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人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理课时作业
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这是一份人教A版 (2019)1.2 空间向量基本定理课时作业，共37页。
考点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
考点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
考点三 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
考点三 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
知识点三 求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
【题型归纳】
题型一：空间向量基底概念
1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
2．（2021·云南师大附中高二期中）已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：空间基底表示向量
4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体中，，点在上，且为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）如图，在四面体OABC中，，，，点在线段上，且，为的中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
题型三：空间向量基本定理判断共面
7．（2022·全国·高二）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·全国·高二）对空间任一点O和不共线三点A､B､C，能得到P､A､B､C四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．以上都错
9．（2022·全国·高二）下列向量关系式中，能确定空间四点P，Q，R，S共面的是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：空间向量共面求参数
10．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（ ）
A．－1B．0C．1D．－6
11．（2022·江苏·高二课时练习）已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（ ）．
A．B．1
C．D．2
12．（2021·山东省实验中学高二期中）已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：空间向量基本定理的应用
13．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数使得，且，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．
14．（2022·安徽蚌埠·高二期末）在下列命题中正确的是（ ）
A．已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
B．若所在的直线是异面直线，则不共面
C．若三个向量两两共面，则共面
D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面
15．（2021·吉林·长春市第二十九中学高二）已知、、三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与、、一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
题型六：空间向量基本定理
16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知是平行六面体．
(1)化简；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．
17．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）如图，已知正方体.点是上底面的中心，取 为一个基底，在下列条件下，分别求的值.
(1);
(2).
【双基达标】
一、单选题
18．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
19．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A．B．=
C．=D．=
20．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
21．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
A．，，共线B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．与共线D．O，A，B，C四点共面
22．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知是所在平面外一点，是中点，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
23．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1B．2C．3D．4
25．（2022·广东深圳·高二期末）如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体中，已知BA，BC，为三条不共面的线段，若，则的值为（ ）．
A．1B．C．D．
27．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（ ）．
A．2B．C．1D．0
【高分突破】
一：单选题
28．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（ ）
①若与共线，与共线，则与共线；
②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；
⑧若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得；
④若，不共线，向量，则可以构成空间的一个基底.
A．0B．1C．2D．3
29．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1B．C．D．
30．（2022·安徽芜湖·高二期末）下列命题中正确的个数为（ ）
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底；
③为空间一组基底，若，则；
④对于任意非零空间向量，，若，则．
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
31．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A．B．
C．A，P，三点共线D．A，P，M，D四点共面
32．（2022·河北邯郸·高二期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D．，，一定能构成空间的一个基底
33．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．任意向量，，满足
34．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ）
A．，B．，C．，D．，
35．（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若，是两个不共线的向量，且，且，则，，构成空间的一个基底
D．若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面
36．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）已知是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．存在不全为零的实数，，，使得
B．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得
C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．不存在另一个基底，使得
37．（2021·重庆·高二阶段练习）下列命题中，正确的有（ ）
A．空间任意向量都是共面向量
B．已知，，，四点共面，对空间任意一点，若，则
C．在四面体中，若，，则
D．若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底
38．（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
39．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则______．（用、、表示）
40．（2022·江苏常州·高二期中）已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.
41．（2022·全国·高二）已知是平面上的两个向量，有以下命题：
①平面上任意一个向量；
②若存在，使，则；
③若不共线，则空间任意一个向量；
④若不共线，且与共面，则都有.
请填上所有真命题的序号___________.
42．（2022·广东珠海·高二期末）已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.
43．（2021·福建·三明一中高二）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）
44．（2022·全国·高二期末）已知三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于_____________．
45．（2022·全国·高二）已知关于向量的命题，
（1）是，共线的充分不必要条件；
（2）若，则存在唯一的实数，使；
（3），，则；
（4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；
（5）．
在以上命题中，所有正确命题的序号是________．
四、解答题
46．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二）如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
47．（2022·全国·高二）如图，在平行六面体中，，．
(1)求证：、、三点共线；
(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．
48．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
49．（2021·山东济宁·高二期中）已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．
(1)求；
(2)求．
【答案详解】
1．C
【详解】
对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；
对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；
对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.
故选：C
2．C
【详解】
由图形结合分析
三个向量共面，不构成基底，
故选：C
3．C
选项A：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；
选项B：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；
选项C：若三个向量共面，则存在，使得，则向量共面，矛盾，故三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；
选项D：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；
故选：C
4．A
【详解】
连接
.
故选：A
5．B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
【详解】
解：点在线段上，且，为中点，
，，
．
故选：B．
6．D
【解析】
【分析】
利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式.
【详解】
.
故选：D.
7．D
【解析】
【分析】
根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.
【详解】
设，
若点与点共面，
则，
对于选项A：，不满足题意；
对于选项B：，不满足题意；
对于选项C：，不满足题意；
对于选项D：，满足题意.
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
证明出若且，则、、、四点共面，进而可得出合适的选项.
【详解】
设且，
则，，
则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.
对于A选项，，，、、、四点不共面；
对于B选项，，，、、、四点共面；
对于C选项，，，、、、四点不共面.
故选：B.
9．D
【解析】
【分析】
由，得，即得解.
【详解】
由，得，
即，所以，为共面向量，
故四点共面.
故选：.
10．D
【解析】
【分析】
根据向量共面列方程，化简求得.
【详解】
，所以不共线，
由于，，共面，
所以存在，使，
即，
，
，
，，
即.
故选：D
11．B
【解析】
【分析】
根据已知条件用，，表示，，再由空间共面向量定理设，再列方程组，解方程组即可求解.
【详解】
因为，，
所以 ，，
由空间共面向量定理可知，存在实数满足，
即，
所以，解得，所以的值为，
故选：B.
12．B
【解析】
【分析】
由四点共面的充要可得，求解即可.
【详解】
O是平面外任意一点，且，
若A，B，C，M四点共面的充要条件是，即.
故选：B.
13．A
【解析】
【分析】
根据向量的共面定理，得到，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，存在非零实数使得，可得，即四点共面，
因为，
根据向量的共面定量，可得，即，
又由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
对于A，利用空间向量基本定理判断，对于B，利用向量的定义判断，对于C，举例判断，对于D，共面向量定理判断
【详解】
对于A，若三个向量共面，在平面，则空间中不在平面的向量不能用表示，所以A错误，
对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误，
对于C，当三个向量两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，
对于D，因为A，B，C三点不共线，，且，所以A，B，C，D四点共面，所以D 正确，
故选：D
15．B
【解析】
【分析】
证明出当，且，则点、、、共面.然后逐项验证可得合适的选项.
【详解】
若，且，
则，则，
即，所以，点、、、共面.
对于A选项，，A选项中的点、、、不共面；
对于B选项，，B选项中的点、、、共面；
对于C选项，，C选项中的点、、、不共面；
对于D选项，，D选项中的点、、、不共面.
故选：B.
16．(1)；
(2)，，.
【解析】
【分析】
（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；
（2）利用向量线性运算的几何表示可得，进而即得.
(1)
∵是平行六面体，
∴
(2)
∵
，
又，
∴，，.
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解；
（2）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解；
(1)
解：，
，
又因为，
所以;
(2)
，
，
，
，
又因为，
所以.
18．D
【解析】
【分析】
根据四点共面结论：若四点共面，则且，
【详解】
若，，，四点共面，则，则
故选：D．
19．B
【解析】
【分析】
利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】
连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是的重心，可得，
则
则
故选：B
20．D
【解析】
【分析】
利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】
连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是的重心，可得，
则
则
故选：D
21．D
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理即可判断
【详解】
由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面
故选：D
22．A
【解析】
【分析】
利用向量减法的三角形法则进行计算即可.
【详解】
因为M是PC中点，
，又，
，
∴.
故选：A.
23．B
【解析】
【分析】
利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解
【详解】
因为为中点，
所以
所以
即
故选：B
24．C
【解析】
【分析】
以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．
【详解】
如图，作平行六面体，，，，
则，，，，
由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作为空间的基底的有3组．
故选：C．
25．D
【解析】
【分析】
根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.
【详解】
，
故选：D．
26．B
【解析】
【分析】
根据向量的加法法则及共面向量的基本定理即可求解.
【详解】
根据向量的加法法则可得
，
又，且不共面，
所以，解得，
所以.
故选：B.
27．D
【解析】
【分析】
根据与共线，由，即可求解.
【详解】
因为与共线，空间的一组基底，
所以，
所以
解得，
所以x＋y＝0.
故选：D.
28．B
【解析】
【分析】
用向量共线或共面的基本定理即可判断.
【详解】
若 与 ， 与共线， ，则不能判定 ，
故①错误；
若非零向量共面，则向量 可以在一个与 组成的平面平行的平面上，
故②错误；
不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，
故③正确；
，∴ 与 共面，故 不能组成一个基底，
故④错误；
故选：C.
29．C
【解析】
【分析】
连接，由，即可求出答案.
【详解】
连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故选：C.
30．C
【解析】
【分析】
根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④.
【详解】
①：向量与空间任意向量都不能构成一个基底，则与共线或与其中有一个为零向量，所以，故①正确；
②：由向量是空间一组基底，则空间中任意一个向量，存在唯一的实数组使得，
所以也是空间一组基底，故②正确；
③：由为空间一组基底，若，
则，所以，故③正确；
④：对于任意非零空间向量，，若，
则存在一个实数使得，有，
又中可以有为0的，分式没有意义，故④错误.
故选：C
31．BD
【解析】
【分析】
根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性.
【详解】
，A选项错误.
，B选项正确.
则是的中点，
，
，
则不存在实数使，所以C选项错误.
，
由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.
故选：BD
32．ABD
【解析】
【分析】
利用空间向量的基底的概念及空间向量基本定理逐项分析即得.
【详解】
∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线，
∴若，则，A正确，B正确；
若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；
设，则，此方程组无解，
∴，，不共面，D正确.
故选：ABD.
33．ABC
【解析】
【分析】
空间向量垂直的数量积表示可判断A；由向量四点共面的条件可判断B；由空间向量基底的定义可判断C； 是一个数值，也是一个数值，说明和存在倍数关系，或者说共线，可判断D.
【详解】
空间向量，，若，则，故A正确；
对空间中任意一点O，有，
且，则P、A、B、C四点共面，故B正确；
因为是空间的一组基底，所以不共面，，则也不共面，
即也是空间的一组基底，故C正确；
任意向量，，满足，由于是一个数值，也是一个数值，
则说明和存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D错误.
故选：ABC.
34．CD
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】
因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，
所以由平面向量基本定理可知：
，
化简得：，显然有，
而，所以有，
当，时，，所以选项A不可能；
当，时，，所以选项B不可能；
当，时，，所以选项C可能；
当，时，，所以选项D可能，
故选：CD
35．ABD
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误．
【详解】
解：对于选项A：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A正确，
对于选项B：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，
若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，
则已知的两个向量共线，所以选项B正确，
对于选项C：、且、，，，共面，不能构成基底，所以选项C错误，
对于选项D：、、共起点，若、、、四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D正确，
故选：ABD．
36．BC
【解析】
【分析】
根据空间向量基底概念分别判断即可．
【详解】
对于A，若存在不全为零的实数，，，使得，
，，不能构成空间的一个基底，所以A错；
对于B，因为，，构成空间的一个基底，所以对空间任一向量，
总存在唯一的有序实数组，，，使得，所以B对；
对于C，因为，，
所以，，不能与，构成空间另一个基底；
又因为设，，若
，
所以与，构成空间另一个基底；
所以在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有，所以C对；
对于D，存在，根据向量运算几何意义，
表示以为顶点，以，，为相邻三边的长方体对角线，
绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底，，，
都满足，所以D错误．
故选：BC
37．ACD
【解析】
【分析】
利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．
【详解】
解：对于，空间任意向量都是共面向量，所以A正确
对于B，已知，，，四点共面，对空间任意一点，若
则，解得，所以B错误
对于C，在四面体中，若，，
则
，所以C正确
对于D，因为向量是空间一组基底，则对于空间任一向量，都存在实数，，，
使得，
即，所以也是空间的一组基底，所以D正确．
故选：ACD．
38．AC
【解析】
【分析】
根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M、A、B、C是否共面，即可知是否能成为空间基底.
【详解】
A：因为，且，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；
B：因为，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能构成一个空间基底；
C：由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；
D：由，根据平面向量的基本定理知：向量共面，不能构成空间的一个基底.
故选：AC.
39．
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.
【详解】
根据题意，
.
故答案为：.
40．
【解析】
【分析】
由可得出关于的表达式，再利用空间向量的减法可求得、、的值，即可得解.
【详解】
因为，则，
所以，，
所以，，，，因此，.
故答案为：.
41．④
【解析】
【分析】
通过反例可知①②错误；根据平面向量基本定理、空间向量基本定理可判断出③④正误.
【详解】
对于①，若，则对于平面内任意一个向量，无法得到，①错误；
对于②，若，则为任意实数，②错误；
对于③，若与不共面，则对于空间任意一个向量，无法得到，③错误；
对于④，由平面向量基本定理可知④正确.
故答案为：④.
42．
【解析】
【分析】
连接，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.
【详解】
解：连接
∵四面体中，，分别在，上，且，
∴
∴
∴.
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.
【详解】
，而M是四面体OABC的棱BC的中点，则，
因AP＝3PN，，则，
所以.
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
根据给定条件利用空间向量的线性运算即可得解.
【详解】
三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，
则，
所以等于．
故答案为：.
45．（1）（4）
【解析】
【分析】
根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解．
【详解】
（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；
（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；
（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；
（4）令，则，所以，无解，即，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；
（5），即（5）错误．
命题（1）（4）正确．
故答案为：（1）（4）．
46．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；
(1)
解：，
，
又
(2)
解：由（1）可得知
47．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论；
（2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论；
(1)
由题意，，，
故
,
,
故，由于有公共点A，
故A、、三点共线；
(2)
由题意，点是平行四边形的中心，
故
，
故 ,因为有公共点D，
故、、三点共线．
48．(1)
(2)①②③
【解析】
【分析】
（1）连接由 可得答案；
（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；
③对两边平代入已知再开方可得答案.
(1)
连接，因为N是棱BC的中点，所以，因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以
.
(2)
选①，
因为，，所以
，所以；
选②，
因为，，所以
，所以；
③，
因为，，所以
，所以.
49．(1)3
(2)
(1)
设，，，
由题意得：，，，，，，
；
(2)
考点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
考点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．
考点三 证明平行、共线、共面问题
(1) 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.
考点三 求夹角、证明垂直问题
(1)θ为a，b的夹角，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|).
(2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0.
知识点三 求距离(长度)问题
eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(a))＝eq \r(a·a)( eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AB,\s\up6(→))))＝eq \r(\(AB,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))) )．
【题型归纳】
题型一：空间向量基底概念
1．（2021·广东·广州市海珠中学高二期中）下列说法正确的是（ ）
A．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底
B．空间的基底有且仅有一个
C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
D．直线的方向向量有且仅有一个
2．（2021·云南师大附中高二期中）已知能构成空间的一个基底，则下面的各组向量中，不能构成空间基底的是（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·湖南·周南中学高二）设向量不共面，则下列可作为空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
题型二：空间基底表示向量
4．（2022·四川·成都外国语学校高二阶段练习（理））如图，在三棱锥中，设，若，则=（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·江苏常州·高二期中）在四面体中，，点在上，且为中点，则（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·湖北·武汉市第十九中学高二期末）如图，在四面体OABC中，，，，点在线段上，且，为的中点，则等于（ ）
A．B．
C．D．
题型三：空间向量基本定理判断共面
7．（2022·全国·高二）已知，，三点不共线，为平面外一点，下列条件中能确定，，，四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2022·全国·高二）对空间任一点O和不共线三点A､B､C，能得到P､A､B､C四点共面的是（ ）
A．B．
C．D．以上都错
9．（2022·全国·高二）下列向量关系式中，能确定空间四点P，Q，R，S共面的是（ ）
A．B．
C．D．
题型四：空间向量共面求参数
10．（2022·江西·临川一中高二期末（理））已知空间向量，，，若，，共面，则m＋2t＝（ ）
A．－1B．0C．1D．－6
11．（2022·江苏·高二课时练习）已知，，是三个不共面的向量，，，，且，，，四点共面，则的值为（ ）．
A．B．1
C．D．2
12．（2021·山东省实验中学高二期中）已知A，B，C三点不共线，O是平面外任意一点，若，则A，B，C，M四点共面的充要条件是（ ）
A．B．
C．D．
题型五：空间向量基本定理的应用
13．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））已知存在非零实数使得，且，则的最小值为（ ）
A．B．8C．D．
14．（2022·安徽蚌埠·高二期末）在下列命题中正确的是（ ）
A．已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为
B．若所在的直线是异面直线，则不共面
C．若三个向量两两共面，则共面
D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面
15．（2021·吉林·长春市第二十九中学高二）已知、、三点不共线，点是平面外一点，则在下列各条件中，能得到点与、、一定共面的是（ ）
A．B．
C．D．
题型六：空间向量基本定理
16．（2022·全国·高二课时练习）如图所示，已知是平行六面体．
(1)化简；
(2)设是底面的中心，是侧面对角线上的分点，设，试求，，的值．
17．（2021·河北·石家庄市第六中学高二期中）如图，已知正方体.点是上底面的中心，取 为一个基底，在下列条件下，分别求的值.
(1);
(2).
【双基达标】
一、单选题
18．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
19．（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A．B．=
C．=D．=
20．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（ ）
A．B．
C．D．
21．（2022·四川省绵阳南山中学高二期中（理））已知O，A，B，C为空间四点，且向量，，不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
A．，，共线B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．与共线D．O，A，B，C四点共面
22．（2022·江苏宿迁·高二期中）已知是所在平面外一点，是中点，且，则（ ）
A．0B．1C．2D．3
23．（2022·福建龙岩·高二期中）在平行六面体中，点是线段的中点，，设，，，则（ ）
A．B．C．D．
24．（2022·全国·高二课时练习）设，，，且是空间的一个基底，给出下列向量组：①；②；③；④，则其中可以作为空间的基底的向量组有（ ）
A．1B．2C．3D．4
25．（2022·广东深圳·高二期末）如图，在三棱柱中，E，F分别是BC，的中点，，则（ ）
A．B．C．D．
26．（2022·全国·高二课时练习）在平行六面体中，已知BA，BC，为三条不共面的线段，若，则的值为（ ）．
A．1B．C．D．
27．（2022·四川省内江市第六中学高二阶段练习（理））已知空间的一组基底，若与共线，则的值为（ ）．
A．2B．C．1D．0
【高分突破】
一：单选题
28．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二期末）已知空间向量，，，下列命题中正确的个数是（ ）
①若与共线，与共线，则与共线；
②若，，非零且共面，则它们所在的直线共面；
⑧若，，不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一有序实数组，使得；
④若，不共线，向量，则可以构成空间的一个基底.
A．0B．1C．2D．3
29．（2022·江苏省阜宁中学高二期中）《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵中，分别是的中点，是的中点，若，则（ ）
A．1B．C．D．
30．（2022·安徽芜湖·高二期末）下列命题中正确的个数为（ ）
①若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
②若向量，，是空间一组基底，则，，也是空间的一组基底；
③为空间一组基底，若，则；
④对于任意非零空间向量，，若，则．
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
31．（2022·福建福州·高二期中）如图，在平行六面体中，，，．若，，则（ ）
A．B．
C．A，P，三点共线D．A，P，M，D四点共面
32．（2022·河北邯郸·高二期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D．，，一定能构成空间的一个基底
33．（2022·广东惠州·高二期末）下面四个结论正确的是（ ）
A．空间向量，，若，则
B．若对空间中任意一点O，有，则P、A、B、C四点共面
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．任意向量，，满足
34．（2021·浙江·金华市曙光学校高二阶段练习）已知点为三棱锥的底面所在平面内的一点，且（，），则，的值可能为（ ）
A．，B．，C．，D．，
35．（2021·湖南·郴州市第三中学高二期中）下列结论正确的是（ ）
A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面
B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
C．若，是两个不共线的向量，且，且，则，，构成空间的一个基底
D．若，，不能构成空间的一个基底，则，，，四点共面
36．（2021·浙江省杭州第二中学高二期中）已知是空间中的一个基底，则下列说法正确的是（ ）
A．存在不全为零的实数，，，使得
B．对空间任一向量，存在唯一的有序实数组，使得
C．在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有
D．不存在另一个基底，使得
37．（2021·重庆·高二阶段练习）下列命题中，正确的有（ ）
A．空间任意向量都是共面向量
B．已知，，，四点共面，对空间任意一点，若，则
C．在四面体中，若，，则
D．若向量是空间一组基底，则也是空间的一组基底
38．（2022·湖南省临湘市教研室高二期末）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使成为空间的一个基底的是（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
39．（2022·全国·高二课时练习）如图，在三棱柱中，M为的中点，若，，，则______．（用、、表示）
40．（2022·江苏常州·高二期中）已知是所在平面外一点，，且，则实数的值为____________.
41．（2022·全国·高二）已知是平面上的两个向量，有以下命题：
①平面上任意一个向量；
②若存在，使，则；
③若不共线，则空间任意一个向量；
④若不共线，且与共面，则都有.
请填上所有真命题的序号___________.
42．（2022·广东珠海·高二期末）已知四面体中，，分别在，上，且，，若，则________.
43．（2021·福建·三明一中高二）如图所示，M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段AN上，且AP＝3PN，，设，，则________（用来表示）
44．（2022·全国·高二期末）已知三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且，，，用，，表示，则等于_____________．
45．（2022·全国·高二）已知关于向量的命题，
（1）是，共线的充分不必要条件；
（2）若，则存在唯一的实数，使；
（3），，则；
（4）若为空间的一个基底，则构成空间的另一基底；
（5）．
在以上命题中，所有正确命题的序号是________．
四、解答题
46．（2022·江苏·徐州市王杰中学高二）如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．
(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
47．（2022·全国·高二）如图，在平行六面体中，，．
(1)求证：、、三点共线；
(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．
48．（2022·江苏·扬州中学高二阶段练习）如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近A的三等分点，N是棱BC的中点，P是线段MN的中点．设，，．
(1)用，，表示向量；
(2)若，且满足 （从下列三个条件中任选一个，填上序号：①；②；③，则可求出的值；并求出的大小．
49．（2021·山东济宁·高二期中）已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，，．
(1)求；
(2)求．
【答案详解】
1．C
【详解】
对于A，任何三个不共面的向量都可构成空间的一个基底，所以A错误，B错误；
对于C，两两垂直的三个非零向量不共面，可构成空间的一个基底，C正确；
对于D，直线的方向向量有无数个，所以D错误.
故选：C
2．C
【详解】
由图形结合分析
三个向量共面，不构成基底，
故选：C
3．C
选项A：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；
选项B：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；
选项C：若三个向量共面，则存在，使得，则向量共面，矛盾，故三个向量不共面，因此可以作为空间的一个基底；
选项D：由于，三个向量共面，故不能作为空间的一个基底；
故选：C
4．A
【详解】
连接
.
故选：A
5．B
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，空间向量基本定理求解即可．
【详解】
解：点在线段上，且，为中点，
，，
．
故选：B．
6．D
【解析】
【分析】
利用空间向量的加法与减法可得出关于、、的表达式.
【详解】
.
故选：D.
7．D
【解析】
【分析】
根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.
【详解】
设，
若点与点共面，
则，
对于选项A：，不满足题意；
对于选项B：，不满足题意；
对于选项C：，不满足题意；
对于选项D：，满足题意.
故选：D.
8．B
【解析】
【分析】
证明出若且，则、、、四点共面，进而可得出合适的选项.
【详解】
设且，
则，，
则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.
对于A选项，，，、、、四点不共面；
对于B选项，，，、、、四点共面；
对于C选项，，，、、、四点不共面.
故选：B.
9．D
【解析】
【分析】
由，得，即得解.
【详解】
由，得，
即，所以，为共面向量，
故四点共面.
故选：.
10．D
【解析】
【分析】
根据向量共面列方程，化简求得.
【详解】
，所以不共线，
由于，，共面，
所以存在，使，
即，
，
，
，，
即.
故选：D
11．B
【解析】
【分析】
根据已知条件用，，表示，，再由空间共面向量定理设，再列方程组，解方程组即可求解.
【详解】
因为，，
所以 ，，
由空间共面向量定理可知，存在实数满足，
即，
所以，解得，所以的值为，
故选：B.
12．B
【解析】
【分析】
由四点共面的充要可得，求解即可.
【详解】
O是平面外任意一点，且，
若A，B，C，M四点共面的充要条件是，即.
故选：B.
13．A
【解析】
【分析】
根据向量的共面定理，得到，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，存在非零实数使得，可得，即四点共面，
因为，
根据向量的共面定量，可得，即，
又由，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：A.
14．D
【解析】
【分析】
对于A，利用空间向量基本定理判断，对于B，利用向量的定义判断，对于C，举例判断，对于D，共面向量定理判断
【详解】
对于A，若三个向量共面，在平面，则空间中不在平面的向量不能用表示，所以A错误，
对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误，
对于C，当三个向量两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误，
对于D，因为A，B，C三点不共线，，且，所以A，B，C，D四点共面，所以D 正确，
故选：D
15．B
【解析】
【分析】
证明出当，且，则点、、、共面.然后逐项验证可得合适的选项.
【详解】
若，且，
则，则，
即，所以，点、、、共面.
对于A选项，，A选项中的点、、、不共面；
对于B选项，，B选项中的点、、、共面；
对于C选项，，C选项中的点、、、不共面；
对于D选项，，D选项中的点、、、不共面.
故选：B.
16．(1)；
(2)，，.
【解析】
【分析】
（1）利用平行六面体的性质及向量的线性运算即得；
（2）利用向量线性运算的几何表示可得，进而即得.
(1)
∵是平行六面体，
∴
(2)
∵
，
又，
∴，，.
17．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解；
（2）利用空间向量的加法运算，结合相等向量，由空间向量的基本定理求解；
(1)
解：，
，
又因为，
所以;
(2)
，
，
，
，
又因为，
所以.
18．D
【解析】
【分析】
根据四点共面结论：若四点共面，则且，
【详解】
若，，，四点共面，则，则
故选：D．
19．B
【解析】
【分析】
利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】
连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是的重心，可得，
则
则
故选：B
20．D
【解析】
【分析】
利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】
连接AG并延长交BC于N，连接ON，
由G是的重心，可得，
则
则
故选：D
21．D
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理即可判断
【详解】
由于向量，，不能构成空间的一个基底知，，共面，所以O，A，B，C四点共面
故选：D
22．A
【解析】
【分析】
利用向量减法的三角形法则进行计算即可.
【详解】
因为M是PC中点，
，又，
，
∴.
故选：A.
23．B
【解析】
【分析】
利用向量加法的平行四边形法则，减法的三角形法则即可求解
【详解】
因为为中点，
所以
所以
即
故选：B
24．C
【解析】
【分析】
以为顶点作，，，作出平行六面体，根据空间向量的加法法则作出，，然后判断各组向量是否共面可得结论．
【详解】
如图，作平行六面体，，，，
则，，，，
由平行六面体知，共面，不共面，不共面，不共面，
因此可以作为空间的基底的有3组．
故选：C．
25．D
【解析】
【分析】
根据空间向量线性运算的几何意义进行求解即可.
【详解】
，
故选：D．
26．B
【解析】
【分析】
根据向量的加法法则及共面向量的基本定理即可求解.
【详解】
根据向量的加法法则可得
，
又，且不共面，
所以，解得，
所以.
故选：B.
27．D
【解析】
【分析】
根据与共线，由，即可求解.
【详解】
因为与共线，空间的一组基底，
所以，
所以
解得，
所以x＋y＝0.
故选：D.
28．B
【解析】
【分析】
用向量共线或共面的基本定理即可判断.
【详解】
若 与 ， 与共线， ，则不能判定 ，
故①错误；
若非零向量共面，则向量 可以在一个与 组成的平面平行的平面上，
故②错误；
不共面，意味着它们都是非零向量，可以作为一组基底，
故③正确；
，∴ 与 共面，故 不能组成一个基底，
故④错误；
故选：C.
29．C
【解析】
【分析】
连接，由，即可求出答案.
【详解】
连接如下图：
由于是的中点，
.
根据题意知.
.
故选：C.
30．C
【解析】
【分析】
根据题意、空间向量基底的概念和共线的运算即可判断命题①②③，根据空间向量的平行关系即可判断命题④.
【详解】
①：向量与空间任意向量都不能构成一个基底，则与共线或与其中有一个为零向量，所以，故①正确；
②：由向量是空间一组基底，则空间中任意一个向量，存在唯一的实数组使得，
所以也是空间一组基底，故②正确；
③：由为空间一组基底，若，
则，所以，故③正确；
④：对于任意非零空间向量，，若，
则存在一个实数使得，有，
又中可以有为0的，分式没有意义，故④错误.
故选：C
31．BD
【解析】
【分析】
根据空间向量运算判断AB选项的正确性，根据三点共线、四点共面的知识判断CD选项的正确性.
【详解】
，A选项错误.
，B选项正确.
则是的中点，
，
，
则不存在实数使，所以C选项错误.
，
由于直线，所以四点共面，所以D选项正确.
故选：BD
32．ABD
【解析】
【分析】
利用空间向量的基底的概念及空间向量基本定理逐项分析即得.
【详解】
∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线，
∴若，则，A正确，B正确；
若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；
设，则，此方程组无解，
∴，，不共面，D正确.
故选：ABD.
33．ABC
【解析】
【分析】
空间向量垂直的数量积表示可判断A；由向量四点共面的条件可判断B；由空间向量基底的定义可判断C； 是一个数值，也是一个数值，说明和存在倍数关系，或者说共线，可判断D.
【详解】
空间向量，，若，则，故A正确；
对空间中任意一点O，有，
且，则P、A、B、C四点共面，故B正确；
因为是空间的一组基底，所以不共面，，则也不共面，
即也是空间的一组基底，故C正确；
任意向量，，满足，由于是一个数值，也是一个数值，
则说明和存在倍数关系，或者说共线，不一定相等，故D错误.
故选：ABC.
34．CD
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.
【详解】
因为点为三棱锥的底面所在平面内的一点，
所以由平面向量基本定理可知：
，
化简得：，显然有，
而，所以有，
当，时，，所以选项A不可能；
当，时，，所以选项B不可能；
当，时，，所以选项C可能；
当，时，，所以选项D可能，
故选：CD
35．ABD
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理即可判断出各个选项的正误．
【详解】
解：对于选项A：三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，所以选项A正确，
对于选项B：三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，
若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，
则已知的两个向量共线，所以选项B正确，
对于选项C：、且、，，，共面，不能构成基底，所以选项C错误，
对于选项D：、、共起点，若、、、四点不共面，则必能作为空间的一个基底，所以选项D正确，
故选：ABD．
36．BC
【解析】
【分析】
根据空间向量基底概念分别判断即可．
【详解】
对于A，若存在不全为零的实数，，，使得，
，，不能构成空间的一个基底，所以A错；
对于B，因为，，构成空间的一个基底，所以对空间任一向量，
总存在唯一的有序实数组，，，使得，所以B对；
对于C，因为，，
所以，，不能与，构成空间另一个基底；
又因为设，，若
，
所以与，构成空间另一个基底；
所以在，，中，能与，构成空间另一个基底的只有，所以C对；
对于D，存在，根据向量运算几何意义，
表示以为顶点，以，，为相邻三边的长方体对角线，
绕此对角线长方体旋转，基底也变为另一基底，，，
都满足，所以D错误．
故选：BC
37．ACD
【解析】
【分析】
利用空间向量共面定理及数量积运算，逐一分析判断即可．
【详解】
解：对于，空间任意向量都是共面向量，所以A正确
对于B，已知，，，四点共面，对空间任意一点，若
则，解得，所以B错误
对于C，在四面体中，若，，
则
，所以C正确
对于D，因为向量是空间一组基底，则对于空间任一向量，都存在实数，，，
使得，
即，所以也是空间的一组基底，所以D正确．
故选：ACD．
38．AC
【解析】
【分析】
根据基底的性质，结合各选项中向量的线性关系、空间向量基本定理判断M、A、B、C是否共面，即可知是否能成为空间基底.
【详解】
A：因为，且，利用平面向量基本定理知：点M不在平面ABC内，向量能构成一个空间基底；
B：因为，利用平面向量基本定理知：向量共面，不能构成一个空间基底；
C：由，利用平面向量基本定理和空间平行六面体法知：OM是以点O为顶点的对角线，向量能构成一个空间基底；
D：由，根据平面向量的基本定理知：向量共面，不能构成空间的一个基底.
故选：AC.
39．
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算，结合题意，求解即可.
【详解】
根据题意，
.
故答案为：.
40．
【解析】
【分析】
由可得出关于的表达式，再利用空间向量的减法可求得、、的值，即可得解.
【详解】
因为，则，
所以，，
所以，，，，因此，.
故答案为：.
41．④
【解析】
【分析】
通过反例可知①②错误；根据平面向量基本定理、空间向量基本定理可判断出③④正误.
【详解】
对于①，若，则对于平面内任意一个向量，无法得到，①错误；
对于②，若，则为任意实数，②错误；
对于③，若与不共面，则对于空间任意一个向量，无法得到，③错误；
对于④，由平面向量基本定理可知④正确.
故答案为：④.
42．
【解析】
【分析】
连接，根据题意，结合空间向量加减法运算求解即可.
【详解】
解：连接
∵四面体中，，分别在，上，且，
∴
∴
∴.
故答案为：
43．
【解析】
【分析】
利用空间的基底结合空间向量的线性运算计算即可得解.
【详解】
，而M是四面体OABC的棱BC的中点，则，
因AP＝3PN，，则，
所以.
故答案为：
44．
【解析】
【分析】
根据给定条件利用空间向量的线性运算即可得解.
【详解】
三棱锥，点M，N分别为线段AB，OC的中点，
则，
所以等于．
故答案为：.
45．（1）（4）
【解析】
【分析】
根据共线向量，向量垂直，向量的基本定理，向量数量积的定义与性质，逐一分析5个命题的真假，即可得解．
【详解】
（1）若，则，反向共线，即满足充分条件，但当非零向量，同向共线时，不存在，即满足不必要条件，故（1）正确；
（2）若向量，中有一个零向量，则存在无数个实数，使，即（2）错误；
（3）若，，说明，，不一定存在，即（3）错误；
（4）令，则，所以，无解，即，，不共面，所以构成空间的另一基底，即（4）正确；
（5），即（5）错误．
命题（1）（4）正确．
故答案为：（1）（4）．
46．(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；
(1)
解：，
，
又
(2)
解：由（1）可得知
47．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论；
（2）根据空间向量的加减运算，选定基底表示出向量，根据向量间的倍数关系可证明结论；
(1)
由题意，，，
故
,
,
故，由于有公共点A，
故A、、三点共线；
(2)
由题意，点是平行四边形的中心，
故
，
故 ,因为有公共点D，
故、、三点共线．
48．(1)
(2)①②③
【解析】
【分析】
（1）连接由 可得答案；
（2）选①，对两边平方代入已知再开方可得答案；
选②，对两边平方代入已知再开方可得答案；
③对两边平代入已知再开方可得答案.
(1)
连接，因为N是棱BC的中点，所以，因为 M是棱OA上靠近A的三等分点，所以
.
(2)
选①，
因为，，所以
，所以；
选②，
因为，，所以
，所以；
③，
因为，，所以
，所以.
49．(1)3
(2)
(1)
设，，，
由题意得：，，，，，，
；
(2)
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