第二章 再练一课(范围：§1～§7)学案

再练一课(范围：§1～§7)

一、单项选择题

1．已知函数f(x)在x＝x0处的导数为12，则等于(　　)

A．－4  B．4  C．－36  D．36

答案　A

解析　根据题意知，函数f(x)在x＝x0处的导数为12，

则

＝－＝－＝－4.

2．下列导数运算正确的是(　　)

A.′＝1＋   B．(2x)′＝x2x－1

C．(cos x)′＝sin x   D．(xln x)′＝ln x＋1

答案　D

解析　根据导数的运算公式可得′＝1－，故A错误；(2x)′＝2xln 2，故B错误；(cos x)′＝－sin x，故C错误；(xln x)′＝ln x＋1，故D正确．

3．已知函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f′(1)的值等于(　　)

A．1  B.  C．3  D．0

答案　C

解析　由已知得点M(1，f(1))在切线上，所以f(1)＝＋2＝，

切点处的导数为切线斜率，所以f′(1)＝，

所以f(1)＋f′(1)＝3.

4．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)

A．2  B．3  C．6  D．9

答案　D

解析　f′(x)＝12x2－2ax－2b，

∵f(x)在x＝1处有极值，

∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，

∴a＋b＝6.又a>0，b>0，∴a＋b≥2，

∴2≤6，∴ab≤9.

5．对二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a为非零整数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是(　　)

A．－1是f(x)的零点

B．1是f(x)的极值点

C．3是f(x)的极值

D．点(2,8)在曲线y＝f(x)上

答案　A

解析　由A知a－b＋c＝0；由B知f′(x)＝2ax＋b,2a＋b＝0；由C知f′(x)＝2ax＋b，令f′(x)＝0，可得x＝－，则f ＝3，则＝3；

由D知4a＋2b＋c＝8，假设A选项错误，则解得满足题意，故A结论错误，同理易知当B或C或D选项错误时不符合题意，故选A.

6．若函数f(x)＝x3－3x2＋a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为(　　)

A．(－∞，0)∪(4，＋∞)   B．(－∞，－8)∪(0，＋∞)

C．[0,4]   D．(－8,0)

答案　A

解析　由题意知f′(x)＝3x2－6x，

∴当f′(x)>0时，3x2－6x>0，得x<0或x>2；

当f′(x)<0时，3x2－6x<0，得0<x<2.

∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0,2)上单调递减，

在(2，＋∞)上单调递增，

当x＝0时，有极大值f(0)＝a，当x＝2时，有极小值f(2)＝a－4，

∴只有当f(0)＝a<0或f(2)＝a－4>0时，函数f(x)有且仅有一个零点，

∴a<0或a>4.

二、多项选择题

7．将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是(　　)

答案　ABD

解析　对于A选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，f′(0)＝0，但函数y＝f(x)在x＝0处的切线斜率不存在，不符合题意；

对于B选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)存在单调递增区间，但B选项的图象中，函数y＝f(x)没有单调递增区间，不符合题意；

对于C选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)在R上为增函数，符合题意；

对于D选项，由函数y＝f′(x)的图象可知，函数y＝f(x)有两个单调区间，但D选项的图中，函数y＝f(x)有三个单调区间，不符合题意．

8．定义在区间上的函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)在区间(0,4)上单调递增

B．函数f(x)在区间上单调递减

C．函数f(x)在x＝1处取得极大值

D．函数f(x)在x＝0处取得极小值

答案　ABD

解析　根据导函数图象可知，f(x)在区间上，f′(x)<0，f(x)单调递减，在区间(0,4)上，f′(x)>0，f(x)单调递增，所以f(x)在x＝0处取得极小值，没有极大值，所以A，B，D选项正确，C选项错误．

三、填空题

9．已知曲线y＝x2－3ln x的一条切线的斜率为－1，则该切线的方程为________．

答案　x＋y－2＝0

解析　设切点为(x0，y0)，

∵y′＝2x－，∴2x0－＝－1，解得x0＝－(舍去)或x0＝1，∴y0＝1，

故切线方程为y－1＝－1×(x－1)，即x＋y－2＝0.

10．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________．

答案　(－3,0)∪(0，＋∞)

解析　因为f(x)＝ax3＋3x2－x，所以f′(x)＝3ax2＋6x－1，

若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，

则f′(x)有两个不同的零点，

即3ax2＋6x－1＝0有两个不同的根，

所以解得a>－3且a≠0.

11．当x∈[－1,2]时，x3－x2－x＜m恒成立，则实数m的取值范围是________．

答案　(2，＋∞)

解析　令f(x)＝x3－x2－x，

则f′(x)＝3x2－2x－1.

令f′(x)＝0，得x＝－或x＝1.

又因为f ＝，f(2)＝2，f(－1)＝－1，f(1)＝－1，

所以当x∈[－1,2]时，f(x)max＝2，

所以m＞2.

12．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f′(x)·x<f(x)，f(3)＝0，则>0的解集为________．

答案　(0,3)

解析　设g(x)＝，因为f′(x)·x<f(x)，

所以g′(x)＝<0，

所以g(x)在(0，＋∞)上单调递减，

又f(3)＝0，所以g(3)＝0，

则>0，即g(x)>0＝g(3)，

所以0<x<3.

即>0的解集为(0,3)．

四、解答题

13．已知函数f(x)＝ln x－＋(a∈R)．

(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)在[1，＋∞)内单调递增，求实数a的取值范围．

解　f(x)的定义域为(0，＋∞)．

f′(x)＝＋－＝.

(1)若a＝1，则f′(x)＝＝，

令f′(x)＝0，得x＝1(x＝－2舍去)，

当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，

所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．

(2)由于f(x)在[1，＋∞)内单调递增，

所以f′(x)＝≥0在[1，＋∞)上恒成立，

即x2＋ax－2a≥0在[1，＋∞)上恒成立．

令g(x)＝x2＋ax－2a，

当－≤1，即a≥－2时，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，

g(x)min＝g(1)＝1－a，

因此1－a≥0，所以－2≤a≤1；

当－>1，即a<－2时，

g(x)min＝g＝－－2a，

因此－－2a≥0，所以－8≤a<－2.

综上可得，实数a的取值范围是[－8,1]．

14．某公司为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤3)．

(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得的收益最大？

(2)现该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造．经预测，每投入技术改造费x(百万元)，可增加的销售额为－x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方案，使该公司由此获得的收益最大．

解　(1)设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t

＝－(t－2)2＋4(0≤t≤3)，

所以当t＝2时，f(t)取得最大值4，

即投入2百万元的广告费时，该公司获得的收益最大．

(2)设用于技术改造的资金为x(百万元)，

则用于广告促销的资金为(3－x)(百万元)．

由此获得的收益是g(x)(百万元)，

则g(x)＝－x3＋x2＋3x＋[－(3－x)2＋5(3－x)]－3＝－x3＋4x＋3(0≤x≤3)，所以g′(x)＝－x2＋4.

令g′(x)＝0，解得x＝－2(舍去)或x＝2.

又当0≤x<2时，g′(x)>0；当2<x≤3时，g′(x)<0.

故g(x)在[0,2)上单调递增，在(2,3]上单调递减，

所以当x＝2时，g(x)取得极大值，也是最大值，即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，可使该公司获得的收益最大．

15．已知函数f(x)＝.

(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；

(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.

(1)解　f′(x)＝，f′(0)＝2.

因此曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程是

2x－y－1＝0.

(2)证明　当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.

令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.

当x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x>－1时，

g′(x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)≥g(－1)＝0.

因此f(x)＋e≥0.