第4章 图形的相似（单元测试·拔尖卷）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

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第4章 图形的相似（单元测试·拔尖卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．用“▲”，“●”，“◆”分别表示三种物体的重量，若，则▲，●，◆这三种物体的重量比为（    ）A． B． C． D．2．如图，在中，平分，按如下步骤作图：分别以点B，D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，分别交于两点M，N；作直线分别与，交于点E，F，交于点O，连按，．根据以上作图，一定可以推得的结论是（    ）A．是的中位线 B．点O为的重心C． D．3．将矩形OABC如图放置，O为坐标原点，若点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，则点C的坐标是（　　　） A．（4，2） B．（3，） C．（3，） D．（2，）4．如图，点E为▱ABCD的AD边上一点，且AE∶ED＝1∶3，点F为AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC等于(　　)  A．1∶2 B．1∶5 C．1∶4 D．1∶35．如图，在中，，，作如下作图； ①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交、于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点P；③作射线交于点D；根据以上作图，判断下列结论正确的有（    ）①是等腰三角形  ②  ③  ④A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④6．如图所示，在矩形中，F是上一点，平分交于点E，且，垂足为点M，，，则的长是（    ） A． B． C．1 D．7．如图，菱形的边长为，对角线交于点，且，分别是AB和的中点，的延长线交CD于点，则的长是（    ）A． B． C． D．8．如图，，，D是上一点，连接，与的平分线交于点E，连接，若，，则（ ）A． B．1 C． D．29．如图，正方形中，，点在的延长线上，且，连接，的平分线与相交于点，连接，则的长为（   ）A． B． C． D．10．如图，把一张长方形纸片沿，折叠，顶点，，，的对应点分别为，，，，点与重合，点恰与，的交点重合．若，，则AD的长为（    ）A． B． C． D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．黄金分割在数学中有非常广泛的应用，已知顶角为的等腰三角形成为黄金三角形，它的底与腰之比为，如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），已知，则的长为 ．12．如图，A，B，C，D四点在同一条直线上，E，F，G三点也同在另一条直线上，，，均为等边三角形．请完成下列问题：  （1）在上取一点P，使得，连接并延长交于Q，则 °．（2）若，，则的长为 ．13．如图，正方形的边长为，点在边AB上，且，过点作直线CE的垂线交CB的延长线于点，连接，则的长为 ． 14．如图，在中，，点在线段上，延长至点，使，连接，若，则的面积为 ．15．如图，在中，D，E两点分别在边BC，AB上，，过点E作，交的平分线于点F，连结DF，若，且，，那么EF的长度是 ． 16．如图，矩形中，为AB边上一点，，为CD边上一点，连接，将四边形沿翻折，点恰好落在AD边上处，点的对应点为，，则的长为 ． 17．如图，四边形是正方形，点在边上，是以为直角顶点的等腰直角三角形，，分别交于点，过点作的垂线交的延长线于点．连接，若，，则 ． 18．如图，在中，，，将绕边AB上点旋转，点、、所对应的点分别是点、、．如果CF恰好是AD与的比例中项，那么 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，过顶点C作直线与与及中线交于F、E，过D作交于M．（1）若，求的值；（2）求证：．20．（8分）如图，中，，，，点从点出发以每秒2个单位的速度由向运动，运动时间为秒，矩形的四个顶点分别在三角形的三边上，（1）直接写出______，______（用含的代数式表示）．（2）经过多长时间面积与矩形的面积相等，求出值．21．（10分）如图，在正方形中，是对角线上的动点（点不与点，重合），线段绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边上，线段与对角线交于点（1）______；与的数量关系是______；（2）求证：；（3）令，①求时的值；②若正方形边长为，直接写出的最小值．22．（10分）已知：如图1，在中，，，点D在线段上，连接，作线段的垂直平分线分别交、于点E、F．（1）如图1，若，，求 的值；（2）把改为，其他条件不变，如图2，求证：23．（10分）在平面直角坐标系中，矩形顶点A的坐标是，顶点C的坐标是，动点M从点C出发，沿着折线运动到终点A，速度是每秒5个单位长度，过点M作于点N，作，使，且点O和P在的同侧，设运动时间为t秒（）（1）如图1，当时， ___________， ___________；（用含t的代数式表示）（2）如图2，当点P落在y轴上时，求点P的坐标；（3）连接，请直接写出使为钝角时t的取值范围．24．（12分）在矩形中，，，将其绕点A逆时针旋转得到矩形．（1）如图1，若点E在上，连接，，交于点O．①求证：平分．②求的长．（2）如图2，若点A，E，C在同一条直线上，直线交于点P，将沿翻折得到，连接，求的长．（3）如图3，若射线交于点P，将沿，翻折得到，连接，当点P，H，B在同一条直线上时，设与交于点M，直接写出的长．参考答案：1．B【分析】可设，利用等比性质可得的值，设▲为x，●为y，◆为z，得到个等式，联立可得用x表示y、z，相比即可．【详解】解：设，▲为，●为，◆为，∴，∴，∴，∴▲，●，◆这三种物体的重量比为．故选：B．【点拨】考查比例性质的应用；利用等比性质得到所给比值的确定值是解决本题的关键．2．D【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、角平分线的定义、相似三角形的判定、平行线分线段成比例等知识，本题中根据作图方法判断出“是线段的垂直平分线”是解题的关键．根据作法得到是线段的垂直平分线，则，所以，再结合可得，则，同理，所以即，据此即可解答．【详解】解：根据作法可知：是线段的垂直平分线，∴，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理：，∴，∴，即D选项一定成立，符合题意；∵，但点E不一定是的中点，则不一定是的中位线，故A选项不符合题意；平分，二重心是三角形三边中线的交点，故B选项不符合题意；不能说明点F是的中点,故C选项不符合题意．故选D．3．B【分析】首先构造直角三角形，利用相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质得出CM，MO＝3，进而得出答案．【详解】如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，过点A作AN⊥BF于点N，过点C作CM⊥x轴于点M．∵∠EAO+∠AOE=90°，∠AOE+∠MOC=90°，∴∠EAO=∠COM，又∵∠AEO=∠CMO=90°，∴△AEO∽△OMC，∴，∵∠BAN+∠OAN=90°，∠EAO+∠OAN=90°，∴∠BAN=∠EAO=∠COM，在△ABN和△OCM中，，∴△ABN≌△OCM（AAS），∴BN=CM．∵点A（﹣1，2），点B的纵坐标是，∴BN，∴CM，∴，∴MO=3，∴点C的坐标是：（3，）．故选：B．【点拨】本题主要考查了矩形的性质以及相似三角形的判定与性质以及结合全等三角形的判定与性质等知识.构造直角三角形，正确得出CM的长是解题的关键.4．B【分析】如图，延长FE，CD交于点H，易证△AFE∽△DHE，根据已知条件和相似三角形的性质可得HD＝3AF.再证得△AFG∽△CHG，根据相似三角形的性质即可解答【详解】延长FE，CD交于点H，  ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DHE，∴ =，即 ，∴HD＝3AF.∵AB∥CD，∴△AFG∽△CHG，∴.故选B.【点拨】本题考查了相似三角形的性质及判定，正确作出辅助线证明△AFE∽△DHE及△AFG∽△CHG是解题的关键.5．D【分析】本题考查了角的平分线基本作图，等腰三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握基本作图和性质是解题的关键．根据，，得到，可判断②正确；结合基本作图，得到，得到，可以判断①③正确；根据得到即解答即可．【详解】解：∵，，∴，∴②正确；根据基本作图，∴，∴，∴，，∴，，∴①③正确；根据题意，得，∴即，∴④正确；故选D．6．D【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定以及相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，解题的关键在于利用三角形相似构造方程求得对应边的长度．根据已知证，利用勾股定理求出的长，再证明，得出，然后证明，得出对应边成比例，建立关于a、x的方程，求解即可．【详解】解：∵平分交于点E，且，，∴，又∵，∴，设，在和中，，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，解得：，故选：D．7．A【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由菱形的性质可得，，，，，进而得，，为等边三角形，得到，即得，，得到，进而由点是的中点，可得，，再由可得，过点作于，可得，即得，得到，再利用勾股定理即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，，，，∴，，∵，∴，∴为等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∵点是的中点，∴，，∵点是AB的中点，∴，∵，∴，∴，即，∴，过点作于，则，∵，∴，∴，∴，∴，故选：．8．D【分析】设，根据面积公式计算，得出，过E作，的垂线，垂足分别为F，G；证明四边形为正方形，然后在直角三角形中，可得，求出正方形的边长，再利用已知的面积建立等式解出x，最后求出即可．【详解】解：过点E作，的垂线，垂足分别为F，G，平分，，，，设，则，又，，，，，，，，四边形是是矩形又，矩形是正方形，，，，，即，解得，，则，解得，，则，故选：D．【点拨】本题考查的是相似三角形的性质、角平分线的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等、角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．9．C【分析】如图，过作于，于，由平分，可得，推出四边形是正方形，，设，则，证明，则，可解得，得，最后根据勾股定理可得解．【详解】解：如图，过作于，于，∴，，∵四边形是正方形，，，∴，，∴，，∴四边形是矩形，，∵平分，，，∴，∴四边形是正方形，设，则，∵，∴，，∴，∴，即，解得：，∴，∴，∴的长为．故选：C．【点拨】本题考查正方形的判定与性质，矩形的判定，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质．解题的关键通过作辅助线构造相似三角形和直角三角形．10．B【分析】过点作于点，由折叠及矩形的性质得：，，，再证，得，又证四边形是矩形，得，进而利用勾股定理求得于是利用得求解即可得解。【详解】解：过点作于点，由题意得：，，，，，∴，∴，∵四边形是长方形，∴，∴四边形是矩形，，∴由折叠可得∴∴∵∴∴∴∵∴∴∴故选．【点拨】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握这些知识是解题的关键．11．/【分析】先根据多边形内角和定理与正多边形的性质得出为黄金三角形，再根据黄金三角形的底与腰之比求出，即可得出结果．本题考查了黄金三角形、正五边形的性质、等腰三角形的判定和性质等知识；熟练掌握正五边形的性质得出为黄金三角形是解题的关键．【详解】解：∵如图正五边形的对角线恰好围成一个“五角星”（即阴影部分），∴设∵黄金三角形的底与腰之比为， ∴在中，即，解得，即，五边形是正五边形，，正五边形内角和，，∴，，则，，则，∴为黄金三角形，黄金三角形的底与腰之比为，即，∴，故答案为：．12． 60 【分析】（1）证明，则，由三角形内角和定理得到，对顶角相等得，即可得到；（2）分别延长，两条延长线交于O，先证明，，则，，得到，进一步即可得到答案．【详解】解：（1）如图，∵，，均为等边三角形．∴，∴，∵，，，∴，∴，∵，，∴；故答案为：60°；（2）分别延长，两条延长线交于O，  ∵，,∴，，∴，，∴，∵，，∴，∴．故答案为：．【点拨】此题考查了平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行线分线段成比例定理、全等三角形的判定和性质是解题的关键．13．.【分析】作FM⊥GC于M，则FM∥AB，由正方形的性质得出∠ABC＝90°，AB＝CB＝6，由ASA证明△ABG≌△CBE，得出BG＝BE，AG＝CE，由AE＝2BE，得出BG＝BE＝2，由勾股定理求出AGCE＝AG＝2，证明△AFE∽△CBE，得出对应边成比例求出AF＝，求出FG＝AG−AF＝，由平行线得出，求出FM＝，GM＝45，得出BM＝BG−GM＝，再由勾股定理求出BF即可．【详解】作FM⊥GC于M，如图所示：则FM∥AB，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，AB＝CB＝6，∴∠ABG＝90°，∴∠G＋∠BAG＝90°，∵CF⊥AG，∴∠AFE＝∠CFG＝90°，∴∠G＋∠BCE＝90°，∴∠BAG＝∠BCE，在△ABG和△CBE中，，∴△ABG≌△CBE（ASA），∴BG＝BE，AG＝CE，∵AE＝2BE，∴BE＝2，AE＝4，∴BG＝BE＝2，∴CE＝AG＝，∵∠AFE＝∠ABC＝90°，∠BAG＝∠BCE，∴△AFE∽△CBE，∴，即，解得：AF＝，∴FG＝AG−AF＝，∵FM∥AB，∴，即，解得：FM＝，GM＝45，∴BM＝BG−GM＝，∴BF＝；故答案为【点拨】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．14．32【分析】如下图，先在Rt△BED中，求出BE的长，从而得出BF的长，然后求出DG的长，最后得出△BDF的面积．【详解】如下图，过点D作BE的垂线，交BE于点G∵DE=4，BD=2DE∴BD=8∴在Rt△BDE中，BE=∵EF=BE，∴BF=8∵∴DG=∴故答案为：32．【点拨】本题考查勾股定理的应用和利用三角形面积转化求高，解题关键是求解出DG的长度．15．【分析】延长EF交AC于设由∽，可得，推出，再证明四边形EMCD是平行四边形，推出，，构建方程即可解决问题；【详解】延长EF交AC于设．，，，∽，，，，，，，，，，四边形EMCD是平行四边形，，，，解得或舍弃)，，故答案为．【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．16．【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，设交于点，过作于点，设，由折叠的性质得，，，由勾股定理得到 ，求出，得到，，由，得到，求出，由，得到，求出 ，得到，由勾股定理求出 ，由，得到，求出，得到，由矩形的性质得到，，求出 ，由勾股定理求出，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】设交于点，过作于点，设，∵，∴，，由折叠的性质得：，，，，，在中，，∴，∴，∴，，∴，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴四边形是矩形，∴，，∴，∴，故答案为：．17．//2.6【分析】延长交延长线于，由正方形的性质，平角的定义推出，即可证明，得到，得到是等腰直角三角形，求出，的长，由，，即可求出的长，从而求出的长．【详解】解：延长交延长线于，如图，∵四边形是正方形，∴，，∵，∴四边形为矩形，∴，∵是等腰直角三角形，∴，∵四边形是正方形，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、等腰直角三角形等知识，综合应用相关知识点是解题的关键．18．或【分析】连接、过作于由旋转得，，，．故，，得，进而由CF恰好是AD与的比例中项得，，又证明得，从而证明，或，进而分两种情况讨论求解即可。【详解】解∶连接、过作于由旋转得，，，．∴,,∴，，∴得∶即∵CF恰好是AD与的比例中项，∴∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∵，∴∴即，∴，∴，∴，或，∴当，、，重合，∴，∵，∴设，，∵，∴，∵面积，∴，∴∴，∴．当时，∵，∴，∴，∴．故答案为∶或．【点拨】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定及性质，因式分解及有理数的乘法法则，掌握相似三角形的判定及性质是解题关键．19．(1)(2)见解析【分析】本题考查三角形相似的额判定与性质．（1）根据，证明，得到，由，得到，进而得到，求出，即可求解；（2）由（1）知，得到，推出，根据，证明，得到，推出，即可证明结论．【详解】（1）解：，，，，，，，即，的值为；（2）证明：，，即，，，，，点D是中点，，，，即，．20．(1)，(2)的值为或【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）先得出的值，再得出，得出的值即可；（2）先得出，再利用勾股定理得出的值，最后利用面积与矩形的面积相等列方程即可得出答案．【详解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，，∵四边形为矩形，∴，∴，∴，即，∴；（2）解：由（1）得：，∴，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，∵四边形为矩形，∴，∴∴，在中，，∴∵面积与矩形的面积相等，，，∴，解得：或∴的值为或．21．(1)；(2)见解析(3)①；②【分析】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，确定圆的条件，相似三角形的判定和性质等知识，解题关键是添加辅助线，构造全等三角形．（1）由“”可证，可得，，通过证明是等腰直角三角形，可得，，由“”可证，可得，即可求解；（2）通过证明，可得，通过证明，可得，即可求解；（3）①先表示出，和，在证明基础上，代入求得结果；②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，求得，表示出，，根据列出，进一步得出结果．【详解】（1）过点作于，交于；如图，，四边形是正方形，，，四边形是矩形，四边形是矩形，，，，，，，，，，线段绕点逆时针旋转，，，又，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，又，，，，，，故答案为：；；（2），，，，，，，，，，，，；（3）将绕点逆时针旋转至，如图2，，，，，，，，，，，，，，，，，①设，则，，，，由（1）知：，，，，，舍去；②作于，作的外接圆，连接，，，作 于，设的半径为，如图3，，，，，，，，，，，的最小值是．22．(1)3(2)见解析【分析】（1）连接，，证明，得到，即可求解．（2）证明，得到，又，所以，再证明，得到，即，即可得出结论．【详解】（1）解：连接，，∵，，∴是等边三角形，∴，∵，∴，∵垂直平分线段，∴，，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，，∴．（2）证明：作交延长线于G，如图2，∵∴∴∵∴∵∴∵∴∴∴，∴∵垂直平分∴∴∴∴∴∴．【点拨】本题考查线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，余角的性质，平行线的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．23．(1)，(2)(3)当或时，是钝角三角形【分析】（1），当时，则点M在OC上运动，根据题意可求出，则可求出；证明得到，即可求出；（2）证明，得到，在中，由勾股定理求出，则，据此求解即可；（3）分两种情况：如图3-1所示，当点M在上运动，时，如图3-2所示，当点M在上运动，时，利用相似三角形的性质求出时的临界值即可得到答案．【详解】（1）解：∵四边形是矩形，，∴∴，∵动点M从点C出发，沿着折线运动到终点A，速度是每秒5个单位长度，，∴，，∴，∵，∴，∴，即，∴，故答案为：，；（2）解：∵，∴，，∴，又∵，∴，∴，在中，，∴，∴，，∴解得或（舍去），∴，∴点P的坐标为；（3）解：如图3-1所示，当点M在上运动，时，同理可证，∴，即，∴，解得或（舍去），∴时，是钝角三角形；如图3-2所示，当点M在上运动，时，同理可证，∴，同理可证，∴，即，∴，，∴，∴，解得，∴时，是钝角三角形；综上所述，当或时，是钝角三角形；【点拨】本题主要考查了相似三角形的动点问题，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．24．(1)①证明见解析  ②(2)(3)【分析】（1）①根据旋转的性质，得到等腰三角形，结合等腰三角形的等边对等角性质，矩形的性质，平行线的性质证明平分．②过点作于点，连接，利用矩形的性质，勾股定理求的长即可．（2）如图2，过点作于点．利用三角形相似的判定和性质，勾股定理，计算的长即可．（3）根据旋转的性质，翻折的性质，勾股定理，设未知数解方程求的的长即可．【详解】（1）解：①证明：由旋转可得，∴．∵四边形是矩形，∴∴，∴，∴平分．②解：如图1，过点作于点，连接．∵四边形是矩形，∴．由①得平分，∴．∵四边形是矩形，．，．四边形是平行四边形．．在中，．由勾股定理，得．在中，，由勾股定理，得．（2）解：如图2，过点作于点．根据题意，得．四边形是矩形，．在中，由勾股定理，得．由翻折可知，．． ．，即．由勾股定理，得． ． ．，．．由勾股定理，得．在中，由勾股定理，得．（3）．由旋转可知，．．由翻折可知，．在中，由勾股定理，得．，．设，则．在中，由勾股定理，得．，解得．【点拨】本题考查了矩形的性质，旋转性质，翻折性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握相关性质，勾股定理和三角形相似的判定是解题的关键．