北师大版 (2019)7.1 实际问题中导数的意义优秀同步达标检测题

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考点01：面积体积最大值
1．某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”系列进行市场销售量调研，通过对该品牌的系列一个阶段的调研得知，发现系列每日的销售量（单位：千克）与销售价格（元/千克）近似满足关系式，其中，为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.
（1）求函数的解析式；
（2）若系列的成本为4元/千克，试确定销售价格的值，使该商场每日销售系列所获得的利润最大.
【答案】（1）；（2）当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
【详解】分析：（1）根据题意已知销售价格为6元/千克时，每日可售出系列15千克.即可求出a得到解析式；（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，然后根据利润计算式得出具体表达式，然后根据导数求最值思维求解即可.
详解：
（1）有题意可知，当时，，即，
解得，
所以.
（2）设该商场每日销售系列所获得的利润为，则
，
，
令，得或（舍去），
所以当时，为增函数；
当时，为减函数，
故当时，函数在区间内有极大值点，也是最大值点，
即时函数取得最大值.
所以当销售价格为5元/千克时，系列每日所获得的利润最大.
点睛：考查函数的表示，导函数最值的应用，正确理解题意，写出具体表达式，然后借助导数分析思维求解是解题关键，做此类题要有耐心，认真审题，读懂题意，属于中档题.
2．某造船公司年造船量是20艘，已知造船x艘的产值函数为 (单位：万元)，成本函数为 (单位：万元)．
(1)求利润函数；(提示：利润＝产值－成本)
(2)问年造船量安排多少艘时，可使公司造船的年利润最大？
【答案】(1)且；
(2)当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大.
【分析】（1）根据，可得函数关系式；
（2）求导函数，确定函数的单调性，从而得到函数的最值.
【详解】（1）由题可得
且；
（2）因为，
由，得或 (舍去)，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
∴当时，取得极大值，也为最大值，
∴当年造船量安排12艘时，可使公司造船的年利润最大．
考点02：利润最大值
3．某种儿童型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成，（其中上半球是容器的盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形，其外周长为毫米.防蚊液所占的体积为圆柱体积和一个半球体积之和.假设的长为毫米.（注：，其中为球半径，为圆柱底面积，为圆柱的高）
（1）求容器中防蚊液的体积关于的函数关系式；
（2）如何设计与的长度，使得最大？
【答案】（1），（2）当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.
【分析】（1）由矩形其外周长为毫米，设的长为毫米，可得AB的长度，再根据圆柱和球的体积公式即可求得防蚊液的体积关于的函数关系式；（2）对（1）求得的函数关系式求导得，据此讨论函数单调性，根据函数单调性即可确定防毒液体积最大值．
【详解】解：（1）由得，
由得，
所以防蚊液体积，
（2）求导得，
令得；令得，
所以在上单调增，在上单调减，
所以当时，有最大值，此时，，
答：当为毫米，为毫米时，防蚊液的体积有最大值.
【点睛】本题是考查关于函数及其导数的一道应用题，难度不大．
4．某市城郊由3条公路围成的不规则的一块土地（其平面图形为图所示）．市政府为积极落实“全民健身”国家战略，准备在此地块上规划一个体育馆．建立图所示的平面直角坐标系，函数的图象由曲线段和直线段构成，已知曲线段可看成函数的一部分，直线段（百米），体育馆平面图形为直角梯形（如图所示），，．（参考数据：）

(1)求函数的解析式；
(2)在线段上是否存在点，使体育馆平面图形面积最大？若存在，求出该点到原点的距离；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，（百米）．
【分析】（1）根据函数图象即可得出解析式；
（2）写出面积表达式，利用导数求函数单调性，即可得出点的位置.
【详解】（1）由题意，因为在曲线上，即，，
所以，．
又因为，，所以线段方程为，
所以，．
所以函数的解析式为：．
（2）由题意及（1）得，
在中，
设点坐标为，则．
又，，点坐标为，
所以直角梯形的面积，
即，
所以．
令，解得．
当时，；
当时，．
所以在上单调递增，在上单调递减．
所以时，函数取得最大值．
故在线段上存在点，使体育馆平面图形面积最大，且到的距离（百米）．
考点03：成本最小问题
5．某城镇在规划的一工业园区内架设一条16千米的高压线，已知该段线路两端的高压线塔已经搭建好，余下的工程只需要在已建好的两高压线塔之间等距离的再修建若干座高压电线塔和架设电线．已知建造一座高压线电塔需2万元，搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用等为万元，所有高压电线塔都视为“点”，且不考虑其他因素，记余下的工程费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式．
(2)问：需要建造多少座高压线塔，才能使工程费y有最小值？最小值是多少？（参考数据：）
【答案】(1)
(2)需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元
【分析】（1）由已知可得工程费用包括建造高压线电塔所需费用和搭建距离为x千米的相邻两高压电线塔之间的电线和人工费用的总和，即可列出函数关系式；
（2）利用导数求解函数的单调性，然后求出最小值即可.
【详解】（1）（1）由题意知，需要新建的高压线塔为座．
所以，
即．
（2）由（1），得，
令得或（舍去）．
由，得；由，得，
所以函数y在区间上单调递减；在区间上单调递增．
所以当时，函数y取得最小值，
且，
此时应建高压线塔为（座）．
故需建19座高压线塔可使得余下的工程费用最低，且最小值为44.72万元．
6．由于多种因素影响，某地猪肉价格节节攀升，该地方政府为落实“迅速采取有力措施稳定生猪生产，确保猪肉供应和市场基本稳定”这一重要指示，决定对宰杀生猪的定点厂家提供政府补贴，平衡猪肉的市场价格.设猪肉的市场价格为元/千克，政府补贴为元/千克，根据市场调查，当时，猪肉市场日供应量万千克近似地满足关系：，日需求量万千克近似地满足关系：已知猪肉市场价格为26元/千克时，日需求量为13.2万千克，定义猪肉市场日供应量与日需求量相等时的市场价格为猪肉市场的平衡价格.
（1）将政府补贴表示为市场平衡价格的函数，并求出该函数的值域；
（2）为使市场的平衡价格不高于28元/千克，政府补贴应至少为每千克多少元？
【答案】（1）函数；值域为；（2）应至少为元/千克.
【解析】（1）根据题中条件，先求出，进而得出，设，所以，由导函数的方法研究其单调性，进而可得出值域；
（2）根据（1）的结果，得到时，，进而可得出结果.
【详解】（1）因为当猪肉市场价格为26元/千克时，日需求量为13.2万千克，
所以，解得；
根据题意，由得，
所以.
设，所以，
所以，所以是关于的减函数，
所以当时，；当时，，
所以函数的值域为；
（2）由（1）得，当时，，
由（1）易知是关于的减函数，所以欲使，则需；
答：要使市场的平衡价格不高于28元/千克，政府补贴应至少为元/千克.
【点睛】思路点睛：本题主要考查导数在生活中的应用，属于常考题型.
求解此类问题时，一般需要根据题中条件，先得出函数解析式，再对函数求导，根据导数的方法研究函数单调性，得出最值，即可确定结果.
考点04：用料最省问题
7．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．
(1)写出y关于x的函数解析式，并确定x的取值范围；
(2)随着x的变化，y的变化有何规律？
(3)当堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？
【答案】(1)
(2)见解析；
(3).
【分析】（1）利用题意建立函数关系即可；
（2）根据函数关系利用导数研究其单调性即可；
（3）根据（2）求函数的极值、最值即可.
【详解】（1）由题意可知与原有墙壁垂直的新墙长度为：，
则，
所以y关于x的函数解析式为，；
（2）由（1），
显然当时，，即此时随着x的增大，y也增大；
当时，，即此时随着x的增大，y减小；
（3）由（2）可知，当时，y可取得极小值也是最小值，此时，
所以长和宽分别为32，16时最省料，此时长宽比为.
8．工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁．我们知道，砌起的新墙的总长度（单位：）是利用原有墙壁长度（单位：）的函数．
(1)写出关于的函数解析式，确定的取值范围．
(2)堆料场的长、宽之比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？
【答案】(1)，
(2)堆料场的长宽之比为2:1时，需要砌的墙所用材料最省.
【分析】（1）求出矩形堆料场的另一边新墙的长度为，得到砌起的新墙的总长度为，；
（2）在第一问的基础上，利用导函数得到函数的单调性，得到时，最小，此时，故得到长宽之比为2:1，可得结论．
【详解】（1）由题意知，矩形堆料场利用原有的墙壁的边长为，另一边为，
则砌起的总长度，；
（2），令得：（舍去），
当时，，当时，.
故当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大.
由以上可知，当长，宽时，有最小值，
所以堆料场的长与宽的比为2:1时，需要砌的墙所用材料最省.
1．某箱子的容积与底面边长的关系为，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为（ ）
A．B．C．D．其他
【答案】B
【分析】首先求函数的导数，利用导数判断函数的单调性，即可求得函数的最大值，以及取得最值的值.
【详解】
，，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以当时，取得最大值，
故选：B
2．某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元，每年最大规模的种植量是8万斤，每种植一斤藕，成本增加0.5元. 已知销售额函数是（x是莲藕种植量，单位：万斤；销售额的单位：万元，a是常数），若种植2万斤，利润是2.5万元，则要使利润最大，每年需种植莲藕（ ）
A．6万斤B．8万斤C．3万斤D．5万斤
【答案】A
【分析】销售利润为,根据得．可得，利用导数研究其单调性即可得出．
【详解】设销售利润为，得，，
当时，，解得．
，
，
函数在上单调递增，在上单调递减．
时，函数取得极大值即最大值，
故选：A
3．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为，，底面半径为．若，则该几何体的体积最大时，以为半径的球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意可知该几何体的体积为，令，求导得到当时取得最大值，从而利用球的体积公式即可求解.
【详解】由题意可知该几何体的体积为，
令，则，
令，得（舍去），
则时，，单调递增，时，，单调递减，
故当时，取得最大值，此时该几何体的体积最大．
则以2为半径的球的体积为．
故选：C．
4．某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，彰显城市积极向上的活力.某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20的大⊙O上，点M，N在半径为10的小⊙O上，点O，P在弦MN的同侧.设，当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时（ ）
A．B．C．D．0
【答案】C
【分析】设△PMN的面积为，进而得，利用导数研究函数的单调性求出函数的最大值，结合二倍角的余弦公式计算即可得出结果.
【详解】等腰△PMN中，，设△PMN的面积为，
则，，
求导
，
令，即，解得：（舍去负根），
记，，
当，，函数单调递增；
当，，函数单调递减；
故当时，即，取得极大值，即最大值，
则
故选：C.
5．进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（ ）
A．80B．90C．100D．110
【答案】C
【分析】设运输成本为元，依题意可得，利用导数求出函数的单调性，即可得到函数的极小值点，从而得解；
【详解】解：设运输成本为元，依题意可得，
则
所以当时，当时，当时，
即函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时取得极小值即最小值，
所以时全程运输成本最低；
故选：C
6．生物学家为了研究某生物种群的数量情况，经过数年的数据采集，得到该生物种群的数量Q（单位：千只）与时间t（，单位：年）的关系近似地符合，且在研究刚开始时，该生物种群的数量为5000只．现有如下结论：
①该生物种群的数量不超过40000只；
②该生物种群数量的增长速度逐年减小；
③该生物种群数量的年增长量不超过10000只．
其中所有正确说法的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】由题意可知，求出，然后得，化成带分式便可求出的取值范围判断①，对求导，根据单调性便可求出增长速度，可判断②③.
【详解】解：由题意得：
，即，解得，故．因为，故①正确；
因为，可知当时，单调递增，当时，单调递减，故该生物种群数量的增长速度先增大后减小，故②错误；
当时，，故③正确.
故选C．
7．（多选）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵一些？高二某研究小组针对饮料瓶的大小对饮料公司利润的影响进行了研究，调查如下：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中r（单位：cm）是瓶子的半径．已知每出售1mL的饮料，制造商可获利0.2分（不考虑瓶子的成本的前提下），且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm．下面结论正确的有（ ）（注：；利润可为负数）
A．利润随着瓶子半径的增大而增大B．半径为6cm时，利润最大
C．半径为2cm时，利润最小D．半径为3cm时，制造商不获利
【答案】BCD
【分析】先根据条件及球的体积公式求出每瓶液体材料的利润的解析式，再利用导数的性质即可逐一判断．
【详解】由已知，每个瓶子的利润为，，
则，
所以当时，，此时函数单调递减，故A错误；
又当时，，函数单调递增，
又，则当时，函数取得最大值，故B正确；
当时，函数取得最小值，故C正确；
又，故D正确．
故选：BCD．
8．（多选）已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1000件需另投入2.7万元.设该公司一年内生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为万元，且当该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大时，则有（ ）
A．年产量为9000件B．年产量为10000件
C．年利润最大值为38万元D．年利润最大值为38.6万元
【答案】AD
【分析】根据利润销售收入成本，将利润表示为关于的函数，根据导数判断单调性求最值即可得结果.
【详解】设年利润为W.
当时，，
.令，得（舍负），且当时，
；当时，；
所以当时，年利润W取得最大值38.6；
当时，，.
令，得（舍负），所以当时，年利润W取得最大值38.
因为，所以当年产量为9000件时，
该公司在这一品牌服装的生产中
所获得的年利润最大，且年利润最大值为38.6万元.
故选：AD.
9．已知泳池深度为，其容积为，如果池底每平方米的维修费用为元．设入水处的较短池壁长度为，且据估计较短的池壁维修费用与池壁长度成正比，且比例系数为，较长的池壁总维修费用满足代数式，则当泳池的总维修费用最低时的值为 ．
【答案】
【分析】将池壁的总维修费用表示为关于的函数，利用导数可求得的单调性，结合单调性可得最小值点，从而得到结果.
【详解】由题意知：池底面积为，则池底维修费用为（元）；
表示较短池壁长，，解得：，
池壁的总维修费用表达式为，
，
令，解得：，
当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，即此时泳池的总维修费用最低.
故答案为：.
10．如图，阴影部分为古建筑群所在地，其形状是一个长为2，宽为1的矩形，矩形两边、紧靠两条互相垂直的路上，现要过点修一条直线的路，这条路不能穿过古建筑群，且与另两条路交于点和．则的面积的最小值为 ．

【答案】4
【分析】设，然后由三角形相似可表示出，从而可表示出的面积，再利用导数可求出其最小值
【详解】设，
因为∥，所以∽，
所以，得．
即，故，
则．
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值．
故答案为：4
11．如图所示，一座小岛距离海岸线上的点的距离是，从点沿海岸正东处有一个城镇.一个人驾驶的小船的平均速度为，步行的速度是（单位：）表示他从小岛到城镇所用的时间，（单位：）表示小船停靠点距点的距离.
(1)将表示为的函数，并注明定义域；
(2)此人将船停在海岸线上何处时，所用时间最少？
【答案】(1)
(2)此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
【分析】（1）根据题目信息将表示为的函数即可；
（2）利用导数求出函数的单调区间即可.
【详解】（1）由题意可得：
（2），由解得
在上递增，列表如下：
所以此人将船停在点沿海岸正东处，所用时间最少.
12．一辆正在加速的汽车在5s内速度从0提高到了90．下表给出了它在不同时刻的速度，为了方便起见，已将速度单位转化成了，时间单位为s．
(1)分别计算当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率，并解释它们的实际意义；
(2)根据上面的数据，可以得到速度v关于时间t的函数近似表示式为，求，并解释它的实际意义．
【答案】(1)平均变化率分别为，，它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9和2，也就是加速度分别为
(2)，它的意义是在t＝1s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8，也就是这一时刻汽车的加速度为
【分析】（1）根据平均变化率的公式及意义求解；
（2）根据导数公式及导数的实际意义求解.
【详解】（1）当t从0s变到1s、从3s变到5s时，速度v关于时间t的平均变化率分别为，，
它们分别表示在相应的时间内，时间每经过1s，速度增加9和2，也就是加速度分别为.
（2）∵，∴，
它的意义是在s这一时刻，每过1s，汽车的速度增加8，也就是这一时刻汽车的加速度为.
1．某中学为美化校园将一个半圆形边角地改造为花园．如图所示，为圆心，半径为千米，点、、都在半圆弧上，设，，其中．
(1)若在花园内铺设一条参观的线路，由线段、、三部分组成，求当取何值时，参观的线路最长；
(2)若在花园内的扇形和四边形内种满杜鹃花，求当取何值时，杜鹃花的种植总面积最大．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题设用表示出、、，应用倍角余弦公式、换元法及二次函数性质求参观路线的最大长度对应的取值；
（2）利用扇形、三角形面积公式用表示出扇形、、的面积，再应用导数求种植总面积最大对应的取值.
【详解】（1）解：如下图，连接，则，
在中，，即，
同理可得，且，
所以参观路线的长度，
令，即.
当时取得最大值，此时，即时，参观路线最长.
（2）解：由题知：扇形的面积，
的面积，
的面积，
所以杜鹃花的种植总面积，
，
令得或（舍），因为，所以，，
当时，单调递增，当时，单调递减，
所以时，杜鹃花的种植总面积最大.
2．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量.
(1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式；
(2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？
【答案】(1)
(2)当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元
【分析】（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x的函数；
（2）写出本年度的年利润函数，利用导数讨论函数的单调性得出最大值.
【详解】（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为.
因此本年度的年利润
.
（2）本年度的年利润为
，
则，
令，解得或(舍去).
当时，，当时，，
所以时，有最大值.
所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元.
3．（1）“老六”和他的老铁们要参加学校的“科目三”表演活动，他们要用一张边长为的正方形蓝色纸片做一顶圆锥形装饰帽子，以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形，并用这个扇形围成了一个圆锥.如图所示，其中是该圆锥的高，求该圆锥的体积；
（2）“老六”将周长为4的矩形绕旋转一周得到一个圆柱，求当圆柱的体积最大时矩形的面积.

【答案】（1）（2）
【分析】（1）由题意得母线长为正方形边长，圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，由此即可求出圆锥的底面半径以及高，进而得解.
（2）由题意圆柱的高以及底面半径构成一个条件等式，将圆柱体积表示成关于半径的函数，求导得圆柱的体积最大时的半径，从而得解.
【详解】（1）如图所示：

由题意母线长为正方形边长，即，
圆锥底面圆周长为以正方形的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，剪下一个最大的扇形的弧长，
不妨设圆锥底面半径为，所以，解得，
所以圆锥的高，
所以圆锥的体积为.
（2）由题意不妨设，则，所以，
所以圆柱的体积可表示为，
求导得，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当圆柱的体积最大时，此时矩形的面积为.
0
+
单调递减
最小值
单调递增
时间t/s
0
1
2
3
4
5
速度v/（m/s）
0
9
15
21
23
25