第4章 图形的相似（单元测试·培优卷）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

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第4章 图形的相似（单元测试·培优卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．若，则的值为（    ）A． B． C． D．2．如图，，若，，则等于（    ） A． B．3 C． D．43．如图，在直角三角形中，，，，，，若点到的距离是1，则与之间的距离是（    ）A．2 B．1.4 C．3 D．2.44．如图，在中，点D，E分别在边，上，则不一定能判断的是（   ）A． B． C． D．5．如图，，直线与直线之间的距离为，直线与直线之间的距离为，且，点在直线上，点，在直线上，线段，分别交直线于点，，当平分锐角时，，则的面积为（　　）A．9 B．18 C．36 D．726．如图， ，，，则的值为（　　）A． B． C． D．7．如图，，射线BM和线段AB互相垂直，为线段AB上一点，点在射线BM上，且，作，并截取DE，连接并延长交射线BM于点，设，，则(　　) A． B． C． D．8．如图，D是等边△ABC边AB上的一点，且AD：DB＝2：3，现将△ABC折叠，使点C与D重合，折痕为EF，点E，F分别在AC和BC上，则CE：CF＝（　　） A． B． C． D．9．如图，中，，，，P为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D．10．如图，在正方形中，，交于点O，平分交于点M，交于点E，过点M作交于点F，，则的长为（    ） A． B． C．1 D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．若点C是线段AB的一个黄金分割点，，且，则 （结果保留根号）．12．如图，已知矩形中，，在上取一点，沿将向上折叠，使点落在上的点．若四边形与矩形相似，则 ．13．如图，是的高，，点在边上，点在边上，，垂足为当时，则 ．14．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大后得到．已知点，，则与的面积比是 ，点的坐标是 ．15．如图，已知为等腰三角形，且，延长至D，使得，连接，E是边上的中点，连接，并延长交与点F，连接，则 ．   16．如图，四边形是平行四边形，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交和于点，，以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交边于点；分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于，两点，作直线交边于点，连接，交于点，连接，若，，则 ． 17．如图，在中，，，是的中点，过点作交的延长线于点，则线段的长度为 ． 18．如图，正方形中，，点P为射线上任意一点（与点B、C不重合），连接，在的右侧作正方形，连接．交射线于E．当长为1时，的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，已知,与交于点，若 ，求和的长．20．（8分）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．  （1）求小明的身高；（2）小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？21．（10分）如图，四边形中，，，点M在线段上，交的延长线于点E，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求的长．22．（10分）在中，，，，现有动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，连接．如果点的速度是，点的速度是，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为．  （1）求出的取值范围；（2）当时，，两点之间的距离是多少？（3）当为多少时，以点，，为顶点的三角形与相似？23．（10分）如图，为正方形对角线上的一点，连接并延长交于点，过作分别交，于，．（1）如图1，求证：；（2）如图2，点与点关于直线对称，连接并延长交直线于点，连接．①设的度数为，求的度数：②猜想与之间的数量关系，并证明．24．（12分）【问题背景】（1）如图1，，，．求证：；【变式迁移】（2）如图2，E为正方形ABCD外一点，，过点D作，垂足为F，连接CF．求的值；【拓展创新】（3）如图3，A是内一点，，，，，，直接写出AB的长．参考答案：1．D【分析】本题考查了比例的性质，能灵活运用比例的性质进行变形是解此题的关键．根据题意求出，代入所求式子中，即可求出答案．【详解】解：∵，∴∴，故选：D．2．C【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理，得到的关系，再根据可得到答案，正确运用定理找准对应关系是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，故选：C．3．B【分析】由题意直接根据三角形的面积和点到直线的距离进行分析解答即可．【详解】解：∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，BC=5，∴点A到BC的距离，∵DE∥BC，∴DE与BC的距离是.故选：B.【点拨】本题主要考查点到直线的距离，解答此题的关键是掌握三角形的面积公式．4．D【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握其判定方法是解题的关键．可利用有两组角对应相等的两个三角形相似判断A、B选项，利用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断C选项，从而解题．【详解】解：A、，，，不符合题意；B、，，，不符合题意；C、，，，，不符合题意；D、，，无法证明，符合题意；故选：D．5．C【分析】此题重点考查平行线的性质、三角形的面积公式、相似三角形的判定与性质等知识．作于点，交于点，则，，所以，，再证明，则，求得，于是得到问题的答案．【详解】解：作于点，交于点，∴，∵，，，，，且，，，，，∵，，，，故选：C．6．C【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，根据可证，，利用相似三角形对应边成比例即可求解．【详解】解：，，，，，，，，，，，，，，故选C．7．A【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，过点作于点，证明，根据相似三角形的性质结合已知得出，，证明，得出，即可求解．【详解】解：如图所示，过点作于点，  ∵∴，∵∴∴∴∴∵，∴，∴，∵∴∴∴即整理得：．故选：A．8．A【分析】依据翻折变换的性质得到DE＝CE、CF＝DF；设AD＝2k，则DB＝3k；根据相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】解：设AD＝2k，则DB＝3k，∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝5k，∠A＝∠B＝∠C＝∠EDF＝60°，∴∠EDA＋∠FDB＝120°，又∵∠EDA＋∠AED＝120°，∴∠FDB＝∠AED，∴△AED∽△BDF，由折叠得CE＝DE，CF＝DF，∴△AED的周长为7k，△BDF的周长为8k，∴△AED与△BDF的相似比为7：8，∴CE：CF＝DE：DF＝7：8．故选：A．【点拨】主要考查了翻折变换的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是利用相似三角形的周长之比等于相似比，学会根据条件用字母表示相应的线段长度．9．D【分析】根据勾股定理求出，记与的交点为O，由平行四边形的性质可得，，当最小时，最小；过O作，证得，从而利用相似三角形的性质求出的长，即可得到的最小值．【详解】解：∵，，，，∴在中，，记与的交点为O，∵四边形是平行四边形，∴，，∴当最小时，最小，过O作，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴的最小值为．故选：D【点拨】本题考查了勾股定理的运用，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是作高线，构造相似三角形．10．A【分析】过点作于点，由角平分线的性质结合正方形的性质易得，为等腰直角三角形，于是设，则 ，，进而，，再利用，由等角的余角相等得到，以此，利用相似三角形的对应边成比例列出等式求解即可．【详解】解：如图，过点作于点，∵四边形为正方形，∴，，，∵平分，，，∴，由，，得为等腰直角三角形，∴，设，则 ，，，∴，，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得：．故选：A．【点拨】本题主要考查正方形的性质、角平分线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，根据角平分线的性质正确表示出、的长是解题关键．11．/【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割比“将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值”，结合题意列方程解题即可．【详解】解：设，则，根据黄金分割点的定义得到，解得，（舍去），∴，故答案为．12．【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），相似多边形的性质，可设，由四边形与矩形相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，求解即可．【详解】，设，则，，四边形与矩形相似，，则，解得，（不合题意舍去），经检验是原方程的解．故答案为：．13．2【分析】根据，可得出，故，再由相似三角形的性质可得出的长，进而可得出结论．【详解】解：，，，，，∴，，即．解得，，故答案为：．【点拨】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解答此题的关键．14． 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，求得位似比是解题的关键．根据题意求得位似比，根据相似比等于位似比，面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】解：∵将放大后得到．点，∴与的相似比为，∵，∴，∴点的坐标是，∵与的相似比为，则与的面积比是，故答案为：；．15．/【分析】本题主要考查的是平行线分线段成比例定理、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．如图：过点B作交于H，根据平行线分线段成比例定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据平行线分线段成比例定理解答即可．【详解】解：过点B作交于H，∴∴，  ∵，E是边上的中点，∴，∴是线段的垂直平分线，∴，∵，即∴,∴，∴，即，∴，∴．故答案为：．16．/【分析】本题考查了基本作图，三角形的面积公式和相似三角形的判定和性质．先由作图得出平分，垂直平分，再根据三角形的面积公式求出和的面积关系，再根据相似三角形的性质求解．【详解】解：由作图得：平分，垂直平分，，，在中，，，，，，，，，，，则，，，，，，，故答案为：．17．/【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形中位线的判定与性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质得出，则，根据勾股定理求出，根据线段的和差求解即可．【详解】解：过点作于点，交于点，，，，∴H是的中点，，，，∴，∴，∴F是的中点，是的中位线，，，，是的中点，，在和中，，，，，在中，，，，，故答案为：．【点拨】此题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．18．或【分析】由题可分两种情况，当交点在线段上时，或当交点在线段延长线上时，分别将绕点顺时针旋转，可判定全等三角形，用勾股定理求出对应边的长度即可．【详解】解：分两种情况：（1）当交点在线段上时，四边形为正方形，将绕点顺时针旋转，如图1所示，与重合，且，，三点共线，四边形是正方形，，，由旋转可得，，，连接，在和中，，，，设，正方形边长，，，，，在中，有勾股定理得：，即：，解得：；（2）当交点在线段延长线上时，同理旋转到，如图2所示，可得，同理可证，，设，正方形边长，，，，在中，有勾股定理得：，即：，解得：；，，，，即，解得：；综上所述：或．故答案为：或．【点拨】本题主要考查正方形的性质，利用旋转图形证三角形全等，根据勾股定理和相似图形求出对应线段的长度是解题的关键，本题难点在于利用旋转构造全等三角形．19．,【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键．先根据线段的和差求得，根据平行线等分线段定理可得即可得，进而得到，再根据平行线等分线段定理可得即，然后求解即可．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴，即，解得：，∴，∵，∴，∴，即，解得：．20．(1)米(2)变短了，变短了米【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例．（1）通过证明，得出，即可解答；（2）通过证明，得出，求出，即可解答．【详解】（1）解：∵米，米，∴米，∵，，∴，∴，即解得，．即小明的身高为米．（2）解：∵米，米，∴米，∵，，∴，∴，即，解得，，∴（米），∴小明的身影变短了，变短了米．21．(1)证明见解析(2)【分析】（1）由，，证明四边形是平行四边形，由得，而，所以，则，则四边形是矩形；（2）由，，，根据勾股定理求得，再证明，则，求得．【详解】（1）证明：，，四边形是平行四边形，交的延长线于点，，，，，四边形是矩形；（2）解：，，，，，，，，，的长是．【点拨】本题考查平行四边形综合，涉及平行四边形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、矩形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．22．(1)(2)(3)为或【分析】本题是动点问题，考查了勾股定理，相似三角形的性质等知识，掌握这些知识是关键．注意相似有两种情况，考虑要周到．（1）分别求出点P、Q在各自边上运动的时间范围，即可确定t的范围；（2）当时，可分别求得的长度，由勾股定理即可求得P，Q两点之间的距离；（3）分两种情况：；，利用相似三角形的性质即可求得t的值．【详解】（1）解：由运动知，，．∵，点P在线段上运动，∴，∴．∵，点Q在线段上运动，∴，∴，∴．（2）当时，，，在中，根据勾股定理，得．（3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与相似，且，∴①当时，∴，∴，∴．         ②当时，∴，∴，∴．        综上，当t为或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似．23．（1）见解析；（2）①；②．证明见解析．【分析】（1）作，垂足为，得∠NHB=90°，由四边形ABCD为正方形，可得∠B=∠NAB=90°，可证四边形ABHN为矩形，可证即可；（2）①，由点与点关于直线对称，与四边形是正方形，可得，，，在等腰中，，由外角性质；②.连接，，由对称性可知，，由勾股定理，，可证，可得．【详解】证明：（1）作，垂足为，∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠NAB=90°，∠NHB=90°，∴∠B=∠NAB=∠NHB=90°，∴四边形ABHN为矩形，∴，，，又，，，；（2）①.点与点关于直线对称，且四边形是正方形，，，，在等腰中，，又，；②.证明：连接，，由对称性可知，即是等腰直角三角形，∴FC，，∵四边形ABCD为正方形，∴，，，又，，，．【点拨】本题考查正方形性质，矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质，掌握正方形性质，矩形判定与性质，三角形全等判定与性质，轴对称性质，等腰直角三角形，三角形外角性质，勾股定理，三角形相似判定与性质．24．（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）证明，利用线段比等于相似比即可求证；（2）证明，利用线段比等于相似比即可求得；（3）作辅助线，根据已知条件，先求得EF的长，再根据勾股定理求得AB．【详解】解：（1）如图，∵，，，∴，且，∴，∴，∴（2）如图2，连接BD，∵，，∴在正方形ABCD中，，∴，，，∴；（3）如图，过点作，交于点，连接又即【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线，构造三角形相似，是解题的关键．