第二章 再练一课(范围：§1～§6)学案

再练一课(范围：§1～§6)

一、单项选择题

1．函数f(x)＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为(　　)

A．10  B．5  C．－1  D．－

答案　D

解析　∵f(x)＝x3＋4x＋5，∴f′(x)＝3x2＋4，

∴f′(1)＝7，即切线的斜率为7，

又f(1)＝10，故切点坐标为(1,10)，

∴切线的方程为y－10＝7(x－1)，

当y＝0时，x＝－，

∴切线在x轴上的截距为－，故选D.

2．函数y＝4x2＋的单调递增区间为(　　)

A．(0，＋∞)   B.

C．(－∞，－1)   D.

答案　B

解析　由y＝4x2＋，

得y′＝8x－(x≠0)，

令y′>0，即8x－>0，解得x>，

∴函数y＝4x2＋的单调递增区间为.

3．函数y＝xex的最小值是(　　)

A．－1   B．－e

C．－   D．不存在

答案　C

解析　因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x>－1时，y′>0；当x<－1时，y′<0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－.

4．函数y＝xln(2x＋5)的导数为(　　)

A．ln(2x＋5)－   B．ln(2x＋5)＋

C．2xln(2x＋5)   D.

答案　B

解析　∵y＝xln(2x＋5)，

∴y′＝ln(2x＋5)＋.

5．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)

A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值

B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值

C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值

D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值

答案　C

解析　当k＝1时，f′(x)＝ex·x－1，f′(1)≠0，

∴x＝1不是f(x)的极值点．

当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(xex＋ex－2)，

显然f′(1)＝0，且在x＝1附近的左侧f′(x)<0，

当x>1时，f′(x)>0，

∴f(x)在x＝1处取得极小值．

6．已知定义在上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈，都有f′(x)sin x<f(x)cos x，则(　　)

A.f >f    B．f >f(1)

C.f <f    D.f <f 

答案　A

解析　令g(x)＝，

则g′(x)＝，

由已知得g′(x)<0在上恒成立，

∴g(x)在上单调递减，

∴g>g，即>，

∴f >f .

二、多项选择题

7.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)

A．函数f(x)有极大值f(2)

B．函数f(x)有极大值f(－2)

C．函数f(x)有极小值f(2)

D．函数f(x)有极小值f(－2)

答案　BC

解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0；

当x>2时，f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．

8．已知函数f(x)＝(k为常数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则(　　)

A．实数k＝－1

B．函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)

C．函数f(x)的单调递增区间为(0,1)

D．函数f(x)的单调递减区间为(1，＋∞)

答案　CD

解析　f′(x)＝(x>0)．

又由题意知f′(1)＝＝0，所以k＝1.

f′(x)＝(x>0)．

设h(x)＝－ln x－1(x>0)，

则h′(x)＝－－<0，

所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减．

由h(1)＝0知，当0<x<1时，h(x)>0，所以f′(x)>0；

当x>1时，h(x)<0，所以f′(x)<0.

所以f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．

三、填空题

9．若函数为y＝sin4x－cos4x，则y′＝________.

答案　2sin 2x

解析　∵y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，

∴y′＝(－cos 2x)′＝－(－sin 2x)·(2x)′＝2sin 2x.

10．已知函数f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，设曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为l，若直线l与圆C：x2＋y2＝相切，则实数a的值为________．

答案　

解析　因为f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋(x<2)，

所以f′(1)＝2a－2，

所以切线l的方程为2(a－1)x－y＋2－a＝0.

因为直线l与圆相切，

所以圆心到直线l的距离等于半径，

即d＝＝，

解得a＝.

11．已知g(x)＝＋x2＋2aln x在[1,2]上单调递减，则实数a的取值范围为________．

答案　

解析　g′(x)＝－＋2x＋，

由已知得g′(x)≤0在[1,2]上恒成立，

可得a≤－x2在[1,2]上恒成立．

又当x∈[1,2]时，min＝－4＝－.

∴a≤－.

12．已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，f(x)的导数f′(x)<，则不等式f(x2)<＋的解集为____________．

答案　{x|x<－1或x>1}

解析　设F(x)＝f(x)－x，

∴F′(x)＝f′(x)－，

∵f′(x)<，∴F′(x)＝f′(x)－<0，

即函数F(x)在R上单调递减．

∵f(x2)<＋，

∴f(x2)－<f(1)－，

∴F(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，

∴x2>1，即不等式的解集为{x|x<－1或x>1}．

四、解答题

13．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值．

解　f′(x)＝1－＝，

①当a≤0时，f′(x)>0，f(x)为(－∞，＋∞)上的增函数，

所以函数f(x)无极值．

②当a>0时，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝ln a，

当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；

当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0，

所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，

在(ln a，＋∞)上单调递增，故f(x)在x＝ln a处取得极小值且极小值为f(ln a)＝ln a，无极大值．

综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；

当a>0时，f(x)在x＝ln a处取得极小值ln a，无极大值．

14．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝ax2＋2x(a≠0)．

(1)若函数h(x)＝f(x)－g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；

(2)若函数h(x)＝f(x)－g(x)在[1,4]上单调递减，求a的取值范围．

解　(1)h(x)＝ln x－ax2－2x，x∈(0，＋∞)，

所以h′(x)＝－ax－2，

由于h(x)在(0，＋∞)上存在单调递减区间，

所以当x∈(0，＋∞)时，－ax－2<0有解，

即a>－有解．

设G(x)＝－，所以只要a>G(x)min即可．

而G(x)＝2－1，所以G(x)min＝－1.

所以a>－1.

又因为a≠0，所以a的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．

(2)因为h(x)在[1,4]上单调递减，

所以当x∈[1,4]时，h′(x)＝－ax－2≤0恒成立，

即a≥－恒成立．

由(1)知G(x)＝－，

所以a≥G(x)max，而G(x)＝2－1，

因为x∈[1,4]，所以∈，

所以G(x)max＝－(此时x＝4)，

所以a≥－，又因为a≠0，

所以a的取值范围是∪(0，＋∞)．

15．已知函数f(x)＝(a>0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值．

解　(1)f′(x)＝

＝.

令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c，

因为ex>0，所以y＝f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)的符号相同．

又因为a>0，所以当－3<x<0时，g(x)>0，

即f′(x)>0，

当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0，

所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，

单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)．

(2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，

所以

解得a＝1，b＝5，c＝5，

所以f(x)＝.

因为f(x)的单调递增区间是(－3,0)，

单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)，

所以f(0)＝5为函数f(x)的极大值，

故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者，

而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)，

所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5.