人教版（2024）七年级上册4.2 直线、射线、线段导学案

这是一份人教版（2024）七年级上册4.2 直线、射线、线段导学案，共17页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，观察思考，模型构建，拓展应用等内容，欢迎下载使用。
理解直线、射线、线段的概念及表示方法，理解点和直线的位置关系；
理解并掌握直线、射线、线段之间的区别和联系；
识别线段、射线、线段的数量，并能掌握线段上的点和线段数量内在关系；
理解直线交点个数与直线量关之间的内在关系。
【要点梳理】
要点一、直线
1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．
2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．
特别说明：
直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．
（2）直线没有粗细．
（3）两点确定一条直线．
（4）两条直线相交有唯一一个交点．
3.点与直线的位置关系：
（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．
（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．
要点二、线段
1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．
2.表示方法：
（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段AB或线段BA．
（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．
要点三、射线
1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．
如图6所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．
图6
2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．
3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图6所示，可记为射线OA．
（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图6所示，射线OA可记为射
线l．
特别说明：(1) 端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图7中射线OA，射线OB是不同的射线．
图7


(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图8中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．
图8


要点四、直线、射线、线段的区别与联系
1.直线、射线、线段之间的联系
（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．
（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．
2．三者的区别如下表
特别说明：
（1） 联系与区别可表示如下：
（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．
【典型例题】
类型一、直线、射线、线段的理解
1．如图，在数轴上，点A表示3，点B表示－.
数轴是什么图形？
数轴上原点O左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？
射线OB上的点表示什么数？端点表示什么数？
数轴上表示不小于－且不大于3的部分是什么图形？怎样表示？
【答案】(1)直线;(2)射线，射线OB;(3)非正数，0;(4)线段，线段AB
【分析】（1）数轴是直线；
（2）根据射线的定义，即可解答；
（3）根据负数和0，即可解答；
（4）根据线段的定义，即可解答．
解：（1）数轴是直线；
（2）数轴在原点O左边的部分（包括原点）是射线，表示为射线OB；
（3）射线OB上的点表示0和负数，端点表示0；
（4）数轴上表示不小于-，且不大于3的部分是线段，表示为线段AB．
【点拨】本题考查了数轴，解决本题的关键是熟记数轴的有关概念．
举一反三：
【变式1】指出下图中的直线、射线、线段，并一一表示出来．
【答案】射线AB、射线BA，射线BC、射线CB；线段AB、线段AC、线段BC，直线AB、直线BC、直线AC等．
【分析】根据直线、射线、线段的概念求解即可．
解：∵，
∴通过分析上图可得：
射线AB，射线BA，射线BC，射线CB；
线段AB，线段AC，线段BC；
直线AB、直线BC、直线AC等．
【点拨】此题考查了直线、射线、线段的概念，解题的关键是熟练掌握直线、射线、线段的概念．
【变式2】判断下列说法是否正确：
（1）线段和射线都是直线的一部分
（2）直线和直线是同一条直线；
（3）射线和射线是同一条射线；
（4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线．
【答案】（1）（2）（4）正确，（3）错误．
【分析】根据直线、射线、线段的定义以及表示方法对各小题分析判断即可得解．
解：（1）线段和射线都是直线的一部分，正确；
（2）直线和直线是同一条直线，正确；
（3）射线的端点是点，射线的端点是点，不是同一条射线，故本小题错误；
（4）把线段向一个方向无限延伸可得到射线，向两个方向无限延伸可得到直线，正确．
综上所述：（1）（2）（4）正确，（3）错误．
【点拨】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，解题的关键是熟记概念与它们的区别与联系．
类型二、几何语言描述：直线、射线、线段
2．数学学习过程中，正确掌握几何语言是学好几何知识的必备条件．
(1)下列语句中，能正确描述图1的有 （填序号），
①直线a经过O，B两点；
②直线a，b相交于点O；
③点A在直线b的延长线上；
④经过O，A两点有且只有一条直线b．
(2)已知平面上三点A，B，C，如图2，按下列语句画图：
①画射线AB，直线AC；
②连接BC，并延长BC到点D，使．
【答案】(1)①②④(2)画图见详解．
【分析】利用直线、射线、线段的定义，根据题中的几何语言画出对应的几何图形．
(1)①正确，点O点B都在直线a上．②正确，直线a，b的交点是点O．
③错误，直线b向两端无限延伸的，点A在直线b上．
④正确，两点确定一条直线．
故：①②④正确．
(2)①如图，射线AB，直线AC就是所求的线；②连接BC，并延长BC到点D，使．如图线段BD就是所求的线段．
【点拨】本题考查了直线射线以及线段的知识，解题的关键是掌握三者各自的特点．
举一反三：
【变式】作图题：
如图，平面上四个点A、B、C、D，根据下列语句作图画直线AB；画射线BC；画线段CD，连结AD．（不写作法）
【答案】图形见分析
分析：根据直线、射线、线段的定义作图即可.
解：如图所示：

类型三、由几何语言的描述画直线、射线、线段
3．已知四点A、B、C、D．根据下列语句，画出图形．
①画直线AB；
②连接AC、BD，相交于点O；
③画射线AD、射线BC，相交于点P．

【分析】根据直线、射线、线段的性质画图即可．
解：如图
【点拨】此题主要考查了简单作图，解答此题需要熟练掌握直线、射线、线段的性质，认真作图解答即可．
举一反三：
【变式1】作图：如图，平面内有 A，B，C，D 四点 按下列语句画图：

（1）画射线 AB，直线 BC，线段 AC
（2）连接 AD 与 BC 相交于点 E.
【分析】利用作射线，直线和线段的方法作图．
解：如图：
【点拨】本题考查了作图﹣复杂作图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图．
【变式2】如图 按下列语句画图
（1）连接BC．
（2）画直线AB、CD相交于E．
（3）作射线AD．
（4）连接AC、BD，相交于点O．
【分析】根据线段、直线、射线的画法即可得．
解：由题意，画图如下：
【点拨】本题考查了画线段、直线、射线，熟练掌握线段、直线、射线的画法是解题关键．
类型四、点线位置关系
4．按下列要求分别画出图形．
（1）直线AB外有一点C；
（2）P是直线a外一点，经过点P有一条直线b与直线a相交于点Q．
【答案】（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）根据点与直线的关系进行作图即可；
（2）根据点与直线的关系进行作图即可．
解：（1）如图所示（画法不唯一）；

（2）如图所示（画法不唯一）．

【点拨】本题考查了点与直线的相关作图，明确点与直线的位置关系是解题的关键．
举一反三：
【变式】按照下列语句画出图形．
（1）点P在直线AB上，但不在直线CD上；
（2）点Q既不在直线a上，也不在直线b上；
（3）直线EF经过点D，点C不在直线EF上．
【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析
【分析】（1）画两条直线、，在上标记一点，且不在直线上；
（2）画两条直线，在这两条直线外标记一点；
（3）画一条直线，在直线上标记一点，直线外标记一点．
解：（1）如图所示：

（画法不唯一）
（2）如图所示：

（画法不唯一）
（3）如图所示：

（画法不唯一）
【点拨】此题考查了点与直线的位置关系，熟练掌握点与直线的位置关系是解题的关键．
类型五、直线、射线、线段的数量问题
5．若直线上有两个点，则以这两点为端点可以确定一条线段．请仔细观察图形，解决下列问题：
(1)如图1，直线l上有3个点A，B，C，则可以确定 条线段；
(2)如图2，直线l上有4个点A，B，C，D，则可以确定 条线段；
(3)若直线上有n个点，一共可以确定多少条线段？请写出解题过程．
【答案】(1)3(2)6(3)条，见分析
【分析】（1）根据线段定义即可求解．
（2）根据线段的定义即可求解．
（3）由（1）（2）找出规律即可求解．
（1）解：由图可得：直线l上有3个点A，B，C，可得线段AB、线段BC和线段AC，则可以确定3条线段，故答案为：3．
（2）有图可得：直线l上有4个点A，B，C，D，可得线段AB、线段AC、线段AD、线段BC、线段BD和线段CD，则可以确定6条线段，故答案为：6．
（3）由（1），（2）可得，当直线上有n个点，则：．
【点拨】本题考查了线段的定义及数量关系，熟练掌握线段的定义及数量关系是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在平面内有A，B，C三点．
(1)画直线AB；画射线AC；画线段BC；
(2)在线段BC上任取一点D（不同于B，C两点），连接AD，并延长AD至点E，使；
(3)数一数，此时图中共有多少条线段？多少条射线？
【答案】(1)见分析(2)见分析(3)有8条线段，6条射线
【分析】（1）根据直线、射线、线段的定义，即可求解；
（2）先画出线段AD，再延长AD至点E，使，即可求解；
（3）根据射线、线段的定义，即可求解．
(1)解：如图，直线AB，射线AC，线段BC即为所求；
(2)解：如图，线段AD和DE即为所求；
(3)解：图中的线段有AB、AC、AD、DE、AE、CD、DB、BC，共有8条，
射线有AC、CH、AG、BG、BF、AF，共有6条．
【点拨】本题主要考查了直线、射线、线段的定义，熟练掌握直线没有端点、长度无限，可以向两端无限延长；射线只有一个端点，长度无限，可以向一端无限延长；线段有两个端点，长度有限是解题的关键．
【变式2】（1）【观察思考】如图，线段上有两个点、，分别以点、、、为端点的线段共有________条．
（2）【模型构建】若线段上有个点（包括端点），则该线段上共有___________条线段．
（3）【拓展应用】若有10支球队参加校级篮球比赛，比赛采用单循环制（即每支球队之间都要进行一场比赛），请你应用上述模型构建，求一共要进行多少场比赛？
【答案】（1）6；（2）；（3）45场
【分析】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；
（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；
（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．
解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，
以点D为左端点的线段有线段DB，
∴共有3＋2＋1＝6（条）．
故答案为：6；
（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x＝（m−1）＋（m−2）＋（m−3）＋…＋3＋2＋1，
∴倒序排列有x＝1＋2＋3＋…＋（m−3）＋（m−2）＋（m−1），
∴2x＝m＋m＋m＋…＋m＝m（m−1），
∴x＝m（m−1）．
故答案为：；
（3）把10支球队看作直线上的10个点，每两支球队之间的一场比赛看作一条线段，
由题知，当m＝10时，．
答：一共要进行45场比赛．
【点拨】此题主要考查了线段的计数问题，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
类型六、直线相交的交点个数问题
6．按要求完成作图及作答：
(1)如图1，请用适当的语句表述点P与直线l的关系： ；
(2)如图1，画直线PA；
(3)如图1，画射线PB；
(4)如图2，平面内三条直线交于A、B、C三点，点M、N是平面内另外两点，若分别过点M、N各作一条直线，则新增的两条直线使得平面内最多新增 个交点．
【答案】(1)P在直线l外；(2)见分析(3)见分析(4)7
【分析】（1）根据点与直线的关系即可填空；
（2）根据直线的定义即可画直线PA；
（3）根据射线的定义即可画射线PB；
（4）根据题意画出图形即可得平面内最多新增的交点个数．
解：(1)点P与直线l的关系：P在直线l外；
故答案为：P在直线l外；
(2)如图1，直线PA即为所求；
(3)如图1，射线PB即为所求；
(4)如图2，新增的两条直线使得平面内最多新增7个交点．
故答案为：7．
【点拨】本题考查了作图−应用与设计作图，直线的性质：两点确定一条直线，相交线，解决本题的关键是掌握直线的性质．
举一反三：
【变式1】两条直线相交，有一个交点，三条直线相交，最多有多少个交点？四条直线呢？你能发现什么规律吗？
【答案】两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有3个交点，四条直线相交，最多有6个交点，…，规律：n条直线相交，最多有个交点．
【分析】根据两直线相交，最多有1个交点，三直线相交最多有1+2=3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点，由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，由此进行求解即可
解：两条直线相交，最多有1个交点，三条直线相交，最多有1+2=3个交点，四条直线相交，最多有1+2+3=6个交点……
由此可以发现最多交点个数就是从1开始的连续的正整数相加，最后一个加数比直线的条数少1，
一般地，n条直线相交，最多有（首尾相加和为n，第二和倒数第二个的和也为n，由此即可推出此式子）个交点．
【点拨】本题主要考查了直线的交点个数问题，解题的关键在于能够根据特例推出相应的规律．
【变式2】观察表格：
根据表格中的规律解答问题：
（1）5条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（2）n条直线两两相交，有 个交点，平面被分成 块；
（3）应用发现的规律解决问题：一张圆饼切10刀（不许重叠），最多可得到 块饼．
【答案】（1）10，16；（2）n(n﹣1)；1+n(n+1)；（3）56
【分析】（1）总结规律，根据规律求解；
（2）根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：n(n﹣1)；n条直线两两相交，平面被分成1+n(n+1)块；
（3）根据（2）的结论解答即可．
解：（1）5条直线两两相交，有10个交点，平面被分成16块；
故答案为：10，16；
（2）2条直线相交有1个交点；
3条直线相交有1+2＝3个交点；
4条直线相交有1+2+3＝6个交点；
5条直线相交有1+2+3+4＝10个交点；
6条直线相交有1+2+3+4+5＝15个交点；
…
n条直线相交有1+2+3+4+…+(n﹣1)＝n(n﹣1)；
平面被分成1+1+2+3+4+…+(n+1)＝1+n(n+1)；
故答案为：n(n﹣1)；1+n(n+1)；
（3）当n＝10时，（块），
故答案为：56
【点拨】本题考查了直线的交点，规律探索问题以及代数式求值，根据表格找出规律是解题的关键.1条直线
0个交点
平面分成（1+1）块
2条直线
1个交点
平面分成（1+1+2）块
3条直线
（1+2）个交点
平面分成（1+1+2+3）块
4条直线
（1+2+3）个交点
平面分成（1+1+2+3+4）块