax3＋3相切，则a的值为(　　)

A．1   B．±1

C．－1   D．－2

解析：选A　设切点为(x0，y0)，则y0＝3x0＋1，且y0＝ax＋3，所以3x0＋1＝ax＋3①.对y＝ax3＋3求导得y′＝3ax2，则3ax＝3，ax＝1②，由①②可得x0＝1，所以a＝1.

6．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．

解析：∵y′＝3x2－1，∴y′|x＝1＝3×12－1＝2.

∴切线方程为y－3＝2(x－1)，即2x－y＋1＝0.

答案：2x－y＋1＝0

7．已知曲线y1＝2－与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.

解析：由题知y′1＝，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为，3x－2x0＋2，所以＝3，所以x0＝1.

答案：1

8．已知函数f(x)＝f′cos x＋sin x，则f的值为________．

解析：∵f′(x)＝－f′sin x＋cos x，

∴f′＝－f′×＋，

得f′＝－1.

∴f(x)＝(－1)cos  x＋sin x.

∴f＝1.

答案：1

9．求下列函数的导数：

(1)y＝－ln x；(2)y＝(x2＋1)(x－1)；

(3)y＝；(4)y＝.

解：(1)y′＝(－ln x)′

＝()′－(ln x)′＝－.

(2)y′＝[(x2＋1)(x－1)]′

＝(x3－x2＋x－1)′＝(x3)′－(x2)′＋(x)′－(1)′

＝3x2－2x＋1.

(3)y′＝

＝.

(4)y′＝

＝.

10．偶函数f(x)＝ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e的图象过点P(0,1)，且在x＝1处的切线方程为y＝x－2，求f(x)的解析式．

解：∵f(x)的图象过点P(0,1)，∴e＝1.

又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．

故ax4＋bx3＋cx2＋dx＋e＝ax4－bx3＋cx2－dx＋e.

∴b＝0，d＝0.∴f(x)＝ax4＋cx2＋1.

∵函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝x－2，

∴切点为(1，－1)．

∴a＋c＋1＝－1.

∵f′(1)＝4a＋2c，

∴4a＋2c＝1.

∴a＝，c＝－.

∴函数f(x)的解析式为f(x)＝x4－x2＋1.

[B级　综合运用]

11．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋ln x，则f′(e)＝(　　)

A．e－1   B．－1

C．－e－1   D．－e

解析：选C　∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，

∴f′(x)＝2f′(e)＋，

∴f′(e)＝2f′(e)＋，解得f′(e)＝－，故选C.

12．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为(　　)

A．(0，＋∞)   B．(－1,0)∪(2，＋∞)

C．(2，＋∞)   D．(－1,0)

解析：选C　∵f(x)＝x2－2x－4ln x，

∴f′(x)＝2x－2－＞0，

整理得＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，

又∵f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴x＞2.

13．曲线y＝在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．

解析：y′＝－，则y′＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝2，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2－1.

答案：2－1

14．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.

(1)求a，b的值；

(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．

解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，

由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，

解得a＝1，b＝－16.

(2)∵切线与直线y＝－x＋3垂直，

∴切线的斜率k＝4.

设切点的坐标为(x0，y0)，

则f′(x0)＝3x＋1＝4，

∴x0＝±1.

由f(x)＝x3＋x－16，

可得y0＝1＋1－16＝－14，

或y0＝－1－1－16＝－18.

则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.

即4x－y－18＝0或4x－y－14＝0.

[C级　拓展探究]

15．设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.

(1)求fn′(2)；

(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜.

解：(1)由题设fn′(x)＝1＋2x＋…＋nxn－1.

所以fn′(2)＝1＋2×2＋…＋(n－1)2n－2＋n·2n－1，①

则2fn′(2)＝2＋2×22＋…＋(n－1)2n－1＋n·2n，②

①－②得，－fn′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n

＝－n·2n＝(1－n)·2n－1，

所以fn′(2)＝(n－1)·2n＋1.

(2)证明：因为f(0)＝－1＜0，x≥0，n≥2.

fn＝－1＝1－2×n≥1－2×2＞0，

所以fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1为增函数，

所以fn(x)在内单调递增，

因此fn(x)在内有且仅有一个零点an.

由于fn(x)＝－1，

所以0＝fn(an)＝－1，

由此可得an＝＋a＞，故＜an＜.

所以0＜an－＝a＜×n＋1＝.