人教A版高中数学必修第一册第5章5-4-2第1课时周期性与奇偶性课件

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第1课时　周期性与奇偶性第五章　三角函数5.4　三角函数的图象与性质5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质[学习目标]　1．理解周期函数的概念，能熟练地求出简单三角函数的周期．(数学抽象、逻辑推理)2．会根据之前所学结合函数的图象研究三角函数的奇偶性，能正确判断一些三角函数的变式的奇偶性．(直观想象)整体感知[讨论交流]　预习教材P201－P202，并思考以下问题：问题1．周期函数的定义是什么？问题2．如何利用周期函数的定义求正弦、余弦函数的周期？问题3．正弦、余弦函数是否具有奇偶性？[自我感知]　经过认真的预习，结合对本节课的理解和认识，请画出本节课的知识逻辑体系．探究1　正弦函数、余弦函数的周期探究问题　观察下面正弦函数的图象，可以发现横坐标每隔2π个单位长度，对应点的纵坐标都相同，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律．如何用数学语言描述这一现象？探究建构提示：sin (α＋2kπ)＝sin α，cos (α＋2kπ)＝cos α，其中k∈Z．[新知生成]1．函数的周期性一般地，设函数f (x)的定义域为D，如果存在一个__________，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且______________，那么函数f (x)就叫做周期函数．__________叫做这个函数的周期．非零常数Tf (x＋T)＝f (x)非零常数T2．最小正周期如果在周期函数f (x)的所有周期中存在一个__________，那么这个最小正数就叫做f (x)的最小正周期．3．正弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．4．余弦函数是________，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π．最小的正数周期函数周期函数【教用·微提醒】　(1)关键词“每一个x”体现了对定义域中每一个值都得成立．(2)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期．(3)并不是所有的周期函数都存在最小正周期．如f (x)＝C(C为常数，x∈R)，是周期函数，但没有最小正周期．c c c解：(1)∀x∈R，有3sin (x＋2π)＝3sin x．由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π．(2)令z＝2x，由x∈R得z∈R，且y＝cos z的周期为2π，即cos (z＋2π)＝cos z，于是cos (2x＋2π)＝cos 2x，所以cos 2(x＋π)＝cos 2x，x∈R．由周期函数的定义可知，原函数的周期为π．c c [解]　(1)因为7sin [2(x＋π)]＝7sin (2x＋2π)＝7sin 2x，由周期函数的定义知，y＝7sin 2x的最小正周期为π． (3)法一(定义法)：∵f (x)＝|sin x|，∴f (x＋π)＝|sin (x＋π)|＝|sin x|＝f (x)，∴f (x)的最小正周期为π．法二(图象法)：作出函数f (x)＝|sin x|的图象如图所示．由图象可知T＝π．    √π探究2　正弦函数、余弦函数的奇偶性[新知生成]原点y奇函数偶函数(kπ，0)(k∈Z)  kπ，k∈Z   反思领悟　1．判断函数奇偶性应把握好的两个方面：一看函数的定义域是否关于原点对称．二看f (x)与f (－x)的关系．2．对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．  [解]　(1)f (x)＝x sin (π－x)＝x sin x的定义域为R．由于f (－x)＝－x sin (－x)＝－x(－sin x)＝x sin x＝f (x)，故f (x)为偶函数．(2)f (x)的定义域为R，由已知可得f (x)＝sin x cos x．因为f (－x)＝sin (－x)cos (－x)＝－sin x cos x＝－f (x)，所以f (x)为奇函数．  √     1　反思领悟　处理三角函数奇偶性和周期性的综合应用问题立足一点：把待求向已知转化．(1)周期性的作用在于大化小．(2)奇偶性的作用在于负化正．两者相互作用，便可把待求转化到已知区间中，最终用代入法求值．[学以致用]　3．(1)设函数f (x)(x∈R)满足f (－x)＝f (x)，f (x＋2)＝f (x)，则函数y＝f (x)的图象是(　　)A　　　　　　　　　BC　　　　　　　　　D√(2)函数y＝f (x)是R上的周期为3的偶函数，且f (－2)＝3，则f (2 024)＝_____．(1)B　(2)3　[(1)由f (－x)＝f (x)，则f (x)是偶函数，图象关于y轴对称．由f (x＋2)＝f (x)，则f (x)的周期为2．故选B．(2)∵f (x)为周期是3的偶函数，∴f (2 024)＝f (3×674＋2)＝f (2)＝f (－2)＝3．]3　   243题号1应用迁移√ 2．函数f (x)＝sin (－x)的奇偶性是(　　)A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数23题号14√A　[∵f (x)＝sin (－x)＝－sin x，∴f (－x)＝sin x．∴f (－x)＝－f (x)，∴f (x)为奇函数．故选A．]3．已知a∈R，函数f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，则a＝____.23题号410　0　[因为f (x)＝sin x－|a|，x∈R为奇函数，所以f (0)＝sin 0－|a|＝0，所以a＝0．] 243题号11　  回顾本节知识，自主完成以下问题：1．若f (x＋T)＝f (x)，x∈R，则f (x)是周期函数吗？[提示]　不一定．若T≠0，则f (x)是周期函数，否则不是．2．你能写出计算f (x)＝A sin (ωx＋φ)与g(x)＝A cos (ωx＋φ)(其中A≠0，ω≠0)的最小正周期的公式吗？ 3．你能归纳一下正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性吗？[提示]　正弦函数为奇函数，其图象关于原点对称；余弦函数为偶函数，其图象关于y轴对称．正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形．