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北师大版初中数学九年级上册第四章《图形的相似》单元测试卷（困难）（含答案解析）
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这是一份北师大版初中数学九年级上册第四章《图形的相似》单元测试卷（困难）（含答案解析），共33页。
北师大版初中数学九年级上册第四章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是( )
A. 10 B. 12 C. 454 D. 365
2. 若xy+z=yx+z=zx+y=k，则k=( )
A. 0 B. 12 C. −1 D. 12或−1
3. 如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO、DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE；③AF:BE=2:3；④S四边形AFOE:S△COD=2:3.其中正确的结论有 ( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ②③④
4. 已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( )
A. 新三角形与原三角形相似
B. 新矩形与原矩形相似
C. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似
6. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF=FG.则下列结论正确的有( )
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
7. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE=15°，连接BE并延长BE到F，使CF=CB，BF与CD相交于点H，若AB=1，有下列结论：①BE=DE；②CE+DE=EF；③S△DEC=14−312；④DHHC=23−1.则其中正确的结论有( )
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③④
8. 如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE//BC交AC于点E，过点E作EF//AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是( )
A. BDFG=BFFC
B. DEBC=AEAC
C. ADAB=AEAC
D. BFBC=ADAB
9. 如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. 30cm2 B. 40cm2 C. 50 cm2 D. 60 cm2
10. 如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为( )
A. 245 B. 325 C. 123417 D. 203417
11. 如图，已知在△ABC纸板中，AC=4，BC=8，AB=11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是( )
A. 0
A. 32018 B. 32019 C. 34038 D. 34040
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为(−2,3)，(1,−1)，则两个正方形的位似中心的坐标是___．
14. 如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2 m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4 m，BD=14 m，则旗杆AB的高为________m．
15. 已知，如图，OC⊥OA，AB⊥OA，OC=1，AB=3，P是线段OA上的一个动点，若在线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似，则OA的长是______．
16. 已知x3=y4=z5，则3x+y−z4x−5y+2z=________．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. 如图 ①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到黄金分割线，类似地给出黄金分割线的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S=S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图 ②)，则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗⋅为什么⋅
(2)三角形的中线是不是该三角形的黄金分割线⋅请说明理由;
(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF//CE，交AC于点F，作直线EF(如图 ③)，则直线EF是△ABC的黄金分割线，请你说明理由;
(4)如图 ④，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF//AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边的黄金分割点．
18. 在▵ABC中，AD⊥BC，BC=AD=20cm，现有若干张长为5cm宽为3cm的矩形纸片，打算如图方向平铺在三角形内，(纸片均不能重叠和超出三角形ABC三边)
(1)如果纸片只平铺底层，最多能平铺几张完整的矩形纸片，说明理由；
(2)三角形内最多可以平铺几张完整的矩形纸片，说明理由．
19. 阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形．
解决问题：
⑴当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．
⑵边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由
20. 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
(1)当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ;
(2)当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似⋅请说明理由;
(3)在(2)的条件下，若BP=1，CQ=92，求PQ的长．
21. 已知：如图，△ABC中，BD是中线，点E是AB上一点，CE与BD交于点F，EB=EF．
(1)在图中与∠DFC相等的角有______和______；
(2)在图中找出与线段AB相等的线段，并证明．
(3)若∠ADB=90°−12∠ABD，AB=kAC，求BFDF的值．(用含k的代数式表示)
22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)，C(1,4)均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位、再沿y轴向下平移1个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
23. ΔABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
(1)作ΔABC关于点C成中心对称的ΔA1B1C1 ．
(2)将ΔA1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的ΔA2B2C2．
(3)在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标________．
24. 已知，△DEF是△ABC的位似三角形(点D、E、F分别对应点A、B、C)，原点O为位似中心，△DEF与△ABC的位似比为k．
(1)若位似比k=12，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出△DEF；
(2)若位似比k=m，△ABC的周长为C，则△DEF的周长=______；
(3)若位似比k=n，△ABC的面积为S，则△DEF的面积=______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键．由四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式ABA1B1=CDC1D1，将AB=12，CD=15，A1B1=9代入，计算即可求出边C1D1的长．
【解答】
解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴ABA1B1=CDC1D1，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，
∴C1D1=9×1512=454．
故选C．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质，分式的性质．分类讨论：当x+y+z≠0时，根据等比性质，可得答案；当x+y+z=0时，根据分式的性质，可得答案．
【解答】
解：当x+y+z≠0时，由等比性质，得
k=x+y+zy+z+z+x+y+x=x+y+z2(x+y+z)=12，
当x+y+z=0时，得x=−(y+z)，y=−(x+z)，z=−(x+y)，
xy+z=k=xy+z=−(y+z)y+z=−1，
故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB // CD，AB=CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA=OB=12AB=12DC，CD⊥CE，
∵OA // DC，
∴EAED=EOEC=OACD=12，
∴AE=AD，OE=OC，
∵OA=OB，OE=OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确，
∵∠DCE=90°，DA=AE，
∴AC=AD=AE，
∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确，
∵OA // CD，
∴AFCF=OACF=12，
∴AFAC=AFBE=13，故③错误，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a，
∴S四边形AFOE：S△COD=2：3.故④正确，
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：A、由作图可知：∠CAD=∠B，可以推出∠C=∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图−相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是相似图形的判断，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键.根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可．
【解答】
解：如图所示：
根据题意得：AB//A′B′，AC//A′C′，BC//B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′；
如图2：
设矩形的长和宽分别为a，b，由题图知a>b，则扩大后的长和宽分别为a+2，b+2，列比例式后相减得不等于零．
∴新矩形与原矩形对应边的比不相等，
∴新矩形与原矩形不相似．
故选A．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积．
①由折叠可知∠1=∠2，∠3=∠4，即可得∠EBG=45∘；
②由ABDE≠AGDF，可知②错误；
③通过计算S△ABG与S△FGH即可得结论；
④通过计算AG+DF=5，而FG=5，故④正确．
【解答】
解：如图
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的
点F处，
∴∠1=∠2，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3=∠4，
∴∠2+∠3=12∠ABC=45∘，
即∠EBG=45∘，
所以 ①正确;
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的
点F处，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，
∵AB=6，BF=10，
∴AF=102−62=8，
∴DF=AD−AF=10−8=2，
设EF=x，则CE=x，
DE=CD−CE=6−x，
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2=EF2，
∴(6−x)2+22=x2
解得x=103，
∴ED=83，
HF=BF−BH=10−6=4，
设AG=y，则GH=y，GF=8−y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，
∴y2+42=(8−y)2，解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D，ABDE=683=94，AGDF=32，
∴ABDE≠AGDF，
∴△ABG与△DEF不相似，所以 ②错误;
∵S△ABG=12⋅6⋅3=9，S△FGH=12⋅GH⋅HF=12×3×4=6，
∴S△ABG=32S△FGH，所以 ③正确;
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以 ④正确。
∴ ① ③ ④正确。
故选B．
7.【答案】A
【解析】证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，
∴∠CBE=∠F，
∴∠CBE=∠CDE=∠F，
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEG=60°，
∵CE=GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECD=GCF，
在△DEC和△FGC中，
CE=CG∠ECD=∠GCFCD=CF,
∴△DEC≌△FGC(SAS)，
∴DE=GF，
∵EF=EG+GF，
∴EF=CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，
根据勾股定理求出AC=2，
由面积公式得：12AD×DC=12AC×DM，
∴DM=22，
∵∠DCA=45°，∠AED=60°，
∴CM=22，EM=66，
∴CE=CM−EM=22−66
∴S△DEC=12CE×DM=14−312，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE=2ME=63，
∵△ECG是等边三角形，
∴CG=CE=22−66，
∵∠DEF=∠EGC=60°，
∴DE//CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴DHHC=DECG=6322−66=3+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；
③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得S△DEC=14−312；
④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得DHHC=DECG=3+1．
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：A、∵EF//AB，
∴△CGF∽△CDB，
∴BDFG=BCFC≠BFFC，错误，故本选项符合题意；
B、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，正确，故本选项不符合题意；
C、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，正确，故本选项不符合题意；
D、∵EF//AB，
∴BFBC=AEAC，
∵DE//BC，
∴AEAC=ADAB，
∴BFBC=ADAB，正确，故本选项不符合题意；
故选：A．
先根据相似三角形的判定得出相似三角形，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点.标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠ADF，然后求出△ADF和△DBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出DFBE=53，即DEEB=53，设BE=3acm，表示出DE=5acm，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．
【解答】
解：如图
∵正方形的边DF//CB
∴∠B=∠ADF
∵∠AFD=∠DEB=90∘
∴△ADF∽△DBE
∴DFBE=ADDB=106=53
∴DEEB=53
∵DE//AC
∴△BDE∽△BAC
∴ACBC=DEEB=53
设BE=3acm，则DE=5acm，
∴BC=3a+5a=8acm
AC=8a×53=403a
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2
即(403a)2+(8a)2=(10+6)2
解得a2=1817
红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a−(5a)2
=1603a2−25a2
=853a2
=853×1817
=30cm2．
故选：A．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的应用、勾股定理、长方体的体积、梯形的面积的计算方法等；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
设DE=x，则AD=8−x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF得出的比例线段求得结果即可．
【解答】
解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE=x，则AD=8−x，
根据题意得：12(8−x+8)×3×3=3×3×6，
解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
由勾股定理得：CD=DE2+CE2=42+32=5，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴CECF=CDCB，
即3CF=58，
∴CF=245．
故选：A．
11.【答案】B
【解析】解：如图所示，过P作PD//AB交AC于D或PE//AC交AB于E，则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA，
此时0
如图所示，过P作∠BPF=∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，
此时0
如图所示，过P作∠CPG=∠B交AC于G，则△CPG∽△CAB，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点A重合时，CA2=CP×CB，即42=CP×8，
∴CP=2，
∴此时，0
综上所述，CP长的取值范围是0
分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
12.【答案】C
【解析】略
13.【答案】14,0或4,−32
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出位似中心位置是解题关键．分两种情况讨论，一种是点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点；另一种是点A和G是对应顶点，B和H是对应顶点．
【解答】
解：(1)当点A和点E是对应点，点B和点F是对应点时，位似中心就是AE与BF的交点，
如图1所示，连结AE，交x轴于点N，
点N即为两个正方形的位似中心，
∵点A和点E的坐标分别为(−2,3)，(1,−1)，
∴AB=3，EF=1，BF=1−(−2)=3，
∵AB//EF，∴△ABN∽△EFN，
∴ABEF=NBNF，∴31=BN3−BN，解得BN=94，
∴ON=94−2=14，
此时两个正方形的位似中心的坐标是14,0;
(2)当点A和点G是对应点，点C和点E是对应点时，位似中心就是AG与CE的交点，
如图2所示，连结AG，DF，BH，CE并延长，交于点M，
设AG所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
易知G(2,0)，把A(−2,3)，G(2,0)代入y=kx+b，得
3=−2k+b,0=2k+b,解得k=−34,b=32,
故直线AG的解析式为y=−34x+32．
设BH所在直线的解析式为y=mx+n(m≠0)，
易知B(−2,0)，H(2,−1)，
把B(−2,0)，H(2,−1)代入y=mx+n，
得−2m+n=0,2m+n=−1,
解得m=−14,n=−12,
故直线BH的解析式为y=−14x−12，
由y=−34x+32,y=−14x−12
解得x=4,y=−32,
故M4,−32．
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是(14,0)或4,−32．
14.【答案】9
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形相似得到关于AB的方程是解题的关键． 由条件可证明△OCD∽△OAB，利用相似三角形的性质可求得答案．
【解答】
解：∵OD=4m，BD=14m，
∴OB=OD+BD=18m，
由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，
∴△OCD∽△OAB，
∴ODOB=CDAB，即418=2AB，解得AB=9，
即旗杆AB的高为9m．
故答案为：9．
15.【答案】4或23
【解析】解：如图1中，作点C关于直线OA的对称点T，连接BT交OA于点P，连接PC，则△OPC∽△APB．
如图2中，以BC为直径作⊙Q，当⊙Q经过图1中的点P时，设⊙Q与线段OA的另一个交点为P′，此时线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似．
∵BC是直径，
∴∠CPB=90°，
∵CO⊥OA，AB⊥OA，
∴∠COOP=∠A=90°，
∴∠CPO+∠APB=90°，∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠PCO=∠APB，
∵PC=PT，
∴∠T=∠PCO，
∵∠APB=∠OPT，
∴∠T=∠IPT=45°，
∴∠PCO=∠CPO=∠ABP=∠APB=45°，
∴OP=OC=1，PA=AB=3，
∴OA=OP+PA=1+3=4，
如图3中，当⊙Q与OA相切于P′时，此时线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似．
连接QP′，设⊙Q交AB于点K，连接CK．
∵OA是⊙Q的切线，
∴QP′⊥OA，
∵OC⊥OA，BA⊥OA，
∴CO//QP′//AB，
∵CQ=QB，
∴OP′=P′A，
∴QP′=12(OC+BA)=2，
∴BC=2QP′=4，
∵BC是直径，
∴∠CKB=90°，
∵∠COA=∠A=∠AKC=90°，
∴四边形OAKC是矩形，
∴OC=AK=1，
∴BK=AB−AK=2，
∴OA=CK=BC2−BK2=42−22=23，
综上所述，满足条件的OA的值为4或23．
如图1中，作点C关于直线OA的对称点T，连接BT交OA于点P，连接PC，则△OPC∽△APB.如图2中，以BC为直径作⊙Q，当⊙Q经过图1中的点P时，设⊙Q与线段OA的另一个交点为P′，此时线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似．如图3中，当⊙Q与OA相切于P′时，此时线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似．分别求出OA的值，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题在的压轴题．
16.【答案】4
【解析】
【分析】
此题考查了分式的化简求值，以及比例的性质，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．设已知等式结果为k，用k表示出x，y及z，代入所求式子中计算即可求出值．
【解答】
解：设x3=y4=z5=k，则x=3k，y=4k，z=5k，
∴3x+y−z4x−5y+2z=3×3k+4k−5k4×3k−5×4k+2×5k=8k2k=4．
故答案为4．
17.【答案】解：(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，
则S△ADC=12AD⋅h，S△BDC=12BD⋅h，S△ABC=12AB⋅h，
∴S△ADCS△ABC=ADAB，S△BDCS△ADC=BDAD．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴ADAB=BDAD，
∴S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线．
(2)不是.理由如下：
设三角形的面积为S，
∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴两部分的面积均为12S，又12SS≠12S12S，
∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
(3)∵DF//CE，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高相等，
∴S△DFC=S△DFE，
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，
同理可得，S△BDC=S四边形BEFC．
又∵S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC，
∴S△AEFS△ABC=S四边形BEFCS△AEF，
∴直线EF是△ABC的黄金分割线．
(4)画法不唯一，现提供两种画法．
画法一：如图1，取EF的中点G，过点G作一条直线分别交AB，DC于点M，N，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如图2，在DF上任取一点N，连结EN，再过点F作FM//NE交AB于点M，作直线MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)最多能铺3块;
理由：∵AD=20，HD=3，
∴AH=AD−HD=17，
∵EF//BC，
∴EFBC=AHAD，
∴EF20=1720，
∴EF=17，
∴17÷5=3.4，
∴最多能平铺3张完整的矩形纸片；
(2)假设最高铺到E1F1;
∵E1F1//BC，
∴E1F1BC=AHAD，
∴520=AH20，
∴AH=5，
∴HD=20−5=15，
∴最多能平铺5层完整的矩形纸片;
∵E1F1=5，∴最上面一层能铺1张完整的矩形纸片;
∴E2F2=5+3=8，∴第2层能铺1张完整的矩形纸片;
∴E3F3=5+3+3=11;∴第3层能铺2张完整的矩形纸片;
∴E4F4=5+3+3+3=14;∴第4层能铺2张完整的矩形纸片;
∴E5F5=5+3+3+3+3=17;∴第5层能铺3张完整的矩形纸片;
∴三角形内最多可以平铺的完整的矩形纸片为：1+1+2+2+3=9(张)．
【解析】此题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例等知识点，掌握好相关知识是解题的关键．
(1)根据平行线分线段成比例得出EFBC=AHAD，得出EF=17，再利用17÷5=3.4，即可得出最多能平铺3张完整的矩形纸片；
(2)根据平行线分线段成比例得出E1F1BC=AHAD，得出AH=5，得出最多能平铺5层完整的矩形纸片，再利用E1F1=5，得出最上面一层，第2层，第3层，第4层，第5层能铺完整的矩形纸片，即可得出结果．
19.【答案】解：(1)存在“加倍”矩形，则“加倍”矩形的周长为(3+2)×2×2=20．
设“加倍”矩形的一边长为x，则它的另一边长为(10−x)．
由题意，得x(10−x)=3×2×2，解得x1=5+13，x2=5−13．
所以10−x1=5−13，10−x2=5+13．
故存在“加倍”矩形，且“加倍”矩形的长为5+13，宽为5−13．
(2)不存在．
理由如下：
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则它们的面积比必定是4．
所以不存在“加倍”正方形．
【解析】本题考查了新定义问题，解题的关键是理解新定义，根据题意并找到等量关系，难度不大．
(1)根据给出的两边长得到周长，然后设出其中一边，表示出另一边，根据题意列出方程求解，若能求得答案即存在，否则就不存在；
(2)根据所有的正方形的面积比和周长比的关系可做出判断．
20.【答案】(1)证明：如图1中，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
(2)解：结论：△BPE∽△CEQ．
理由：如图2中，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
(3)解：∵△BPE∽△CEQ，
∴BPCE=BECQ，
∵BE=CE，
∴1CE=CE92，解得：BE=CE=322，
∴BC=32，
∴AB=AC=22BC=22×32=3，
∴AQ=CQ−AC=92−3=32，AP=AB−BP=3−1=2，
在Rt△APQ中，PQ=AQ2+AP2=(32)2+22=52．
【解析】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会利用相似三角形的性质解决问题．
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
(2)结论：△BPE∽△CEQ.证明两个角对应相等即可．
(3)由△BPE∽△CEQ，可得BPCE=BECQ，推出BE=CE=322，BC=32，AB=AC=22BC=22×32=3，AQ=CQ−AC=92−3=32，AP=AB−BP=3−1=2，在Rt△APQ中，利用勾股定理，可得结论．
21.【答案】∠EFB ∠EBF
【解析】解：(1)∵EB=EF，
∴∠EBF=∠EFB，
∵∠DFC=∠EFB，
∴∠DFC=∠EBF，
故答案为：∠EFB，∠EBF．
(2)CF=AB．
延长BD到G，使BD=DG，连接AG，CG，
∵△ABC中，BD是中线，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CG=AB，CG//AB，AG//BC，
∴∠ABC=∠BGC，
∵EB=EF，
∴∠EBF=∠EFB，
∵∠GFC=∠EFB，
∴∠GFC=∠CGF，
∴CF=CG，
∵CG//AB，
∴CF=AB．
(3)如图，在FD的延长线上取点M，使FM=FC，连接CM，
∵∠ADB=90°−12∠ABD，
设∠ADB=α，则∠ADB=90°−12α，
∴∠BAD=180°−∠ABD−∠ADB
=180°−α−(90°−12α)
=90°−12α，
∴∠ADB=∠BAD，
∴BD=AB，
∵FM=FC，
∴∠M=∠MCF，
∵∠MFC=∠ABD，
∴∠M=∠MCF=∠ADB=∠BAD，
∵∠ADB=∠MDC，
∴∠M=∠MDC，
∴CD=CM，
∴CD=AD=CM，
设CD=AD=CM=a，
∵CF=AB，
∴CF=FM=AB=BD，
∴DM=BF，
∵AB=kAC，
∴AB=BD=CF=FM=2ka，
∵∠ADB=∠M，∠BAD=∠CDM，
∴△ABD∽△DCM，
∴ADDM=ABDC=2k，
∴aDM=2k，
∴BF=DM=a2k，
∴FD=BD−BF=2ka−a2k=4k2−12ka，
∴BFDF=14k2−1．
(1)利用等腰三角形的性质推∠EBF=∠EFB，再根据对顶角相等就可得相等的角；
(2)延长BD到G，使BD=DG，连接AG，CG，证明ABCD是平行四边形，进一步推对边相等，对边平行，再证内错角相等，等量代换后求CF=CG，再根据CG=AB，最后证明CF=AB；
(3)在FD的延长线上取点M，使FM=FC，连接CM，由∠ADB=90°−12∠ABD，再由∠BAD=180°−∠ABD−∠ADB，推∠ADB=∠BAD，结合(2)证明的角相等，最后推出∠M=∠MCF=∠ADB=∠BAD，进一步推△ABD∽△DCM，证明比例线段，表示出BF长，再表示DF长，最后求出BFDF．
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握性质和判定的熟练应用，辅助线的做法是做题的关键．
22.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点A2(−3,−2)，B2(0,−3)，C2(−2,−5)．
【解析】(1)根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标．
本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示：
(2)如图所示：
(3)(83,0)
【解析】
【分析】
本题考查的是平移变换有关知识．
(1)延长AC到A1，使得AC=A1C，延长BC到B1，使得BC=B1C，即可得出图象；
(2)根据△A1B1C1将各顶点向右平移4个单位，得出△A2B2C2；
(3)作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，求出直线A′C2的解析式，即可求出P点坐标．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，
由题意，A′(2,−1)，C2(4,2)，
设直线A′C2的解析式为y=kx+b，
则2k+b=−14k+b=2，解得k=32b=−4,
所以直线A′C2的解析式为y=32x−4，
令y=0，得x=83，
可得P点坐标为：(83,0)．
故答案为(83,0)．
24.【答案】mC n2S
【解析】解：(1)如图所示，
则△DEF为所求的三角形；
(2)∵位似比k=m，△ABC的周长为C，
∴△DEF的周长=mC；
(3)∵位似比k=n，△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积=n2S.
(1)连接AO并延长，使OD=12AO，连接BO并延长，使OE=12OB，在x轴上找出(2,0)，即为F点位置，连接即可得到所求的三角形；
(2)利用相似三角形的周长之比等于相似比即可得到结果；
(3)利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．
此题考查了作图−位似变换，以及相似三角形的性质，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
北师大版初中数学九年级上册第四章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第四章；考试时间：100分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
1. 如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB=12，CD=15，A1B1=9，则边C1D1的长是( )
A. 10 B. 12 C. 454 D. 365
2. 若xy+z=yx+z=zx+y=k，则k=( )
A. 0 B. 12 C. −1 D. 12或−1
3. 如图，CE是平行四边形ABCD的边AB的垂直平分线，垂足为点O，CE与DA的延长线交于点E，连接AC、BE、DO、DO与AC交于点F，则下列结论：①四边形ACBE是菱形；②∠ACD=∠BAE；③AF:BE=2:3；④S四边形AFOE:S△COD=2:3.其中正确的结论有 ( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①② D. ②③④
4. 已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是( )
A. B.
C. D.
5. 将一个三角形和一个矩形按照如图的方式扩大，使他们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( )
A. 新三角形与原三角形相似
B. 新矩形与原矩形相似
C. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D. 新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似
6. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG=32S△FGH；④AG+DF=FG.则下列结论正确的有( )
A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③
7. 如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E.使得∠CDE=15°，连接BE并延长BE到F，使CF=CB，BF与CD相交于点H，若AB=1，有下列结论：①BE=DE；②CE+DE=EF；③S△DEC=14−312；④DHHC=23−1.则其中正确的结论有( )
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③④
8. 如图，△ABC中，点D在AB上，过点D作DE//BC交AC于点E，过点E作EF//AB交BC于点F，连接CD，交EF于点G，则下列说法不正确的是( )
A. BDFG=BFFC
B. DEBC=AEAC
C. ADAB=AEAC
D. BFBC=ADAB
9. 如图，一个斜边长为6cm的红色直角三角形纸片，一个斜边长为10cm的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. 30cm2 B. 40cm2 C. 50 cm2 D. 60 cm2
10. 如图①，长、宽均为3，高为8的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为6，绕底面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图②是此时的示意图，则图②中水面高度为( )
A. 245 B. 325 C. 123417 D. 203417
11. 如图，已知在△ABC纸板中，AC=4，BC=8，AB=11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么CP长的取值范围是( )
A. 0
A. 32018 B. 32019 C. 34038 D. 34040
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
13. 如图，平面直角坐标系中有正方形ABCD和正方形EFGH，若点A和点E的坐标分别为(−2,3)，(1,−1)，则两个正方形的位似中心的坐标是___．
14. 如图，数学活动小组为了测量学校旗杆AB的高度，使用长为2 m的竹竿CD作为测量工具．移动竹竿，使竹竿顶端的影子与旗杆顶端的影子在地面O处重合，测得OD=4 m，BD=14 m，则旗杆AB的高为________m．
15. 已知，如图，OC⊥OA，AB⊥OA，OC=1，AB=3，P是线段OA上的一个动点，若在线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似，则OA的长是______．
16. 已知x3=y4=z5，则3x+y−z4x−5y+2z=________．
三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
17. 如图 ①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB=BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行课题学习时，由黄金分割点联想到黄金分割线，类似地给出黄金分割线的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2，如果S1S=S2S1，那么称直线l为该图形的黄金分割线．
(1)研究小组猜想：在△ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图 ②)，则直线CD是△ABC的黄金分割线.你认为对吗⋅为什么⋅
(2)三角形的中线是不是该三角形的黄金分割线⋅请说明理由;
(3)研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交AB于点E，再过点D作直线DF//CE，交AC于点F，作直线EF(如图 ③)，则直线EF是△ABC的黄金分割线，请你说明理由;
(4)如图 ④，点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点E作EF//AD，交DC于点F，显然直线EF是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边的黄金分割点．
18. 在▵ABC中，AD⊥BC，BC=AD=20cm，现有若干张长为5cm宽为3cm的矩形纸片，打算如图方向平铺在三角形内，(纸片均不能重叠和超出三角形ABC三边)
(1)如果纸片只平铺底层，最多能平铺几张完整的矩形纸片，说明理由；
(2)三角形内最多可以平铺几张完整的矩形纸片，说明理由．
19. 阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的2倍，则这个矩形是给定矩形的“加倍”矩形．如图，矩形A1B1C1D1是矩形ABCD的“加倍”矩形．
解决问题：
⑴当矩形的长和宽分别为3，2时，它是否存在“加倍”矩形？若存在，求出“加倍”矩形的长与宽，若不存在，请说明理由．
⑵边长为a的正方形存在“加倍”正方形吗？请做出判断，并说明理由
20. 如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．
(1)当点Q在线段CA上时，如图1，求证：△BPE∽△CEQ;
(2)当点Q在线段CA的延长线上时，如图2，△BPE和△CEQ是否相似⋅请说明理由;
(3)在(2)的条件下，若BP=1，CQ=92，求PQ的长．
21. 已知：如图，△ABC中，BD是中线，点E是AB上一点，CE与BD交于点F，EB=EF．
(1)在图中与∠DFC相等的角有______和______；
(2)在图中找出与线段AB相等的线段，并证明．
(3)若∠ADB=90°−12∠ABD，AB=kAC，求BFDF的值．(用含k的代数式表示)
22. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A(0,1)，B(3,2)，C(1,4)均在正方形网格的格点上．
(1)画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1沿x轴方向向左平移3个单位、再沿y轴向下平移1个单位后得到△A2B2C2，写出顶点A2，B2，C2的坐标．
23. ΔABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．
(1)作ΔABC关于点C成中心对称的ΔA1B1C1 ．
(2)将ΔA1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的ΔA2B2C2．
(3)在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标________．
24. 已知，△DEF是△ABC的位似三角形(点D、E、F分别对应点A、B、C)，原点O为位似中心，△DEF与△ABC的位似比为k．
(1)若位似比k=12，请你在平面直角坐标系的第四象限中画出△DEF；
(2)若位似比k=m，△ABC的周长为C，则△DEF的周长=______；
(3)若位似比k=n，△ABC的面积为S，则△DEF的面积=______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了相似多边形的性质，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式是解题的关键．由四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式ABA1B1=CDC1D1，将AB=12，CD=15，A1B1=9代入，计算即可求出边C1D1的长．
【解答】
解：∵四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，
∴ABA1B1=CDC1D1，
∵AB=12，CD=15，A1B1=9，
∴C1D1=9×1512=454．
故选C．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质，分式的性质．分类讨论：当x+y+z≠0时，根据等比性质，可得答案；当x+y+z=0时，根据分式的性质，可得答案．
【解答】
解：当x+y+z≠0时，由等比性质，得
k=x+y+zy+z+z+x+y+x=x+y+z2(x+y+z)=12，
当x+y+z=0时，得x=−(y+z)，y=−(x+z)，z=−(x+y)，
xy+z=k=xy+z=−(y+z)y+z=−1，
故选D．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线分线段成比例定理、等高模型等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．根据菱形的判定方法、平行线分线段成比例定理、直角三角形斜边中线的性质一一判断即可．
【解答】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB // CD，AB=CD，
∵EC垂直平分AB，
∴OA=OB=12AB=12DC，CD⊥CE，
∵OA // DC，
∴EAED=EOEC=OACD=12，
∴AE=AD，OE=OC，
∵OA=OB，OE=OC，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∵AB⊥EC，
∴四边形ACBE是菱形，故①正确，
∵∠DCE=90°，DA=AE，
∴AC=AD=AE，
∴∠ACD=∠ADC=∠BAE，故②正确，
∵OA // CD，
∴AFCF=OACF=12，
∴AFAC=AFBE=13，故③错误，
设△AOF的面积为a，则△OFC的面积为2a，△CDF的面积为4a，△AOC的面积=△AOE的面积=3a，
∴四边形AFOE的面积为4a，△ODC的面积为6a，
∴S四边形AFOE：S△COD=2：3.故④正确，
故选：B．
4.【答案】D
【解析】解：A、由作图可知：∠CAD=∠B，可以推出∠C=∠BAD，故△CDA与△ABD相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：AD⊥BC，∵∠BAC=90°，故△CAD∽△ABD，故本选项不符合题意；
D、无法判断△CAD∽△ABD，故本选项符合题意；
故选：D．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图−相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的是相似图形的判断，掌握对应角相等，对应边成比例的多边形，叫做相似多边形是解题的关键.根据相似三角形的判定定理、相似多边形的判定定理证明即可．
【解答】
解：如图所示：
根据题意得：AB//A′B′，AC//A′C′，BC//B′C′，
∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，
∴△ABC∽△A′B′C′；
如图2：
设矩形的长和宽分别为a，b，由题图知a>b，则扩大后的长和宽分别为a+2，b+2，列比例式后相减得不等于零．
∴新矩形与原矩形对应边的比不相等，
∴新矩形与原矩形不相似．
故选A．
6.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形的面积．
①由折叠可知∠1=∠2，∠3=∠4，即可得∠EBG=45∘；
②由ABDE≠AGDF，可知②错误；
③通过计算S△ABG与S△FGH即可得结论；
④通过计算AG+DF=5，而FG=5，故④正确．
【解答】
解：如图
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的
点F处，
∴∠1=∠2，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3=∠4，
∴∠2+∠3=12∠ABC=45∘，
即∠EBG=45∘，
所以 ①正确;
∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的
点F处，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，
∵AB=6，BF=10，
∴AF=102−62=8，
∴DF=AD−AF=10−8=2，
设EF=x，则CE=x，
DE=CD−CE=6−x，
在Rt△DEF中，
∵DE2+DF2=EF2，
∴(6−x)2+22=x2
解得x=103，
∴ED=83，
HF=BF−BH=10−6=4，
设AG=y，则GH=y，GF=8−y，
在Rt△HGF中，∵GH2+HF2=GF2，
∴y2+42=(8−y)2，解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D，ABDE=683=94，AGDF=32，
∴ABDE≠AGDF，
∴△ABG与△DEF不相似，所以 ②错误;
∵S△ABG=12⋅6⋅3=9，S△FGH=12⋅GH⋅HF=12×3×4=6，
∴S△ABG=32S△FGH，所以 ③正确;
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以 ④正确。
∴ ① ③ ④正确。
故选B．
7.【答案】A
【解析】证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45°．
在△ABE和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE，
∴△ABE≌△ADE(SAS)，
∴BE=DE，故①正确；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，
∵△ABE≌△ADE，
∴∠ABE=∠ADE，
∴∠CBE=∠CDE，
∵BC=CF，
∴∠CBE=∠F，
∴∠CBE=∠CDE=∠F，
∵∠CDE=15°，
∴∠CBE=15°，
∴∠CEG=60°，
∵CE=GE，
∴△CEG是等边三角形．
∴∠CGE=60°，CE=GC，
∴∠GCF=45°，
∴∠ECD=GCF，
在△DEC和△FGC中，
CE=CG∠ECD=∠GCFCD=CF,
∴△DEC≌△FGC(SAS)，
∴DE=GF，
∵EF=EG+GF，
∴EF=CE+ED，故②正确；
③过D作DM⊥AC交于M，
根据勾股定理求出AC=2，
由面积公式得：12AD×DC=12AC×DM，
∴DM=22，
∵∠DCA=45°，∠AED=60°，
∴CM=22，EM=66，
∴CE=CM−EM=22−66
∴S△DEC=12CE×DM=14−312，故③正确；
④在Rt△DEM中，DE=2ME=63，
∵△ECG是等边三角形，
∴CG=CE=22−66，
∵∠DEF=∠EGC=60°，
∴DE//CG，
∴△DEH∽△CGH，
∴DHHC=DECG=6322−66=3+1，故④错误；
综上，正确的结论有①②③，
故选：A．
①由正方形的性质可以得出AB=AD，∠BAC=∠DAC=45°，通过证明△ABE≌△ADE，就可以得出BE=DE；
②在EF上取一点G，使EG=EC，连结CG，再通过条件证明△DEC≌△FGC就可以得出CE+DE=EF；
③过B作BM⊥AC交于M，根据勾股定理求出AC，根据三角形的面积公式即可求出高DM，根据三角形的面积公式即可求得S△DEC=14−312；
④解直角三角形求得DE，根据等边三角形性质得到CG=CE，然后通过证得△DEH∽△CGH，求得DHHC=DECG=3+1．
本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：A、∵EF//AB，
∴△CGF∽△CDB，
∴BDFG=BCFC≠BFFC，错误，故本选项符合题意；
B、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴DEBC=AEAC，正确，故本选项不符合题意；
C、∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=AEAC，正确，故本选项不符合题意；
D、∵EF//AB，
∴BFBC=AEAC，
∵DE//BC，
∴AEAC=ADAB，
∴BFBC=ADAB，正确，故本选项不符合题意；
故选：A．
先根据相似三角形的判定得出相似三角形，再根据相似三角形的性质得出比例式即可．
本题考查了相似三角形的性质和判定和平行线分线段成比例定理，能根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．
9.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，正方形的性质，勾股定理，熟记相似三角形的性质并求出直角三角形的两直角边的关系是解题的关键，也是本题的难点.标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠ADF，然后求出△ADF和△DBE相似，根据相似三角形对应边成比例求出DFBE=53，即DEEB=53，设BE=3acm，表示出DE=5acm，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．
【解答】
解：如图
∵正方形的边DF//CB
∴∠B=∠ADF
∵∠AFD=∠DEB=90∘
∴△ADF∽△DBE
∴DFBE=ADDB=106=53
∴DEEB=53
∵DE//AC
∴△BDE∽△BAC
∴ACBC=DEEB=53
设BE=3acm，则DE=5acm，
∴BC=3a+5a=8acm
AC=8a×53=403a
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2
即(403a)2+(8a)2=(10+6)2
解得a2=1817
红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a−(5a)2
=1603a2−25a2
=853a2
=853×1817
=30cm2．
故选：A．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的应用、勾股定理、长方体的体积、梯形的面积的计算方法等；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键．
设DE=x，则AD=8−x，由长方体容器内水的体积得出方程，解方程求出DE，再由勾股定理求出CD，过点C作CF⊥BG于F，由△CDE∽△CBF得出的比例线段求得结果即可．
【解答】
解：过点C作CF⊥BG于F，如图所示：
设DE=x，则AD=8−x，
根据题意得：12(8−x+8)×3×3=3×3×6，
解得：x=4，
∴DE=4，
∵∠E=90°，
由勾股定理得：CD=DE2+CE2=42+32=5，
∵∠BCE=∠DCF=90°，
∴∠DCE=∠BCF，
∵∠DEC=∠BFC=90°，
∴△CDE∽△CBF，
∴CECF=CDCB，
即3CF=58，
∴CF=245．
故选：A．
11.【答案】B
【解析】解：如图所示，过P作PD//AB交AC于D或PE//AC交AB于E，则△PCD∽△BCA或△BPE∽△BCA，
此时0
如图所示，过P作∠BPF=∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，
此时0
如图所示，过P作∠CPG=∠B交AC于G，则△CPG∽△CAB，
此时，△CPG∽△CBA，
当点G与点A重合时，CA2=CP×CB，即42=CP×8，
∴CP=2，
∴此时，0
综上所述，CP长的取值范围是0
分四种情况讨论，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AP的长的取值范围．
本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
12.【答案】C
【解析】略
13.【答案】14,0或4,−32
【解析】
【分析】
此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质，正确得出位似中心位置是解题关键．分两种情况讨论，一种是点A和E是对应顶点，B和F是对应顶点；另一种是点A和G是对应顶点，B和H是对应顶点．
【解答】
解：(1)当点A和点E是对应点，点B和点F是对应点时，位似中心就是AE与BF的交点，
如图1所示，连结AE，交x轴于点N，
点N即为两个正方形的位似中心，
∵点A和点E的坐标分别为(−2,3)，(1,−1)，
∴AB=3，EF=1，BF=1−(−2)=3，
∵AB//EF，∴△ABN∽△EFN，
∴ABEF=NBNF，∴31=BN3−BN，解得BN=94，
∴ON=94−2=14，
此时两个正方形的位似中心的坐标是14,0;
(2)当点A和点G是对应点，点C和点E是对应点时，位似中心就是AG与CE的交点，
如图2所示，连结AG，DF，BH，CE并延长，交于点M，
设AG所在直线的解析式为y=kx+b(k≠0)，
易知G(2,0)，把A(−2,3)，G(2,0)代入y=kx+b，得
3=−2k+b,0=2k+b,解得k=−34,b=32,
故直线AG的解析式为y=−34x+32．
设BH所在直线的解析式为y=mx+n(m≠0)，
易知B(−2,0)，H(2,−1)，
把B(−2,0)，H(2,−1)代入y=mx+n，
得−2m+n=0,2m+n=−1,
解得m=−14,n=−12,
故直线BH的解析式为y=−14x−12，
由y=−34x+32,y=−14x−12
解得x=4,y=−32,
故M4,−32．
综上所述，两个正方形的位似中心的坐标是(14,0)或4,−32．
14.【答案】9
【解析】
【分析】
本题主要考查相似三角形的应用，证得三角形相似得到关于AB的方程是解题的关键． 由条件可证明△OCD∽△OAB，利用相似三角形的性质可求得答案．
【解答】
解：∵OD=4m，BD=14m，
∴OB=OD+BD=18m，
由题意可知∠ODC=∠OBA，且∠O为公共角，
∴△OCD∽△OAB，
∴ODOB=CDAB，即418=2AB，解得AB=9，
即旗杆AB的高为9m．
故答案为：9．
15.【答案】4或23
【解析】解：如图1中，作点C关于直线OA的对称点T，连接BT交OA于点P，连接PC，则△OPC∽△APB．
如图2中，以BC为直径作⊙Q，当⊙Q经过图1中的点P时，设⊙Q与线段OA的另一个交点为P′，此时线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似．
∵BC是直径，
∴∠CPB=90°，
∵CO⊥OA，AB⊥OA，
∴∠COOP=∠A=90°，
∴∠CPO+∠APB=90°，∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠PCO=∠APB，
∵PC=PT，
∴∠T=∠PCO，
∵∠APB=∠OPT，
∴∠T=∠IPT=45°，
∴∠PCO=∠CPO=∠ABP=∠APB=45°，
∴OP=OC=1，PA=AB=3，
∴OA=OP+PA=1+3=4，
如图3中，当⊙Q与OA相切于P′时，此时线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似．
连接QP′，设⊙Q交AB于点K，连接CK．
∵OA是⊙Q的切线，
∴QP′⊥OA，
∵OC⊥OA，BA⊥OA，
∴CO//QP′//AB，
∵CQ=QB，
∴OP′=P′A，
∴QP′=12(OC+BA)=2，
∴BC=2QP′=4，
∵BC是直径，
∴∠CKB=90°，
∵∠COA=∠A=∠AKC=90°，
∴四边形OAKC是矩形，
∴OC=AK=1，
∴BK=AB−AK=2，
∴OA=CK=BC2−BK2=42−22=23，
综上所述，满足条件的OA的值为4或23．
如图1中，作点C关于直线OA的对称点T，连接BT交OA于点P，连接PC，则△OPC∽△APB.如图2中，以BC为直径作⊙Q，当⊙Q经过图1中的点P时，设⊙Q与线段OA的另一个交点为P′，此时线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似．如图3中，当⊙Q与OA相切于P′时，此时线段OA上只存在两个不同的点P，使△OCP与△ABP相似．分别求出OA的值，可得结论．
本题考查相似三角形的判定和性质，直线与圆的位置关系等知识，解题的关键是理解题意，学会利用辅助圆解决问题，属于中考填空题在的压轴题．
16.【答案】4
【解析】
【分析】
此题考查了分式的化简求值，以及比例的性质，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．设已知等式结果为k，用k表示出x，y及z，代入所求式子中计算即可求出值．
【解答】
解：设x3=y4=z5=k，则x=3k，y=4k，z=5k，
∴3x+y−z4x−5y+2z=3×3k+4k−5k4×3k−5×4k+2×5k=8k2k=4．
故答案为4．
17.【答案】解：(1)直线CD是△ABC的黄金分割线.理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，
则S△ADC=12AD⋅h，S△BDC=12BD⋅h，S△ABC=12AB⋅h，
∴S△ADCS△ABC=ADAB，S△BDCS△ADC=BDAD．
又∵点D为边AB的黄金分割点，
∴ADAB=BDAD，
∴S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC，
∴直线CD是△ABC的黄金分割线．
(2)不是.理由如下：
设三角形的面积为S，
∵三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，
∴两部分的面积均为12S，又12SS≠12S12S，
∴三角形的中线不可能是该三角形的黄金分割线．
(3)∵DF//CE，
∴△DFC和△DFE的公共边DF上的高相等，
∴S△DFC=S△DFE，
∴S△ADC=S△ADF+S△DFC=S△ADF+S△DFE=S△AEF，
同理可得，S△BDC=S四边形BEFC．
又∵S△ADCS△ABC=S△BDCS△ADC，
∴S△AEFS△ABC=S四边形BEFCS△AEF，
∴直线EF是△ABC的黄金分割线．
(4)画法不唯一，现提供两种画法．
画法一：如图1，取EF的中点G，过点G作一条直线分别交AB，DC于点M，N，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
画法二：如图2，在DF上任取一点N，连结EN，再过点F作FM//NE交AB于点M，作直线MN，则直线MN就是平行四边形ABCD的黄金分割线．
【解析】见答案
18.【答案】解：(1)最多能铺3块;
理由：∵AD=20，HD=3，
∴AH=AD−HD=17，
∵EF//BC，
∴EFBC=AHAD，
∴EF20=1720，
∴EF=17，
∴17÷5=3.4，
∴最多能平铺3张完整的矩形纸片；
(2)假设最高铺到E1F1;
∵E1F1//BC，
∴E1F1BC=AHAD，
∴520=AH20，
∴AH=5，
∴HD=20−5=15，
∴最多能平铺5层完整的矩形纸片;
∵E1F1=5，∴最上面一层能铺1张完整的矩形纸片;
∴E2F2=5+3=8，∴第2层能铺1张完整的矩形纸片;
∴E3F3=5+3+3=11;∴第3层能铺2张完整的矩形纸片;
∴E4F4=5+3+3+3=14;∴第4层能铺2张完整的矩形纸片;
∴E5F5=5+3+3+3+3=17;∴第5层能铺3张完整的矩形纸片;
∴三角形内最多可以平铺的完整的矩形纸片为：1+1+2+2+3=9(张)．
【解析】此题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例等知识点，掌握好相关知识是解题的关键．
(1)根据平行线分线段成比例得出EFBC=AHAD，得出EF=17，再利用17÷5=3.4，即可得出最多能平铺3张完整的矩形纸片；
(2)根据平行线分线段成比例得出E1F1BC=AHAD，得出AH=5，得出最多能平铺5层完整的矩形纸片，再利用E1F1=5，得出最上面一层，第2层，第3层，第4层，第5层能铺完整的矩形纸片，即可得出结果．
19.【答案】解：(1)存在“加倍”矩形，则“加倍”矩形的周长为(3+2)×2×2=20．
设“加倍”矩形的一边长为x，则它的另一边长为(10−x)．
由题意，得x(10−x)=3×2×2，解得x1=5+13，x2=5−13．
所以10−x1=5−13，10−x2=5+13．
故存在“加倍”矩形，且“加倍”矩形的长为5+13，宽为5−13．
(2)不存在．
理由如下：
因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为2时，则它们的面积比必定是4．
所以不存在“加倍”正方形．
【解析】本题考查了新定义问题，解题的关键是理解新定义，根据题意并找到等量关系，难度不大．
(1)根据给出的两边长得到周长，然后设出其中一边，表示出另一边，根据题意列出方程求解，若能求得答案即存在，否则就不存在；
(2)根据所有的正方形的面积比和周长比的关系可做出判断．
20.【答案】(1)证明：如图1中，
∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=∠DEF=45°，
∵∠BEQ=∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
(2)解：结论：△BPE∽△CEQ．
理由：如图2中，
∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，
∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，
∴∠BEP=∠EQC，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CEQ；
(3)解：∵△BPE∽△CEQ，
∴BPCE=BECQ，
∵BE=CE，
∴1CE=CE92，解得：BE=CE=322，
∴BC=32，
∴AB=AC=22BC=22×32=3，
∴AQ=CQ−AC=92−3=32，AP=AB−BP=3−1=2，
在Rt△APQ中，PQ=AQ2+AP2=(32)2+22=52．
【解析】本题属于相似三角形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，学会利用相似三角形的性质解决问题．
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似证明即可．
(2)结论：△BPE∽△CEQ.证明两个角对应相等即可．
(3)由△BPE∽△CEQ，可得BPCE=BECQ，推出BE=CE=322，BC=32，AB=AC=22BC=22×32=3，AQ=CQ−AC=92−3=32，AP=AB−BP=3−1=2，在Rt△APQ中，利用勾股定理，可得结论．
21.【答案】∠EFB ∠EBF
【解析】解：(1)∵EB=EF，
∴∠EBF=∠EFB，
∵∠DFC=∠EFB，
∴∠DFC=∠EBF，
故答案为：∠EFB，∠EBF．
(2)CF=AB．
延长BD到G，使BD=DG，连接AG，CG，
∵△ABC中，BD是中线，
∴AD=DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CG=AB，CG//AB，AG//BC，
∴∠ABC=∠BGC，
∵EB=EF，
∴∠EBF=∠EFB，
∵∠GFC=∠EFB，
∴∠GFC=∠CGF，
∴CF=CG，
∵CG//AB，
∴CF=AB．
(3)如图，在FD的延长线上取点M，使FM=FC，连接CM，
∵∠ADB=90°−12∠ABD，
设∠ADB=α，则∠ADB=90°−12α，
∴∠BAD=180°−∠ABD−∠ADB
=180°−α−(90°−12α)
=90°−12α，
∴∠ADB=∠BAD，
∴BD=AB，
∵FM=FC，
∴∠M=∠MCF，
∵∠MFC=∠ABD，
∴∠M=∠MCF=∠ADB=∠BAD，
∵∠ADB=∠MDC，
∴∠M=∠MDC，
∴CD=CM，
∴CD=AD=CM，
设CD=AD=CM=a，
∵CF=AB，
∴CF=FM=AB=BD，
∴DM=BF，
∵AB=kAC，
∴AB=BD=CF=FM=2ka，
∵∠ADB=∠M，∠BAD=∠CDM，
∴△ABD∽△DCM，
∴ADDM=ABDC=2k，
∴aDM=2k，
∴BF=DM=a2k，
∴FD=BD−BF=2ka−a2k=4k2−12ka，
∴BFDF=14k2−1．
(1)利用等腰三角形的性质推∠EBF=∠EFB，再根据对顶角相等就可得相等的角；
(2)延长BD到G，使BD=DG，连接AG，CG，证明ABCD是平行四边形，进一步推对边相等，对边平行，再证内错角相等，等量代换后求CF=CG，再根据CG=AB，最后证明CF=AB；
(3)在FD的延长线上取点M，使FM=FC，连接CM，由∠ADB=90°−12∠ABD，再由∠BAD=180°−∠ABD−∠ADB，推∠ADB=∠BAD，结合(2)证明的角相等，最后推出∠M=∠MCF=∠ADB=∠BAD，进一步推△ABD∽△DCM，证明比例线段，表示出BF长，再表示DF长，最后求出BFDF．
本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，掌握性质和判定的熟练应用，辅助线的做法是做题的关键．
22.【答案】解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求，
点A2(−3,−2)，B2(0,−3)，C2(−2,−5)．
【解析】(1)根据网格结构找出点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；
(2)根据网格结构找出点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出各点的坐标．
本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23.【答案】解：(1)如图所示：
(2)如图所示：
(3)(83,0)
【解析】
【分析】
本题考查的是平移变换有关知识．
(1)延长AC到A1，使得AC=A1C，延长BC到B1，使得BC=B1C，即可得出图象；
(2)根据△A1B1C1将各顶点向右平移4个单位，得出△A2B2C2；
(3)作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，求出直线A′C2的解析式，即可求出P点坐标．
【解答】
(1)见答案；
(2)见答案；
(3)解：如图所示：作出A1关于x轴的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，
由题意，A′(2,−1)，C2(4,2)，
设直线A′C2的解析式为y=kx+b，
则2k+b=−14k+b=2，解得k=32b=−4,
所以直线A′C2的解析式为y=32x−4，
令y=0，得x=83，
可得P点坐标为：(83,0)．
故答案为(83,0)．
24.【答案】mC n2S
【解析】解：(1)如图所示，
则△DEF为所求的三角形；
(2)∵位似比k=m，△ABC的周长为C，
∴△DEF的周长=mC；
(3)∵位似比k=n，△ABC的面积为S，
∴△DEF的面积=n2S.
(1)连接AO并延长，使OD=12AO，连接BO并延长，使OE=12OB，在x轴上找出(2,0)，即为F点位置，连接即可得到所求的三角形；
(2)利用相似三角形的周长之比等于相似比即可得到结果；
(3)利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可得到结果．
此题考查了作图−位似变换，以及相似三角形的性质，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
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