第4章 图形的相似（单元测试·基础卷）-2024-2025学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

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第4章 图形的相似（单元测试·基础卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．比例尺为的地图上，两地间的图上距离为，则两地间的实际距离是（    ）A． B． C． D．2．已知：，，，则满足关系式的图形是（　　）A．  B．   C．   D．  3．如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ）A． B． C． D．4．如图，在中，点分别是边上的点，，若，则等于（　　）A． B． C． D．5．如图，与是位似图形，点O是位似中心，若，的面积为2，则的面积为（   ）A．4 B．8 C．6 D．186．已知与相交于点O，若，则的面积与的面积之比为（   ）  A． B． C． D．7．如图，在线段上取点，使得，若，则的值为（    ）A． B． C．2 D．38．如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（    ）  A． B． C． D．9．在一次数学活动课上，小颖发现：将三角板的直角顶点放在长方形纸片的边上移动，恰好存在两直角边分别经过点，情形（如图）．如果，，则的长应为（  ）    A．1或9 B．2或8 C．3或7 D．4或610．如图，过的顶点，且交于交于，若，且，则____________．A． B．7 C．8 D．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ．12．如图，乐器上的一根弦，两个端点固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，且，则点A，点C之间的距离为 ．（结果保留根号）13．如图，在平面直角坐标系中，已知直线与直线交于点C0,1，它们的夹角为．直线交x负半轴于点A，直线与x正半轴交于点，那么点A的坐标是 ．14．如图，在平行四边形中，E是边上的点，连接，交于点F，若，则的值是 ．15．如图，点分别位于边上，与交于点．已知，，则 ．16．如图，将等边折叠，折痕为，使点落在边上得到点．若，则 ．17．已知中，直角边，为斜边上的中线，点为边上任意一点，分别以点、点为圆心，以长和长为半径作弧，两弧交于点，若点恰好落在上，则 ． 18．如图，在矩形中，，，E为上一动点，F为延长线一点，且在E点运动中始终保持．（1）当时，则的长为 ；（2）在此运动过程中，的比值为 ．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图，在中，点D是边上的一点，．  （1）尺规作图：作直线交于点E；（不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，若，求的长．20．（8分）如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分．（1）求证：；（2）当，求的值．21．（10分）如图，四边形是学校的一块学农基地，其中是水果园，是蔬菜园，已知，，，．（1）求证：；（2）若蔬菜园的面积为，求水果园的面积．22．（10分）如图，已知△ABC中，AC=BC，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，BF、ED的延长线交于点G，连接GC．（1）求证：AB=GD；（2）当CG=EG时，且AB=2，求CE．23．（10分）（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，连接、，且，求证：；（2）如图（2），在矩形中，，，、分别是、上的点，连接，过点作，分别交、于点、，且，，求的长．  24．（12分）新定义：若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，则称这个三角形为比例三角形．例如：三边的长分别为，，．因为，所以是比例三角形．【问题提出】（1）已知是比例三角形，，，求的长；【问题探究】（2）如图1，P是矩形的边上的一动点，平分，交边于点Q，．①求证：；②求证：是比例三角形．【问题延伸】（3）如图2，在（2）的条件下，当，时，点C与点Q能否重合？若能，求出的值；若不能，请说明理由．参考答案：1．C【分析】本题主要考查了线段的比，设两地间的实际距离为，由题意得：，求解即可得出答案，熟练掌握线段比的意义是解决问题的关键．【详解】解：设两地间的实际距离为，由题意得：，解得：，两地间的实际距离为，故选：C．2．C【分析】根据平行线分线段成比例定理进行求解即可【详解】解：，即A、∵，∴，即，故此选项不符合题意；B、∵，∴，即，故此选项不符合题意；C、∵，∴，即，故此选项符合题意；D、∵，∴，即，故此选项不符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟知平行线分线段成比例定理是解题的关键．3．A【分析】本题考查了相似三角形的判定，先根据求出，再根据相似三角形的判定方法解答．【详解】解：∵，∴，A．添加，不能判定，故本选项符合题意；B．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意；C．添加，可用两角法判定，故本选项不符合题意； D．添加，可用两边及其夹角法判定，故本选项不符合题意；故选：A．4．D【分析】本题考查平行线分线段成比例．由得，故，再根据得．【详解】解：．故选：D．5．D【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的性质等知识点，掌握位似的两个图形必须是相似形、对应点的连线都经过同一点、对应边平行（或共线）是解答本题的关键．先由可得，再利用位似的性质得到，然后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，∴，∵与是位似图形，点O为位似中心，∴，∴ ，∴ ，∴．故选：D．6．C【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，先证明，再利用相似三角形的性质可得答案．【详解】解∶∵，∴，∴，∴，故选C7．A【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．先证明，再由相似三角形的性质求解即可．【详解】解：∵，，∴，∵，，且，∴，∵，∴，∴，即，∴，故选：A8．B【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解．【详解】解：根据题意得，∴，∴，∵，∴，故选：B．9．B【分析】根据得出，再根据长方形的性质证得，，从而得到，最后根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长．【详解】解：由题意知，，四边形为长方形，，，，，，，，设，则，，整理得，，解得，，，即的长应为2或8，故选：B．【点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．10．A【分析】本题考查相似三角形的性质和判定．解题的关键是与、与比值的转化．先证明求出、的值，从而得出，的值，再根据相似三角形的性质和判定分别求出的长，相加即可求出的长．【详解】解：∵，， ，，．同理可得，，，，同事可得：，．故答案为：A．11．【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案．【详解】解：设a，b的比例中项线段为，∵线段，，∴，∴（负值舍去），∴a，b的比例中项线段等于，故答案为：．12．【分析】本题考查了黄金分割，利用黄金分割的等积式得一元二次方程是解题的关键．设，则，由得，再解方程即可；【详解】解：设，则，，，解得（舍），点A，点C之间的距离为，故答案为：．13．/【分析】本题考查了两直线相交的问题，点的坐标，相似三角形的判定与性质．根据已知条件证得，再根据相似三角形的性质即可求出的长，从而得出点的坐标．【详解】解：，，轴轴，，，，，，点，点，，，，，点在轴的负半轴，点的坐标是，故答案为：．14．3【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．根据平行四边形的性质得出，再由三角形相似的判定和性质得出，代入计算即可．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴故答案为：3．15．【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理．作，证明，推出，由，利用平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】解：作，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故答案为：．16．【分析】由等边三角形的性质得到，由折叠的性质得到，设，则，然后求出的周长，再证明，根据相似三角形周长之比等于相似比进行求解即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴，由折叠的性质可得，设，则，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的性质与判定，熟知相似三角形的周长之比对应相似比是解题的关键．17．【分析】由勾股定理求出的长，过点作于，求出，连接，交于点，由作图可知，求出的长，证明，得出，求出的长，由勾股定理可得出答案．【详解】解：∵，∴，∵为斜边上的中线，∴，如图所示，过点作于，∵，∴，∴，连接，交于点，由作图可知，∴垂直平分，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为：．【点拨】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．18． /0.5【分析】根据矩形的性质和，可得，可证明，（1）根据题意可得是等腰直角三角形，从而得到是等腰直角三角形，即可求解；（2）根据，可得，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∴，∵，∴， ∴，∴，∴，（1）∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴；故答案为：（2）∵，∴．故答案为：【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明是解题的关键．19．(1)见解析(2)【分析】本题考查了作一个角等于已知角的尺规作图以及平行线分线段成比例．（1）根据作一个角等于已知角，再根据同位角相等，两直线平行即可作答；（2）根据平行线分线段成比例即可作答．【详解】（1）如图所示，   直线即为所求；（2）由作图可知，又∵，∴． ∴．∵，∴．20．(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定和性质是解题的关键．（1）由作图可知，得，由邻补角性质得，由平分，可得，即可得证；（2）由（1）可得，由相似性质得，再因为，即可求解．【详解】（1）解：证明：，，，AB平分，，；（2），，，，，，．21．(1)见解析；(2)．【分析】本题考查相似三角形的判定与性质．（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形全等；（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．【详解】（1）证明：，，，，，，又，，；（2），，，，，答：水果园的面积为．22．（1）见解析；（2）CE=.【分析】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥AB，AB=2DE，根据平行线的性质得到∠ABF=∠DGF，证明△ABF≌△DGF，根据全等三角形的性质证明结论；（2）证明△GEC∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．【详解】解：∵D，E是AC，BC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥AB，AB=2DE，∴∠ABF=∠DGF，∵F为AD中点，∴AF=DF，在△ABF和△DGF中，∴△ABF≌△DGF（AAS），∴AB=GD；（2）∵AB=2，∴CD=2，DE=1，∴GE=3，∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA，∵CG=EG，∴∠GEC=∠GCE，∵DE∥AB，∴∠GEC=∠CBA，∴△GEC∽△CBA，设CE=x，则BC=2x，∴，即，解得：，（负值舍去）∴CE=.【点拨】本题考查的是三角形中位线定理相似三角形的考查，熟练掌握中位线及相似三角形的性质定理是解决本题的关键．23．（1）见解析；（2）的长为【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理知识点．（1）利用等角的余角相等证得，利用即可证明；（2）过点作于点，设，则，在中，由勾股定理求得，证明，利用相似三角形的性质列式计算即可．【详解】证明：（1）四边形是正方形，，，，，，，；解：（2）如解图，过点作于点，  ，四边形是矩形，，，，，设，则，在中，由勾股定理，得，，解得，，，，，，，，，即，解得，的长为．24．（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析；（3）能．【分析】本题考查了新定义，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程．（1）根据比例三角形的概念，分类讨论，列式计算即可求解；（2）①利用两角对应相等，证明即可；②利用角平分线的定义证明角相等，推出，再利用得到对应边成比例，即可求解；（3）证明，利用相似三角形的性质，列出一元二次方程，据此求解即可．【详解】解：（1）是比例三角形，且，，①当时，得，解得，，（不符合题意，舍去）；②当时，得，解得.，（不符合题意，舍去）；③当时，得，解得（负值已舍去），当时，是比例三角形，（2）①证明：四边形是矩形，，，又，；②证明：由①，知，，即. ∵，，平分，，，，，是比例三角形；（3）能，当点C与点Q重合时，，，，，，，，，；在中，，即，解得或（舍去），．