35直线、射线、线段（提高）知识讲解学案

直线、射线、线段（提高）知识讲解

【学习目标】

1．理解直线、射线、线段的概念，掌握它们的区别和联系；

2. 利用直线、线段的性质解决相关实际问题；

3．利用线段的和差倍分解决相关计算问题．

【要点梳理】

要点一、直线

1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述．

2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．

   （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线．

 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．

要点诠释：

直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．

（2）直线没有粗细．

（3）两点确定一条直线．

（4）两条直线相交有唯一一个交点．

4.点与直线的位置关系：

（1）点在直线上，如图3所示，点A在直线m上，也可以说：直线m经过点A．

（2）点在直线外，如图4，点B在直线n外，也可以说：直线n不经过点B．

要点二、线段

1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段．

2.表示方法：

（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．

（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a．

3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法：

法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．

法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例如：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段．

4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．

如图6所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的．

要点诠释：

（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短．

（2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．

（3）线段的比较：

①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．

②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．

5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图7所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC．

要点诠释：

若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上．

要点三、射线

1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点．

如图8所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点．

2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长．

3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．

          （2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l．

要点诠释：

(1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图9中射线OA，射线OB是不同的射线．

(2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图10中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．

要点四、直线、射线、线段的区别与联系

1.直线、射线、线段之间的联系

（1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线．

（2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线．

2．三者的区别如下表

要点诠释：

（1） 联系与区别可表示如下：

（2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．

【典型例题】

类型一、有关概念

1.如图所示，指出图中的直线、射线和线段．

【思路点拨】从图上看，A、D、F分别是线段CB、BC、BE的延长线上的点，也就是说，A、D、F三点的位置并不是完全确定的．此时，我们也就能分清楚图中的直线、射线和线段了．

【答案与解析】

解：直线有一条：直线AD；

    射线有六条：射线BA、射线BD、射线CA、射线CD、射线BF、射线EF；

线段有三条：线段BC、线段BE、线段CE．

【总结升华】在表示线段和直线时，两个大写字母的顺序可以颠倒．然而，在叙述线段的延长线的时候，表示线段的两个大写字母的顺序就不能颠倒了，因为线段向一方延伸后就形成了射线(延长部分已不再是线段本身了)，而表示射线的两个大写字母的顺序是不能颠倒的，只能用第一个字母表示射线的端点，第二个字母表示射线方向上的任一点．

举一反三：

【变式】两条不同的直线，要么有一个公共点，要么没有公共点，不能有两个公共点.  这是为什么?画图说明.

【答案】

解：

∵过两点有且只有一条直线.（或两点确定一条直线.）

∴两条不同的直线，要么有一个公共点，如图（1）；要么没有公共点，如图（2）；不能有两个公共点.

类型二、有关作图

2．（2016春•高青县期中）已知平面上四点A、B、C、D，如图：

（1）画直线AD；

（2）画射线BC，与AD相交于O；

（3）连结AC、BD相交于点F．

【思路点拨】（1）画直线AD，连接AD并向两方无限延长；（2）画射线BC，以B为端点向BC方向延长交AD于点O；（3）连接各点，其交点即为点F．

【答案与解析】

解：如图所示：

【总结升华】本题主要考查直线、射线、线段的认识，掌握直线、射线、线段的特点是解题的关键．

举一反三：

【变式1】下列说法正确的有    (  )

①射线与其反向延长线成一条直线；

②直线a、b相交于点m；

③两直线相交于两个交点；

④直线A与直线B相交于点M

A．3个    B．2个    C．1个    D．4个

【答案】 C

【变式2】下列说法中，正确的个数有(   )

①已知线段a，b且a-b＝c，则c的值不是正的就是负的；

②已知平面内的任意三点A，B，C则AB+BC≥AC；

③延长AB到C，使BC＝AB，则AC＝2AB；

④直线上的顺次三点D、E、F，则DE+EF＝DF．

    A．1个    B．2个    C．3个    D．4个

【答案】C

类型三、个（条）数或长度的计算

3. 根据题意，完成下列填空．

如图所示，与是同一平面内的两条相交直线，它们有1个交点，如果在这个平面内，再画第3条直线，那么这3条直线最多有________个交点；如果在这个平面内再画第4条直线，那么这4条直线最多可有________个交点．由此我们可以猜想：在同一平面内，6条直线最多可有________个交点，n(n为大于1的整数)条直线最多可有________个交点(用含有n的代数式表示)．

【答案】3， 6，  15，  .

【解析】本题探索过程要分两步：首先要填好3条直线最多可有2+1＝3个交点，再类推4条直线，5条直线，6条直线的情形所得到的和式，其次再研究这些和式的规律，得出一般性的结论．

【总结升华】n(n为大于1的整数)条直线的交点最多可有：个

举一反三：

【变式1】平面上有个点，最多可以确定       条直线 

【答案】

【变式2】一条直线有个点，最多可以确定       条线段，       条射线

【答案】，

【变式3】一个平面内有三条直线，会出现几个交点?

【答案】0个，1个，2个，或3个.

4.已知线段AB＝14cm，在直线AB上有一点C，且BC＝4cm，M是线段AC的中点，求线段AM的长．

【思路点拨】题目中只说明了A、B、C三点在同一直线上，无法判定点C在线段AB上，还是在线段AB外(也就是在线段AB的延长线上)．所以要分两种情况求线段AM的长．

【答案与解析】

解：①当点C在线段AB上时，如图所示．

    因为M是线段AC的中点，

    所以．

    又因为AC＝AB-BC，AB＝14cm，BC＝4cm，

    所以．

②当点C在线段AB的延长线上时，如图所示．

    因为M是线段AC的中点，

    所以．

    又因为AC＝AB+BC，AB＝14cm，BC＝4cm，

    所以9(cm)．

    所以线段AM的长为5cm或9cm．

【总结升华】在解答没有给出图形的问题时，一定要审题，要全面考虑所有可能的情况，即当我们面临的教学问题无法确定是哪种情形时，就要分类讨论．

举一反三：

【变式】（2015秋•泰安校级月考）已知A，B，C为直线l上的三点，线段AB=9cm，BC=1cm，那么A，C两点间的距离是　    　．

【答案】8cm或10cm．

解：分两种情况：

①如图1，点C在线段AB上，则AC=AB﹣BC=9﹣1=8（cm）；

②如图2，点C在线段AB的延长线上，AC=AB+BC=9+1=10（ cm）．

故答案为：8cm或10cm．

类型四、路程最短问题

5.（2015春•嵊州市期末）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有30人，C区有10人，三个区在同一条直线上，如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（　　）

　 A．A区 B． B区 C． C区 D． A、B两区之间

【答案】B．

【解析】

解：①设在A区、B区之间时，设距离A区x米，

则所有员工步行路程之和=30x+30（100﹣x）+10（100+200﹣x），

=30x+3000﹣30x+3000﹣10x，

=﹣10x+6000，

∴当x最大为100时，即在B区时，路程之和最小，为5000米；

②设在B区、C区之间时，设距离B区x米，

则所有员工步行路程之和=30（100+x）+30x+10（200﹣x），

=3000+30x+30x+2000﹣10x，

=50x+5000，

∴当x最大为0时，即在B区时，路程之和最小，为5000米；

综上所述，停靠点的位置应设在B区．

【总结升华】本题是线段的概念在现实中的应用，根据题意分别计算停靠点分别在各点时员工步行的路程和，选择最小的即可得解.

举一反三：

【变式】如图，从A到B最短的路线是（　　）

A．A-G-E-B        B．A-C-E-B    

C．A-D-G-E-B      D．A-F-E-B  

【答案】D