新教材2023版高中数学第二章导数及其应用7导数的应用学案北师大版选择性必修第二册

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§7　导数的应用7．1　实际问题中导数的意义7．2　实际问题中的最值问题[教材要点]要点一　导数的实际意义在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量．以中学物理为例，速度是________关于________的导数，线密度是________关于________的导数，功率是________关于________的导数等．要点二　最优化问题在实际问题中，经常会遇到解决一些如面积最小、体积最大、成本最低、时间最少等问题，这些问题通称为最优化问题．导数是解决最优化问题的一个重要工具．[基础自测]1．如果物体做直线运动的方程为s(t)＝2(1－t)2，则其在t＝4 s时的瞬时速度为(　　)A．12 B．－12C．4 D．－42．将8分为两数之和，使其立方之和为最小，则分法为(　　)A．2和6 B．4和4C．3和5 D．以上都不对3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为(　　)A． B．C． D．4．某吊装设备在工作时做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可表示为W(t)＝t3－2t＋6，则在t＝2时此设备的功率为________ W．题型一　导数在实际问题中的意义例1　如图所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功W(单位：J)是时间t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为W(t)＝t3－6t2＋16t.(1)求t从1 s变到3 s时，功W关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义；(2)求W′(1)，W′(2)，并解释它们的实际意义．方法归纳函数在某处的导数的实际意义1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率．2．导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义．跟踪训练1　已知某商品生产成本c与产量q(0ln 2－1且x>0时，ex>x2－2ax＋1.构造函数g(x)＝ex－x2＋2ax－1.方法归纳关于证明问题首先分析要证明的命题是否与函数的最值、单调性等性质有关，如果有关则转化为相应的问题证明；其次是针对要证明的命题构造函数，再通过构造的函数性质证明，函数的证明问题往往都比较复杂，需要综合应用函数、导数等知识进行构造、转化等方式证明．角度2　函数的零点问题例4　若函数f(x)＝ex－ax2，a∈R在(0，＋∞)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．方法归纳已知函数零点个数求参数的常用方法(1)分离参数法：首先分离出参数，然后利用求导的方法求出构造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分类讨论法：结合单调性，先确定参数分类的标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各小范围并在一起，即为所求参数范围．跟踪训练3　(1)若函数f(x)＝ln x＋－a有且只有一个零点，则实数a的值为________．(2)已知函数f(x)＝ex－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在(0，1)处的切线斜率为－1.①求a的值及函数f(x)的极值；②证明：当x>0时，x20.所以当x＝4时，y最小．故选B.答案：B3．解析：设圆锥的高为x cm，体积为V(x)，则底面半径为 cm，V(x)＝πx(202－x2)(00；当0，f(x)在区间(36，720)内为增函数，所以f(x)在x＝36处取得最小值，此时n＝－1＝19，即需要新建19个增压站才能使y最小．跟踪训练2　解析：(1)设投入广告费t(百万元)后由此增加的收益为f(t)(百万元)，则f(t)＝－t2＋5t－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)．所以当t＝2时，f(t)max＝4，即当商场投入两百万元广告费时，才能使商场由广告费而产生的收益最大．(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，则用于广告促销的费用为(3－x)(百万元)，则由此两项所增加的收益为g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝＋4x＋3.对g(x)求导，得g′(x)＝－x2＋4，令g′(x)＝－x2＋4＝0，得x＝2或x＝－2(舍去)．当00，即g(x)在[0，2)上单调递增；当2ln 2－1时，g′(x)最小值为g′(ln 2)＝2(1－ln 2＋a)>0.于是对任意x∈R，都有g′(x)>0，所以g(x)在R内单调递增．于是当a>ln 2－1时，对任意x∈(0，＋∞)，都有g(x)>g(0)．又g(0)＝0，从而对任意x∈(0，＋∞)，g(x)>0.即ex－x2＋2ax－1>0，故ex>x2－2ax＋1.例4　解析：由f(x)＝0可得＝，令k(x)＝(x∈(0，＋∞))，则函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，即直线y＝与函数k(x)的图象在(0，＋∞)上有两个不同的交点，k′(x)＝＝，令k′(x)＝0得x＝2，当x∈(0，2)时，k′(x)>0，当x∈(2，＋∞)时，k′(x)<0，所以k(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，所以k(x)在(0，＋∞)上的最大值为k(2)＝，因为k(0)＝0，并且当x>2时，>0，所以当0<<时，k(x)在(0，＋∞)上的图象与直线y＝有两个不同的交点，即当a>时，函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点．所以，若函数f(x)在(0，＋∞)上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是.跟踪训练3　解析：(1)由f(x)＝ln x＋－a，(0ln 2时，f′(x)>0，f(x)在(ln 2，＋∞)上单调递增．所以当x＝ln 2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(ln 2)＝eln 2－2ln 2＝2－2ln 2，f(x)无极大值．②证明：令g(x)＝ex－x2，则g′(x)＝ex－2x.由①得g′(x)＝f(x)≥f(ln 2)>0，故g(x)在R上单调递增．所以当x>0时，g(x)>g(0)＝1>0，即x20，函数在(－1，1)上单调递增；当x>1时，y′<0，函数在(1，＋∞)上单调递减；故当x＝－1时，函数取得极小值y＝－2；当x＝1时，函数取得极大值y＝2；作出函数图象，如图所示，由图可知，实数m的取值范围是(－∞，－2)故选B.答案：B4．解析：设销售利润为g(x)，依题意可得，g(x)＝－x3＋x2＋x－1－x＝－x3＋x2－1，x∈(0，8)，g′(x)＝－x2＋x＝－x(x－6)，当x∈(0，6)时，g′(x)>0，当x∈(6，8)时，g′(x)<0，所以g(x)在(0，6)单调递增，在(6，8)单调递减，所以x＝6时，g(x)取得极大值，也是最大值，所以当公司每月生产6百台时，获得利润最大．答案：65．解析：(1)函数f(x)＝ln x－x＋1的导数f′(x)＝－1，由f′(x)>0，可得01，即有f(x)的增区间为(0，1)，减区间为(1，＋∞)．(2)当x∈(1，＋∞)时，由(1)可得f(x)＝ln x－x＋1在(1，＋∞)递减，可得f(x)