2020-2021学年沪教版九年级数学上期末冲刺 精专题06 二次函数（一）（教师版）

专题06二次函数（一）

一、单选题
1．关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口方向向上 B．顶点坐标为
C．与x轴有两个交点 D．对称轴是直线
【答案】B
【解析】
根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．解：∵抛物线y=-x2+2x-3=-（x-1）2-2，
∴该抛物线的开口向下，故选项A错误；
顶点坐标为，故选项B正确；
当y=0时，△=22-4×（-1）×（-3）=-8＜0，则该抛物线与x轴没有交点，故选项C错误；
对称轴是直线x=1，故选项D错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的额性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由于给的是二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．解：∵y=-5（x-1）2+2，
∴此函数的顶点坐标是（1，2）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数顶点式的表示方法．
3．已知点，，在函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由抛物线，可知抛物线对称轴为x＝-1，开口向上，然后根据各点到对称轴的结论可判断y1，y2，y3的大小．∵，
∴抛物线对称轴为x＝-1，开口向上，
又∵点（离对称轴最远，点在对称轴上，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．二次函数的图象如图所示，则下列关于该函数说法中正确的是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由抛物线的开口方向判断a与0，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.A．因为抛物线的开口向下，则a<0；又因为抛物线的对称轴在y轴右侧，则 >0，所以b>0，故A错误；
B．抛物线与y轴的交点在y轴负半轴，则c<0，故B错误；
C．抛物线与x轴一个交点为（1，0），则x=1时，，故C正确；
D．抛物线与x轴有两个交点，则，故D错误，
故选C.
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数的图象与×轴的交点等知识点，明确二次函数的相关性质是解题的关键.
5．已知二次函数自变量x的部分取值和对应函数值y如下表：则下列说法正确的是（　　）
x
…
-2
-1
0
1
2
3
…
y
…
5
0
-3
-4
-3
0
…

A．抛物线开口向下
B．对称轴是直线
C．在对称轴左侧y随x的增大而减小
D．一元二次方程（a为常数，且）的根为
【答案】C
【解析】
根据表格数据代入解析式即可求得a、b的值，再根据解析式与图形关系逐一判断即可．由表格数据可知
当时，，
当时，，
代入，
则 ，
解得 ，
故二次函数解析式为：，
，抛物线开口向上，故A选项错误；
对称轴，故B选项错误；
当时，，当时，，故C选项正确；
，解得、，故D选项错误．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的性质．熟练掌握二次函数系数与图形的关系、对称轴的表达式、二次函数图形变化趋势以及二次函数与一元二次方程的关系是解答此类题目的关键．
6．抛物线可以由抛物线（ ）平移得到．
A．向左个单位，向下个单位 B．向右个单位，向下个单位
C．向左个单位，向上个单位 D．向右个单位，向上个单位
【答案】B
【解析】
先将抛物线化为顶点式求出顶点坐标，再根据抛物线的顶点坐标即可得出平移的方向．解：=，
∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），
∵抛物线的顶点坐标为（0，0），
∴抛物线可以由抛物线向右个单位，向下个单位平移得到，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换-平移，解答的关键是将抛物的平移转化为顶点的平移，进而寻找平移方向．
7．如图，、分别为图象上的两点，且直线垂直于轴，若，则点的纵坐标为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
先根据二次函数的对称性可得点A、B关于抛物线的对称轴对称，设，从而可得，再根据抛物线的对称轴可求出的值，然后根据抛物线的解析式求出的值即可得．由题意得：点A、B关于抛物线的对称轴对称，
二次函数的对称轴为，
设点B的坐标为，则点A的坐标为，
因此有，
解得，
将点代入得：，
即点B的纵坐标为1，
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．
8．当-2≤x≤1时，二次函数y=－(x－m)2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）
A．或2 B．或
C．2或 D．2或
【答案】D
【解析】
根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．解：二次函数的对称轴为直线x=m，
①m＜-2时，x=-2时二次函数有最大值，
此时-（-2-m）2+m2+1=4，
解得m=-，与m＜-2矛盾，故m值不存在；
②当-2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，
此时，m2+1=4，
解得m=-，m=（舍去）；
③当m＞1时，x=1时二次函数有最大值，
此时，-（1-m）2+m2+1=4，
解得m=2，
综上所述，m的值为2或-．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查求二次函数的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．
9．如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点P是BD上的一个动点，过点P作EF∥AC，分别交正方形的两条边于点E，F，连接OE，OF，设BP=x，△OEF的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图像为（　　　）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意易得，然后得到EF与x的关系，进而分两种情况，依情况来判断函数图像即可．解：∵四边形ABCD是正方形，边长为2，
∴，，
①当P在OB上时，即，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴，
∴，
∵，
∴；
②当P在OD上时，即，
∵EF∥AC，
∴△DEF∽△DAC，
∴，
即，
∴，
∵BP=x，
∴，
∴，
这是一个二次函数，根据二次函数的性质可知：二次函数的图像是一条抛物线，开口向下，
故选C．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定、二次函数的图像与性质及正方形的性质，关键是利用三角形相似和面积来列出二次函数的解析式，进而求解．
10．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为(﹣2，﹣9a)，下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③9a﹣b+c＝0；④若方程a(x+5)(x﹣1)＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，则这四个根的和为﹣8．其中正确的结论有（　　）个

A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】
根据二次函数的性质一一判断即可．解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0，
∴abc＜0，所以①结论错误；
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣＝﹣2，＝﹣9a，
∴b＝4a，c＝﹣5a，
∴抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c＝4a+8a﹣5a＝7a＞0，所以②结论正确，
9a﹣b+c＝9a﹣4a﹣5a＝0，故③结论正确，
∵抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故结论④正确，
若方程|ax2+bx+c|＝1有四个根，设方程ax2+bx+c＝1的两根分别为x1，x2，则＝﹣2，可得x1+x2＝﹣4，
设方程ax2+bx+c＝﹣1的两根分别为x3，x4，则＝﹣2，可得x3+x4＝﹣4，
所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤正确，
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了二次函数的图像性质，准确分析判断是解题的关键．

二、填空题
11．已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）为二次函数y＝﹣x2+4x﹣3图象上的两点，若x1x22，则y1_____y2（填、或＝）．
【答案】
【解析】
将二次函数的解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得．解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，
∴抛物线的对称轴为直线x＝2，且开口向下，
∴在对称轴x＝2的右侧，y随x的增大而减小，
∵x1＞x2＞2，
∴y1＜y2，
故答案为：＜．
【点睛】
此题主要考查二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握将一般式转化为顶点式．
12．将抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，所得到的抛物线为，则原抛物线的函数解析式为_________．
【答案】
【解析】
将得到的抛物线解析式化为顶点式，再根据上加下减，左加右减逆向推导，写出原抛物线解析式即可．将抛物线解析式化为顶点式为：，
将抛物线向右平移3个单位，再向上平移5个单位可得原抛物线为：．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二次函数的解析式随平移的变化规律，熟记上加下减，左加右减规则是解题关键．
13．二次函数的顶点在y轴上，则m=______________．
【答案】-2
【解析】
根据二次函数的顶点的横坐标列式求解即可．解：∵二次函数的顶点在y轴上，
∴
∴，
解得，，
故答案为：-2．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，根据顶点的坐标列出等式是解题的关键．
14．抛物线的开口______，对称轴是_____________，顶点是_______．
【答案】向下 直线x=
【解析】
把整理后配成顶点式，然后根据二次函数的性质求解．解：∵=


∴开口方向向下；对称轴为直线x=；顶点坐标为．
故答案为：向下；直线x=； ．
【点睛】
本题考查二次函数的性质，顶点坐标等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，学会灵活运用知识解决问题，属于基础题．
15．已知二次函数，若，则的取值范围为____．
【答案】
【解析】
先利用配方法求得抛物线的顶点坐标，从而可得到y的最小值，然后再求得最大值即可．解：y=x2-4x-6=x2-4x+4-10=（x-2）2-10．
∴当x=2时，y有最小值，最小值为-10．
∵，
∴当x=6时，y有最大值，最大值为y=（6-2）2-10=6．
∴y的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查的是二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
16．对于二次函数，当自变量满足时，函数值的取值范围为，则的取值范围为______．
【答案】
【解析】
根据y的取值范围可以求得相应的的取值范围．∵二次函数，
∴该函数的顶点坐标为（2，0），对称轴为：，
把代入解析式可得：，
把代入解析式可得：0，
所以函数值的取值范围为时，自变量的范围为，
故可得：，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．
17．定义：在平面直角坐标系中，若点满足横、纵坐标都为整数，则把点叫做“整点”．如：、都是“整点”．抛物线与轴交于点，两点，若该抛物线在、之间的部分与线段所围的区域（包括边界）恰有个整点，则的取值范围是_______．
【答案】1＜a≤2
【解析】
画出图象，找到该抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点的边界，利用与y交点位置可得a的取值范围．解：抛物线y＝ax2＋2ax＋a−2（a＞0）化为顶点式为y＝a（x＋1）2−2，
∴函数的对称轴：x＝−1，顶点坐标为（−1，−2），
∴M和N两点关于x＝−1对称，
根据题意，抛物线在M、N之间的部分与线段MN所围的区域（包括边界）恰有5个整点，这些整点是（0，0），（−1，0），（−1，−1），（−1，−2），（−2，0），
如图所示：

∵当x＝0时，y＝a−2，
∴−1＜a−2≤0，
当x＝1时，y＝4a−2＞0，
即：，
解得1＜a≤2，
故答案为：1＜a≤2．
【点睛】
本题考查抛物线与x轴的交点、配方法确定顶点坐标、待定系数法等知识，利用函数图象确定与y轴交点位置是本题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB＝3，则点D的坐标为_____．

【答案】（）
【解析】
根据抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，得A（1，0），B（2，0），C（0，2），过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，易证等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM，可得M（8，6），再求得直线CM的解析式为y＝+2，联立直线和抛物线，解方程组即可得点D的坐标．解：∵抛物线y＝x2﹣3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，
∴解得A（1，0），B（2，0），C（0，2），
∴OB＝OC
∴∠OBC＝45°，
如图，

过点B作BM⊥BC交CD延长线于点M，过点M作MG⊥x轴于点G，
∴∠COB＝∠MGB＝90°
∴∠CBO+∠MBG＝90°
∴∠MBG＝45°
∴MG＝BG
∴等腰直角三角形OCB∽等腰直角三角形GBM
∴＝
∵tan∠DCB＝＝3
∴
∴BG＝6
∴MG＝6
∴M（8，6）
设直线CM解析式为y＝kx+b，
把C（0，2），M（8，6）代入，
解得k＝，b＝2
所以直线CM的解析式为y＝+2
联立
解得，
∴D（）
故答案为（）．
【点睛】
本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．
19．如图，矩形纸片ABCD中，BC=5，AB=3，点P是BC边上的动点（点P不与点B、C重合）．现将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D；作∠BPC′的角平分线，交AB于点E．设BP=x，BE=y，则y与x的函数关系式为______．

【答案】y＝﹣x2+x
【解析】
根据题意，连接DE，因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平方，再根据PE平分，可知，再根据BP=x，BE=y，BC=5，AB=3，分别用x，y表示出PD，EP，DE，再根据勾股定理计算即可；连接DE，

因为△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，故有DP平方，
又∵PE平分，
∴，
已知BP=x，BE=y，BC=5，AB=3，
即在Rt△PCD中，，，
即，
在Rt△EBP中，BP=x，BE=y，
故，
在Rt△ADE中，，，
故，
在Rt△PDE中，，
即，
化简得：y＝﹣x2+x．
故答案是y＝﹣x2+x．
【点睛】
本题主要考查了二次函数动点问题，准确分析计算是解题的关键．
20．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x＝1，则下列结论：
①abc＞0；
②方程ax2+bx+c＝0的两根是x1＝﹣1，x2＝3；
③2a+b＝0；
④4a2+2b+c＜0，
其中正确结论的序号为_____．

【答案】②③．
【解析】
根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．由图象可知，抛物线开口向下，a＜0，对称轴在y轴右侧，a、b异号，b＞0，与y轴交于正半轴，c＞0，所以abc＜0，因此①是错误的；
当y＝0时，抛物线与x轴交点的横坐标就是ax2+bx+c＝0的两根，由图象可得x1＝﹣1，x2＝3；因此②正确；
对称轴为x＝1，即﹣＝1，也就是2a+b＝0；因此③正确，
∵a＜0，a2＞0，b＞0，c＞0，
∴4a2+2b+c＞0，因此④是错误的，
故答案为：②③．
【点睛】
此题考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．

三、解答题
21．抛物线经过点两点．
（1）求抛物线项点D的坐标．
（2）抛物线与轴的另一交点为，求的值．
【答案】（1）(1，4)；（2）
【解析】
(1)抛物线y=ax2+2x+c经过点B(3,0)、C(0,3)两点，可求解析式，把解析式配方变为顶点式，求顶点D，
(2)让y=0, 求出A点坐标，过D作 DE⊥x轴于E，则E点可求，连AD，在在Rt△ADE中AE，DE可求，用勾股定理求AD，利用正弦函数定义求即可．(1)抛物线y=ax2+2x+c经过点B(3,0)、C(0,3)两点，
把B、C两点代入得，
解得，
∴y=-x2+2x+3，
∴y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4，
∴D(1,4)，
(2)y=0, -x2+2x+3=0，
∴(x+1)(x-3)=0，
∴x+1=0或x-3=0，
∴x=-1或x=3，
∴A(-1,0)，

过D作DE⊥x轴于E，则E(1,0)，
在Rt△ADE中，
AE=1-(-1)=2，DE=4，
∴AD=，
∴Sin∠DAE=．
【点睛】
本题考查抛物线顶点，∠DAB的正弦，关键是用待定系数法求抛物线解析式，确定抛物线顶点，会求与x轴交点，用对称轴，AD及x轴围成Rt△，用正弦定义解决问题．
22．已知二次函数.
（1）将函数的解析式化为的形式，并指出该函数图像顶点B坐标；
（2）在平面直角坐标系中xOy中，设抛物线与y轴交点为C，抛物线的对称轴与x轴交点为A.求四边形OABC的面积.
【答案】（1），B（2，－5）；（2）6.
【解析】
（1）利用配方法把将二次函数y=x2-4x-1的解析式化为y=a（x+m）2+k的形式，利用二次函数的性质即可得出答案；
（2）求出C点，A点坐标，则四边形OABC的面积可求出．解：（1），
该函数图象顶点B坐标为（2，-5）；
（2）如图，

令y=0，x=-1，
∴C（0，-1），
∵B（2，-5），
∴A（2，0），
∴四边形OABC的面积 ．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．
23．抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式．
【答案】（1）(1,0)；（2）y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x．
【解析】
（1）把（2，1）代入y=x2-2x+c中求出c的值即可得到抛物线解析式，然后配成顶点式得到顶点坐标；
（2）先确定抛物线y=x2-2x+1的对称轴，再利用抛物线的对称性得到A（0，0），B（2，0），然后利用交点式可写出新抛物线的表达式．（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c得4﹣4+c=1，解得c=1，
所以抛物线解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2；
∴抛物线的顶点坐标为（1，0）.
（2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x=1，
而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2，
所以A（0，0），B（2，0），
所以新抛物线的解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x．
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
24．二次函数的图象过点（4，－5）和（0，3），且与x轴交于点M（－1，0）和N，
（1）求此二次函数的解析式；
（2）如果这二次函数的图像的顶点为点P，点O是坐标原点，求△OPN的面积．
（3）如果点R与点P关于x轴对称，判定以M、N、P、R为顶点的四边形的边之间的位置与度量关系．
【答案】（1）y＝－x2＋2x＋3；（2）6；（3）该四边形（两组）对边（分别）平行，四条边都相等
【解析】
（1）将已知的三点代入，利用待定系数法即可解答；
（2）先求得点P和点N的坐标，再得出线段ON的长度以及ON边上的高，最后运用三角形面积公式解答即可；
（3）先画出图形，再说明四边形MRNP是菱形，然后运用菱形的性质解答即可．解：（1）设二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c，
∴，
可以解得a＝－1，b＝2，c＝3 ．
∴y＝－x2＋2x＋3；
（2）如图：由题意可知二次函数的图像的顶点为点P（1，4），点N（3，0），
∴ON＝3, ON边上的高为4
∴S△OPN＝3×4÷2=6 ．
（3）如图:∵点R与点P关于x轴对称
∴MN垂直平分PR
∵PR是二次函数的图像对称轴
∴PR垂直平分MN
∴PR互相MN垂直平分，
∴PMRN为菱形
∴该四边形（两组）对边（分别）平行，四条边都相等

【点睛】
本题考查了运用待定系数法求二次函数解析式、三角形的面积以及菱形的判定和性质等知识点，确定二次函数解析式以及点N和点P的坐标是解答本题的关键．
25．如图，抛物线与轴交于点和B，与y轴交于点C，顶点为点D．

（1）求抛物线的表达式、点B和点D的坐标；
（2）将抛物线向右平移后所得新抛物线经过原点O，点B、D的对应点分别是点，联结，求的面积．
【答案】（1）；，；（2）的面积为．
【解析】
（1）将代入抛物线解析式即可求出，令即可求出点坐标，再将二次函数配成顶点式即可求算顶点坐标，；
（2）根据平移求出的坐标，再根据割补法求算面积．解：（1）将代入：
解得：
∴抛物线的表达式为
令即
解得：
∴
又∵
∴顶点坐标
（2）∵抛物线向右平移后所得新抛物线经过原点，
∴抛物线向右平移一个单位
∴，

如图：连接 ,作轴，交延长线于
∴
∴的面积为5
【点睛】
本题考查二次函数的相关性质，掌握二次函数图象的性质以及相关点的求算、割补法求面积等是解题关键．
26．在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线经过点，与轴交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与轴交于点.

（1）求抛物线的表达式及点的坐标；
（2）点是轴正半轴上的一点，如果，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点是位于轴左侧抛物线上的一点，如果是以为直角边的直角三角形，求点的坐标.
【答案】（1），；（2）；（3）或
【解析】
（1）将点A、B 代入抛物线，即可求出抛物线解析式，再化为顶点式即可；
（2）如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N（-，-2），利用相等角的正切值相等即可求出EH的长，OE的长，可写出点E的坐标；
（3）分∠EAP=90°和∠AEP=90°两种情况讨论，通过相似的性质，用含t的代数式表示出点P的坐标，可分别求出点P的坐标．解：（1）（1）将点A（-3，-2）、B （0，-2）代入抛物线，
得，，
解得，a=，c=-2，
∴y=x2+4x-2
=（x+）2-5，
∴抛物线解析式为y=x2+4x-2，顶点C的坐标为（-，-5）；
（2）如图1，连接AB，交对称轴于点N，则N（-，-2），

，则，
过作，，
则，
∵OH=3,
∴OE=1,
∴
（3）①如图2，当∠EAP=90°时，
∵∠HEA+∠HAE=90，∠HAE+∠MAP=90°，

∴∠HEA=∠MAP，
又∠AHE=∠PMA=90°，
，
则，设，则
将代入
得（舍），，
∴
②如图3，当∠AEP=90°时，
∵∠EAG+∠AEG=90°，∠AEG+∠PEN=90°，

∴∠AEG=∠EPN，
又∵∠N=∠G=90°，
∴，则
设，则
将代入
得，（舍），
∴
综上所述：，
【点睛】
此题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，直角三角形的存在性等，解题关键是能够作出适当的辅助线构造相似三角形，并注意分类讨论思想的运用．
27．如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图所示二次函数y1 = x2 + 2x + 2与y2 = x2 - 2x + 2是“关于y轴对称二次函数”．

（1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为 ；
（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的函数表达式．
（3）在第（2）题的情况下，如果M是两个抛物线上的一点，以点A，O，C，M为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M坐标；若不能，说明理由.
【答案】（1）y = 2（x - 2）2 + 1 ， y = a（x + h）2 + k ；（2）y=（x-3）2+4；（3）M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）
【解析】
（1）根据“关于y轴对称二次函数”的定义即可求解；
（2）根据“关于y轴对称二次函数”，菱形的面积，可得顶点坐标，图象与y轴的交点，根据待定系数法，可得答案；
（3）根据题意分①若AO∥CM， ②若AC∥OM，③若OC∥AM，分别联立函数求解即可.（1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y轴对称二次函数”解析式为y = 2（x - 2）2 + 1；二次函数y = a（x - h）2 + k的“关于y轴对称二次函数”解析式为y = a（x + h）2 + k，
故填：y = 2（x - 2）2 + 1，y = a（x + h）2 + k ；
（2）由BC=6，顺次连接点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，由菱形面积公式得OA=8，
∴A点坐标为（0，8），
∵菱形ABOC
∴ - xB = xC yB = yA
∴B点的坐标为（-3，4），
设一个抛物线的解析式为y=a（x+3）2+4，将A点坐标代入，得9a+4=8，
解得a=，
∴y=（x+3）2+4关于y轴对称二次函数的函数表达式y=（x-3）2+4．
（3）①若AO∥CM，则xM = xC = 3，
把xM = 3代入上述两个抛物线解析式，解得y1 = 20， y2 = 4
∵C（3,4），∴y2 = 4舍去，
∴M1（3,20）

②若AC∥OM，
∵lAC：，∴lOM：
与抛物线联立方程或
或无解
∵B（-3,4），∴舍去，
∴M2（-6,8）
③若OC∥AM
∵lOC：，∴lAM：
同②解得
∵A（0，8）
∴M3（9,20）
综上所述，M1（3,20），M2（-6,8），M3（9,20）
【点睛】
此题主要考查二次函数与几何综合，解题的关键是熟知新定义的函数性质及菱形、梯形的性质.