人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.2 数轴学案及答案

这是一份人教版（2024）七年级上册第一章 有理数1.2 有理数1.2.2 数轴学案及答案，共14页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，知识点一，知识点二，知识点三，知识点四，知识点五等内容，欢迎下载使用。
1．理解数轴的概念及三要素；
2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；
3．体会并理解数形结合思想；
4. 初步理解数轴上的动点问题.
【要点梳理】
1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.
特别说明：
（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.
（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．
（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．
2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如.
特别说明：
（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.
（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.
【典型例题】
【知识点一】数轴三要素及其画法
1．在下列图中，正确画出的数轴是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】先熟知数轴的定义，规定了原点，正方向，单位长度的直线是数轴，再对各选项进行一一排查即可．
解：A. 数轴的单位长度不统一，故选项A不正确；
B. 满足数轴的三要素，有原点，正方向，单位长度，故选项B正确；
C. 数轴标数不全，故选项C不正确；
D. 数轴没有正方向，故选项D不正确．
故选择B．
【点拨】本题考查数轴的定义与画法，掌握数轴的三要素是解题关键．
举一反三：
【变式1】下列关于数轴的图示，画法不正确的有（ ）


A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【分析】根据数轴的定义，逐一判断，即可得到答案．
解：（1）中数轴的单位长度不一致，画法不正确，符合题意；
（2）中数轴没有原点，画法不正确，符合题意；
（3）中数轴画法正确，不符合题意；
（4）中数轴没有正方向，画法不正确，符合题意；
∴画法不正确的有3个，
故选B．
【点拨】本题主要考查数轴的画法，掌握画数轴的三要素：正方向，单位长度，原点，是解题的关键．
【变式2】下列各语句中，错误的是（ ）
A．数轴上，原点位置的确定是任意的
B．数轴上，正方向是从原点向右
C．数轴上，单位长度1的长度的确定，可根据需要任意选取
D．数轴上，与原点的距离等于36.8的点有两个
【答案】B
【分析】根据数轴的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
解：A. 数轴上，原点位置的确定是任意的，正确，不符合题意；
B. 数轴上，正方向可以是从原点向右，也可以是从原点向左，错误，符合题意；
C. 数轴上，单位长度1的长度的确定，可根据需要任意选取，正确，不符合题意；
D. 数轴上，与原点的距离等于36.8的点有两个，正确，不符合题意；
故选B．
【点拨】本题考查了数轴的定义，是基础题，需熟记．
【知识点二】用数轴上的点表示有理数
2.在数轴上，点A表示－2，若从点A出发，沿数轴的正方向移动5个单位长度到达点B，则点B表示的数是______．
【答案】3
【分析】根据向右加的运算法则，计算-2+5的结果就是点B表示的数．
解：根据题意，得点B表示的数是-2+5=3，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了数轴上的动点问题，熟练掌握新数的表示方法是解题的关键．
举一反三：
【变式1】从数轴上表示-3的点出发，向右移动4个单位长度到点A，则点A表示的数是_____．
【答案】1
【分析】根据向数轴右边移动进行有理数加法运算即可得到答案．
解：由题意得点A表示的数为，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查了用数轴表示有理数，熟知向右移是加运算是解题的关键．
【变式2】数轴上点A表示数﹣1，点B表示数2，该数轴上的点C满足条件CA＝2CB，则点C表示的数为_____．
【答案】1或5##5或1
【分析】先求出AB的值，再分两种情况：①当点C在线段AB上时，②当点C在点B右侧时，求解即可．
解：AB＝2﹣（﹣1）＝2+1＝3，
①当点C在线段AB上时，
∵CA＝2CB，
∴CB＝AB＝=1，
∴OC＝OB﹣CB＝2﹣1＝1，
∴点C表示的数为1；
②当点C在点B右侧时，
∵CA＝2CB，
∴CB＝AB＝3，
∴OC＝OB+BC＝2+3＝5，
∴点C表示的数为5；
故答案为：1或5．
【点拨】此题考查了数轴的问题，解题的关键是分两种情况根据数轴的性质求解．
【知识点三】利用数轴比较有理数的大小
3.如图数轴．
(1)写出数轴上A，B，C各点分别表示的有理数；
(2)在数轴上把下列各数分别表示出来：、、4.5；
(3)用“>”将（1）、（2）中的六个数由大到小连接起来．
【答案】(1)，，；(2)见解析；(3)
【分析】
(1)直接根据数轴上点对应数大小分布的特点写出即可；
(2)直接在数轴上表示出各数即可；
(3)根据数轴上数的大小特点直接即可写出答案．
解：(1) A，B，C各点分别表示的有理数为：，，
（2） 如图所示，
（3）由数轴可得：
．
【点拨】本题考查了数轴的有关知识，熟练掌握数轴上的数的分布特点是解题的关键．
举一反三：
【变式1】写出数轴上点A、B表示的数，并且在数轴上画出点C，最后将点A、B、C所表示的数用“＜”连接． 点C表示的数为．
解：点A表示的百分数为 ，点B表示的假分数为 ．
＜ ＜ ．
【答案】，，，，
【分析】根据数轴上的点表示的数即可德结果，根据数轴的点表示的数，右边的数总比左边的数大即可比较大小．
解：在数轴上正确标出点C；
点A表示的百分数为50%；
点B表示的假分数为；
排列正确：．
【点拨】本题考查数轴、数轴上的点与实数是一一对应的关系，解题的关键是要注意数轴上的点比较大小的方法是右边的数总是大于左边的数，把“数”和“形”结合起来．
【变式2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上表示出－a，－b，；
（2）把a，b，－a，－b，，用“＜”连接起来．
【答案】（1）数轴表示见解析；（2）
【分析】
（1）先画出数轴，然后把根据题意表示出对应的有理数即可；
（2）根据数轴上点表示的有理数左边的数小于右边的数进行求解即可．
解：（1）数轴表示如下所示：
（2）根据数轴上点的位置可得：．
【点拨】本题主要考查了用数轴表示有理数，利用数轴比较有理数的大小，解题的关键在于能够熟练掌握有理数与数轴的关系．
【知识点四】数轴上两点的距离
4.如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数－1的点与表示数5的点重合，请你回答以下问题：
(1)表示数－2的点与表示数__________的点重合；表示数7的点与表示数__________的点重合.
(2)若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是_______；点B表示的数是________；
(3)已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数是多少？
【答案】(1)6，－3；(2)－4、8；(3)M点表示的数为－1008或1012
【分析】
（1）先判断出表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，即可得出答案；
（2）先判断出点A和点B到表示数2的点的距离为6，即可得出结论；
（3）分点M在点A的左边和在点B的右侧，用距离之和为2020建立方程求解即可得出结论．
解：（1）由折叠知，表示数－1的点与表示数5的点关于数2的点对称，
∴表示数－2的点与表示数6的点关于数2的点对称，
表示数7的点与表示数－3的点关于数2的点对称，
故答案为：6，－3；
∵折叠后点A与点B重合，
∴点A与点B关于表示数2的点对称，
∵A，B两点之间距离为12，
∴点A和点B到表示数2的点的距离都为6，
∴点A表示的数为2－6=－4，点B表示的数为2＋6=8，
故答案为：－4，8；
设M表示的数为x，
当M点在A点左侧时，解得；
当M点在B点右侧时：，解得，
所以M点表示的数为－1008或1012．
【点拨】本题考查折叠问题，一元一次方程的解法，用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．
举一反三：
【变式1】如图，在数轴上有三个点A，B，C，回答下列问题：
(1)若将点B向右移动5个单位长度后，三个点所表示的数中最小的数是多少？
(2)在数轴上找一点D，使点D到A，C两点的距离相等，写出点D表示的数；
(3)在数轴上找出点E，使点E到点A的距离等于点E到点B的距离的2倍，写出点E表示的数．
【答案】(1)；(2)0.5；(3)或
【分析】
（1）根据移动的方向和距离结合数轴即可回答；
（2）根据题意可知点是线段的中点；
（3）点可能在、之间，也可能在点的左侧．
解：（1）点向右移动5个单位长度后，点表示的数为1；
三个点所表示的数中最小的数是点，为．
（2）点到，两点的距离相等；故点为的中点．表示的数为：0.5．
（3）当点在、之间时，，从图上可以看出点为，
点表示的数为；
当点在点的左侧时，根据题意可知点是的中点，
点表示的数是．
综上：点表示的数为或．
【点拨】本题主要考查的是数轴的认识，解题的关键是找出各点在数轴上的位置．
【变式2】如图，数轴上点A，B，M，N表示的数分别为－1，5，m，n，且AM＝AB，点N是线段BM的中点，求m，n的值．
【答案】m＝3，n＝4或m＝－5，n＝0
【分析】根据题意得：AB＝6．再由AM＝AB，可得AM＝4．然后分两种情况讨论，即可求解．
解：∵数轴上，点A，B表示的数分别为－1，5，
∴AB＝6．
∵AM＝AB，
∴AM＝4．
①当点M在点A右侧时，
∵点A表示的数为－1，AM＝4，
∴点M表示的数为3，即m＝3．
∵点B表示的数为5，点N是线段BM的中点，
∴点N表示的数为4，即n＝4．
② 当点M在点A左侧时，
∵点A表示的数为－1，AM＝4，
∴点M表示的数为－5，即m＝－5．
∵点B表示的数为5，点N是线段BM的中点，
∴点N表示的数为0，即n＝0．
综上，m＝3，n＝4，或m＝－5，n＝0．
【点拨】本题主要考查了数轴上两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
【知识点五】数轴上的动点问题
5.如图，在数轴上，点A、B、C表示的数分别为－2、1、6（点A与点B之间的距离表示为AB）．
（1）AB= ，BC= ，AC= ．
（2）若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动．请问：2BC－AC的值是否随着运动时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，求其值．
（3）若点C以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时，点A和点B分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右运动．求随着运动时间t的变化，AB、BC、AC之间的数量关系．
【答案】（1）3，5，8；（2）会，理由见解析；（3）当t2时，AB+AC=BC
【分析】
（1）根据点A、B、C在数轴上的位置，写出AB、BC、AC的长度；
（2）求出BC和AB的值，然后求出2BC−AB的值，判断即可；
（3）分别表示出AB、BC、AC的长度，然后分情况讨论得出之间的关系．
解：（1）由图可得，AB＝3，BC＝5，AC＝8，
故答案为：3，5，8；
（2）2BC−AB的值会随着时间t的变化而改变．
设运动时间为t秒，
则2BC−AB
＝2[6＋5t−（1＋2t）]−[1＋2t−（−2−t）]
＝12＋10t−2−4t−1−2t−2−t
＝3t+7，
故2BC−AB的值会随着时间t的变化而改变；
（3）由题意得，AB＝t＋3，
BC＝5−5t（t＜1时）或BC＝5t−5（t≥1时），
AC＝8−4t（t≤2时）或AC＝4t−8（t＞2时），
当t＜1时，AB＋BC＝（t＋3）＋（5−5t）＝8−4t＝AC；
当1≤t≤2时，BC＋AC＝（5t−5）＋（8−4t）＝t＋3＝AB；
当t＞2时，AB＋AC＝（t＋3）＋（4t−8）＝5t−5＝BC．
【点拨】本题主要考查了数轴及两点间的距离，解题的关键是能求出两点间的距离．
举一反三：
【变式1】“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”．
（1）如图1，点A表示的数为-1，则A的幸福点C所表示的数应该是______；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为-2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是______（填一个即可）；
（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为-1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心吗？请说明理由．
【答案】（1）-4或2；（2）C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；（3）当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【分析】
（1）根据幸福点的定义即可求解；
（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）根据幸福中心的定义即可求解．
解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是-1-3=-4或-1+3=2；
故答案为：-4或2；
（2）∵4-（-2）=6，
∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是-2或-1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，理由是：
8-2-4+（8-2+1）=6，
故当经过秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【点拨】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程=时间×速度，认真理解新定义．
【变式2】已知数轴上有三点，，分别表示有理数，，，动点从点出发，以个单位长度的速度向终点移动，设点移动时间为．
（1）用含的代数式表示点分别到点和点的距离：______，______．
（2）当点运动到点时，点从点出发，以个单位长度的速度向点运动，点到达点后，再立即以同样的速度返回，当点运动到点时，两点运动停止．当点，运动停止时，求点，间的距离．
【答案】（1），；（2）24
【分析】
（1）根据数轴上两点的距离即可求得答案；
（2）先求得点从点到点的时间，进而求得点运动的路程，根据题意确定的位置，进而求得的距离
解：（1），
故答案为：，；
（2）解：点从点到点的时间为
点运动的路程为
点，距离为
答：点，距离为
【点拨】本题考查了数轴上两点距离，数轴上动点问题，数形结合是解题的关键．
【知识点六】根据点在数轴的位置判断式子的正负
6.若实数m、n在数轴上的位置如图所示，则（m+n）（m-n）________ 0，（填“＞”、“＜”或“＝”）
【答案】＞
【分析】根据数轴可以确定m、n的大小关系，根据加法以及减法的法则确定m＋n以及m−n的符号，可得结果．
解：根据题意得：m＜0＜n，且|m|＞|n|，
∴m＋n＜0，m−n＜0，
∴（m＋n）（m−n）＞0．
故答案为＞．
【点拨】本题考查了整式的加减和数轴，熟练掌握运算法则是解题的关键．
举一反三：
【变式1】已知a、b、c在数轴上的位置如图，用“＜”或“＞”连接，则a－b________0，a＋c_____0．
【答案】
【分析】根据a、b、c在数轴上的位置确定的符号可确定的符号，比较与的大小，可确定的符号．
解：由图可知，
，
根据有理数的加法法则可得，
，
，
，
故答案为：．
【点拨】本题考查了根据数轴比较有理数的大小，有理数的加法法则，绝对值的意义，数形结合是解题的关键．
【变式2】有理数a，b在数轴上的位置如图所示，下列各式：①，②，③，④，正确的有________个.
【答案】2
【分析】由数轴上的点表示的数，即可判断各个不等式.
解：∵，∴①正确，
∵，∴②错误，
∵，∴③错误，
∵，∴④正确.
故答案是：2.
【点拨】本题主要考查数轴上的数以及算式结果的正负性的判断，理解数轴上的点表示的数，是解题的关键.