北师版九上数学期末复习课（四） 第四章　图形的相似（课件）

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总复习　期末复习课期末复习课（四）　（第四章　图形的相似）数学 九年级上册 BS版知识梳理典例讲练目录CONTENTS数学 九年级上册 BS版0 1知识梳理 等于　ad ＝ bc 　ad ＝ bc 　 2. 平行线分线段成比例.基本图形：（“日”型，“A”型，“X”型）图1图2图3  3. 相似三角形的判定及性质.（1）相似三角形的判定.①判定一：两角分别相等的两个三角形相似（最常用的判定）.②判定二：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.③判定三：三边成比例的两个三角形相似.④相似多边形的判定：每个角对应相等，每条边对应成比例的多边形相似.（2）相似三角形（多边形）的性质.①相似三角形对应 的比、对应 ⁠的比和对应 的比都等于相似比.②相似三角形（多边形）的周长比等于 ，面积比等于 ⁠.高　角平分线　中线　相似比　相似比的平方　4. 相似三角形的几种常见模型.5. 图形的位似.（1）一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P ， P '所在的直线都经过同一点 O ，且有 OP '＝ k · OP （ k ≠0），那么这样的两个多边形叫做 ⁠.（2）位似多边形除具有相似多边形的所有性质外，还具有下列性质：①对应顶点的连线经过 ；②对应边平行或在同一条直线上；③对应顶点到位似中心的距离之比等于 ⁠ ⁠.位似多边形　位似中心　相似比　数学 九年级上册 BS版0 2典例讲练类型一　成比例问题 如图， AD 是△ ABC 的中线，点 E 是 AD 上的一点，且3 AE ＝ AD ， CE 的延长线交 AB 于点 F . 若 AF ＝12 cm，则 AB ＝ ⁠cm.60　【思路导航】过点 D 作 FC 的平行线，可由平行线分线段成比例得到线段的比值，再结合已知条件就可求得线段 AB 的长.【解析】如图，过点 D 作 FC 的平行线 DG ，与 AB 交于点 G .∵ AD 是△ ABC 的中线，根据平行线等分线段定理（或中位线性质），得 BG ＝ FG . 根据平行线分线段成比例定理，得 AF ∶ AG ＝ AE ∶ AD . ∵ AF ＝12 cm，3 AE ＝ AD ，∴ AG ＝36 cm.∴ FG ＝36－12＝24（cm）.∴ BG ＝ FG ＝24 cm.∴ AB ＝ AG ＋ BG ＝36＋24＝60（cm）.故答案为60. 【点拨】遇到线段比值问题时，首先考虑构造平行线，构造出“A”型、“X”型斜交型或“垂直”型，再根据平行线分线段成比例求出线段的长.同时，一些特殊位置点，例如中点，是中考填空题常考内容.我们要学会联想中点在解决几何问题中的两个重要内容：分线段长（中位线）和面积. 1. 如图，已知直线 a ， b 被三条互相平行的直线 l1， l2， l3所截， AB ＝3， BC ＝2，则 DE ∶ DF ＝ ⁠.3 ∶5　2. 如图，在等腰三角形 ABC 中， AB ＝ AC ，点 P 在 BC 边上的高 AD 上，且2 AP ＝ PD ， BP 的延长线交 AC 于点 E . 若 S△ ABC ＝10，则 S△ ABE ＝ ， S△ DEC ＝ ⁠.2　4　 类型二　相似三角形的判定与性质 如图，在△ ABC 中， AC ＝12， AB ＝15， BC ＝18，点 D 是 BC 边上一点， AC2＝ BC · CD ，连接 AD ，点 E ， F 分别是 BC ， AB 上的点（点 F 不与点 A ， B 重合），∠ CFE ＝∠ B ， CF 与 AD 相交于点 G . （1）求 AD ， BD 的长；（2）求证：△ BEF ∽△ AFG . 【思路导航】（1）由 AC2＝ BC · CD ，可求得 CD 的长，进而可求得 BD 的长，再证明△ ABC ∽△ DAC ，由相似三角形的性质可求出 AD 的长；（2）由（1）可得∠ B ＝∠ BAD ，再根据已知条件证明∠ BEF ＝∠ AFG ，即可证明△ BEF ∽△ AFG .  （2）证明：由（1）可知， AD ＝ BD ＝10.∴∠ B ＝∠ BAD . ∵∠ BEF ＋∠ B ＝∠ AFG ＋∠ CFE ，∠ B ＝∠ CFE ，∴∠ BEF ＝∠ AFG . ∴△ BEF ∽△ AFG . 【点拨】在几何解答题中，若题目中出现乘积式，则应该想到的是相似三角形的性质；若又含有平方，则考虑存在共边，即子母型相似，再从图形入手.   2. 如图，在Rt△ ABC 中，已知∠ A ＝90°， AB ＝20 cm， AC ＝15 cm，在这个直角三角形内有一个内接正方形，正方形的一边 FG 在边 BC 上，另两个顶点 E ， H 分别在边 AB ， AC 上.（1）求△ ABC 的 BC 边上的高； 答图（2）求正方形 EFGH 的边长. 类型三　相似三角形的实际应用 如图，某水平地面上建筑物的高度为 AB ，在点 D 和点 F 处分别竖立高是2 m的标杆 CD 和 EF ，两标杆相隔8 m，并且建筑物 AB 、标杆 CD 和 EF 在同一竖直平面内.从标杆 CD 后退2 m到点 G 处，在点 G 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 C 在同一条直线上；从标杆 EF 后退4 m到点 H 处，在点 H 处测得建筑物顶端 A 和标杆顶端 E 在同一条直线上.求建筑物 AB 的高度.【思路导航】由已知条件得到 AB ∥ CD ∥ EF ，于是有△ CDG ∽△ ABG ，△ EFH ∽△ ABH ，再利用相似三角形对应边成比例的性质即可计算出 AB 的长度.  【点拨】构造相似三角形，利用其性质解决问题. 如图，一电线杆 AB 的影子分别落在了地上和墙上.同一时刻，小明竖起1 m高的直杆 MN ，量得其影长 MF 为0.5 m.量得电线杆 AB 落在地上的影子 BD 长3 m，落在墙上的影子 CD 的高为2 m.你能利用小明测量的数据计算出电线杆 AB 的高吗？解：如答图，过点 C 作 CG ⊥ AB 于点 G ，则 GC ＝ BD ＝3 m， GB ＝ CD ＝2 m.∵∠ NMF ＝∠ AGC ＝90°， NF ∥ AC ，∴∠ NFM ＝∠ ACG . ∴△ NMF ∽△ AGC .  ∴ AG ＝6 m.∴ AB ＝ AG ＋ GB ＝6＋2＝8（m）.答图故电线杆 AB 的高为8 m.答图类型四　图形的位似 如图， 在△ ABC 中， 已知 A ， B 两个顶点在 x 轴的上方，点 C 的坐标是（1， 0），以点 C 为位似中心，在 x 轴的下方作△ ABC 的位似图形△ A ' B ' C ，使它与△ ABC 的相似比为2∶1.设点 B 的横坐标是 a ，则点 B 的对应点 B '的横坐标是 ⁠.－2 a ＋3　【思路导航】设点 B '的横坐标为 x ，表示出 BC ， B ' C 的水平距离，再根据相似比列式计算即可.【解析】设点 B '的横坐标为 x ，则点 B ， C 间的水平距离为 a －1， 点 B '， C 间的水平距离为－ x ＋1.∵△ A ' B ' C 与△ ABC 的相似比为2∶1，∴2（ a －1）＝－ x ＋1.解得 x ＝－2 a ＋3.故答案为－2 a ＋3.【点拨】在位似变换与坐标问题中，关键在于熟练运用数形结合法，会在数与图之间转换.如此题中，将相似比为2∶1转化为 B ' C ＝2 BC ，又转化为点 B '， C 的水平距离为点 B ， C 水平距离的2倍，最后转化为坐标之间的关系（等式）. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格图中，已知点 O 及△ ABC 的顶点均为网格线的交点.（1）在给定网格中，以点 O 为位似中心，将△ ABC 放大，得到△ A ' B ' C '，使 A ' C '＝3 AC . 请画出△ A ' B ' C '；（1） 解：如图，△ A ' B ' C '即为所求.（2） B ' C '的长度为 ，△ A ' B ' C '的面积为 ⁠.  9　类型五　相似三角形中的等积式 如图，已知四边形 ABCD 是平行四边形， AE ⊥ BC 于点 E ， AF ⊥ CD 于点 F . 求证：（1）△ ABE ∽△ ADF ；（2） CD · EF ＝ AC · AE .  证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴∠ B ＝∠ D . ∵ AE ⊥ BC ， AF ⊥ CD ，∴∠ AEB ＝∠ AFD ＝90°.∴△ ABE ∽△ ADF .  【点拨】证明等积式时，先将等积式化为比例式，再根据比例式“横看”或“竖看”找到要证明的两个相似三角形.有时根据比例式不能直接找到相似三角形，可能需要等线段替换或等比替换，这需要多次尝试. 如图，在▱ ABCD 中，已知对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，点 E 是 DB 延长线上的一点，且 EA ＝ EC ，分别延长 AD ， EC 交于点 F . （1）求证：四边形 ABCD 是菱形；证明：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴ OA ＝ OC . 又∵ EA ＝ EC ，∴ EO ⊥ AC ，即 BD ⊥ AC . ∴▱ ABCD 是菱形.（2）若∠ AEC ＝2∠ BAC ，求证： CE · CF ＝ AF · AD .   类型六　相似三角形中的动点问题 如图，已知正方形 ABCD 的边长是1，点 P 是 CD 的中点，点 Q 是线段 BC 上一动点.当 BQ 的长度为多少时，以点 A ， D ， P 为顶点的三角形与以点 Q ， C ， P 为顶点的三角形相似？【思路导航】只知点 D 和点 C 是对应点，应分 DP 与 PC 是对应边和 DP 与 CQ 是对应边进行讨论，分别求出 CQ 的长度，进而求出 BQ 的长度.    【点拨】（1）解决相似三角形中的动点问题，主要用到“对应边成比例”，则设合适的未知数，得到比例方程是关键；（2）若相似三角形没有明确给出相似符号“∽”，则需要分类讨论，做到不重不漏；（3）若涉及分式方程，最后要检验是否为增根，方程的解是否符合题意，这是易错点. 如图，在△ ABC 中， AB ＝6 cm， AC ＝12 cm，动点 M 从点 A 出发，以1 cm/s的速度向点 B 运动，动点 N 从点 C 出发，以2 cm/s的速度向点 A 运动.若两点同时运动，是否存在某一时刻 t （s），使得以点 A ， M ， N 为顶点的三角形与△ ABC 相似？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由.解：存在.设经过 t s时，△ AMN 与△ ABC 相似，此时， AM ＝ t cm， CN ＝2 t cm， AN ＝（12－2 t ）cm（0≤ t ≤6）.  演示完毕 谢谢观看