高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第1课时学案设计

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第1课时学案设计，共13页。学案主要包含了空间向量基本定理，空间向量的正交分解，用基底表示空间向量等内容，欢迎下载使用。

学习目标 1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.掌握空间向量的正交分解．
导语
回顾平面向量基本定理，如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c表示呢？
一、空间向量基本定理
问题1 如图，设i，j，k是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点O，对于任意一个空间向量p＝eq \(OP,\s\up6(→))，p 能否用i，j，k表示呢？
提示 如图，设eq \(OQ,\s\up6(→))为eq \(OP,\s\up6(→))在i，j所确定的平面上的投影向量，则eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋eq \(QP,\s\up6(→)).
又向量eq \(QP,\s\up6(→))，k共线，因此存在唯一的实数z，使得eq \(QP,\s\up6(→))＝zk，从而eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋zk.
在i，j确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得eq \(OQ,\s\up6(→))＝xi＋yj.
从而eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OQ,\s\up6(→))＋zk＝xi＋yj＋zk.
问题2 你能证明唯一性吗？
提示 假设除(x，y，z)外，还存在有序实数组(x′，y′，z′)，使得p＝x′i＋y′j＋z′k，则x′i＋y′j＋z′k＝xi＋yj＋zk.
不妨设x′≠x，则(x′－x)i＝(y－y′)j＋(z－z′)k.
两边同除以(x′－x)，得i＝eq \f(y－y′,x′－x)j＋eq \f(z－z′,x′－x)k.
由平面向量基本定理可知，i，j，k共面，这与已知矛盾．所以有序实数组(x，y，z)是唯一的．
知识梳理
1．空间向量的基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
2．基底：我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
注意点：
(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同．
(2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念．
(3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量．
例1 已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且eq \(OA,\s\up6(→))＝e1＋2e2－e3，eq \(OB,\s\up6(→))＝－3e1＋e2＋2e3，eq \(OC,\s\up6(→))＝e1＋e2－e3，试判断{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}能否作为空间的一个基底．
解 假设eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))共面．
则存在实数λ，μ使得eq \(OA,\s\up6(→))＝λeq \(OB,\s\up6(→))＋μeq \(OC,\s\up6(→))，
∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)
＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，
∵e1，e2，e3不共面，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－3λ＋μ＝1，,λ＋μ＝2，,2λ－μ＝－1))此方程组无解，
∴eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))不共面，
∴{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))}可以作为空间的一个基底．
反思感悟 基底的判断思路
(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．
(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．
跟踪训练1 (多选)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有( )
A．{a，b，x} B．{x，y，z}
C．{b，c，z} D．{x，y，a＋b＋c}
答案 BCD
解析 如图所示，令a＝eq \(AB,\s\up6(→))，b＝eq \(AA1,\s\up6(→))，c＝eq \(AD,\s\up6(→))，
则x＝eq \(AB1,\s\up6(→))，y＝eq \(AD1,\s\up6(→))，z＝eq \(AC,\s\up6(→))，
a＋b＋c＝eq \(AC1,\s\up6(→))，由于A，B1，C，D1四点不共面，可知向量x，y，z也不共面，同理b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面．
二、空间向量的正交分解
知识梳理
1．单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示．
2．正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解．
三、用基底表示空间向量
例2 如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，P，Q是MN的三等分点．用向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))表示eq \(OP,\s\up6(→))和eq \(OQ,\s\up6(→)).
解 eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MP,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OB,\s\up6(→))＋\(OC,\s\up6(→))－\f(1,2)\(OA,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→)).
eq \(OQ,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(OP,\s\up6(→))
＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,12)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OC,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(OC,\s\up6(→)).
反思感悟 用基底表示向量时：
(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律；
(2)若没给定基底，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求．
跟踪训练2 在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示eq \(D1B,\s\up6(—→))，eq \(EF,\s\up6(→))；
(2)若eq \(D1F,\s\up6(—→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解 (1)如图，连接AC，EF，D1F，BD1，
eq \(D1B,\s\up6(—→))＝eq \(D1D,\s\up6(—→))＋eq \(DB,\s\up6(→))
＝－eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))－eq \(AD,\s\up6(→))＝a－b－c，
eq \(EF,\s\up6(→))＝eq \(EA,\s\up6(→))＋eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2) eq \(D1A,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))
＝－eq \f(1,2)(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,2)eq \(AA1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－c)＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)c.
(2)eq \(D1F,\s\up6(—→))＝eq \f(1,2)(eq \(D1D,\s\up6(—→))＋eq \(D1B,\s\up6(—→)))
＝eq \f(1,2)(－eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(D1B,\s\up6(—→)))
＝eq \f(1,2)(－c＋a－b－c)
＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b－c，
又eq \(D1F,\s\up6(—→))＝xa＋yb＋zc，
∴x＝eq \f(1,2)，y＝－eq \f(1,2)，z＝－1.
1．知识清单：
(1)空间的基底．
(2)空间向量基本定理．
2．方法归纳：转化化归．
3．常见误区：
(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件．
(2)运算错误，利用基底表示向量时计算要细心．
1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
解析 当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p⇏q，q⇒p.
2．已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))，向量b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))，则与a，b不能构成空间基底的是( )
A.eq \(OA,\s\up6(→)) B.eq \(OB,\s\up6(→))
C.eq \(OC,\s\up6(→)) D.eq \(OA,\s\up6(→))或eq \(OB,\s\up6(→))
答案 C
解析 ∵eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(a－b)，
∴eq \(OC,\s\up6(→))与a，b共面，
∴a，b，eq \(OC,\s\up6(→))不能构成空间基底．
3.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(OD,\s\up6(→))可用a，b，c表示为( )
A．a－b＋2c
B．a－b－2c
C．－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
D.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 D
解析 eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OB,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c.
4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq \(AO1,\s\up6(→))，eq \(AO2,\s\up6(→))，eq \(AO3,\s\up6(→))}为基底，eq \(AC′,\s\up6(—→))＝xeq \(AO1,\s\up6(→))＋yeq \(AO2,\s\up6(→))＋zeq \(AO3,\s\up6(→))，则( )
A．x＝y＝z＝eq \f(1,2) B．x＝y＝z＝1
C．x＝y＝z＝eq \f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2
答案 B
解析 eq \(AC′,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC′,\s\up6(—→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BB′,\s\up6(—→))＋eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AA′,\s\up6(—→)))＋eq \f(1,2)(eq \(AA′,\s\up6(—→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AB′,\s\up6(—→))＋eq \f(1,2)eq \(AD′,\s\up6(—→))＝eq \(AO1,\s\up6(→))＋eq \(AO2,\s\up6(→))＋eq \(AO3,\s\up6(→))，对比eq \(AC′,\s\up6(—→))＝xeq \(AO1,\s\up6(→))＋yeq \(AO2,\s\up6(→))＋zeq \(AO3,\s\up6(→))，得x＝y＝z＝1.
课时对点练
1．(多选)若{a，b，c}是空间一个基底，则下列各组中能构成空间的一个基底的是( )
A．a,2b,3c B．a＋b，b＋c，c＋a
C．a＋b＋c，b＋c，c D．a＋2b,2b＋3c,3a－9c
答案 ABC
解析 因为{a，b，c}是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，对于A，B，C选项，每组都是不共面的向量，能构成空间的一个基底；
对于D，a＋2b,2b＋3c,3a－9c满足3a－9c＝3[(a＋2b)－(2b＋3c)]，
所以这三个向量是共面向量，故不能构成空间的一个基底．
2．(多选)给出下列命题，其中是真命题的是( )
A．若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底
B．已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底
C．已知A，B，M，N是空间中的四点，若eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面
D．若a，b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底
答案 ABC
解析 A中，假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc，∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq \f(λ,k)a＋eq \f(μ,k)b，∴c与a，b共面，与已知条件矛盾，∴d与a，b不共面，即A是真命题；
B中，根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底，显然B是真命题；
C中，由eq \(BA,\s\up6(→))，eq \(BM,\s\up6(→))，eq \(BN,\s\up6(→))有公共点B，所以A，B，M，N四点共面，即C是真命题；
D中，因为a，b，c共面，所以{a，b，c}不能构成基底，故D错误．
3．在正四面体O－ABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则用a，b，c表示eq \(OE,\s\up6(→))为( )
A.eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c
B.eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(2,3)b＋c
C.eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c
D.eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c
答案 D
解析 eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))，所以eq \(OE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,4)b＋eq \f(1,4)c.
4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则( )
A．a，p，q是空间的一组基底
B．b，p，q是空间的一组基底
C．c，p，q是空间的一组基底
D．p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底
答案 C
解析 假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得c＝(k1＋k2)a＋(k1－k2)b，这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.
5.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，则eq \(BM,\s\up6(→))可表示为( )
A.－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
B．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c
C.－eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
D．eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b＋c
答案 A
解析 取AC的中点N，连接BN，MN，如图所示，
∵M为A1C1的中点，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(BC,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，∴eq \(NM,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，eq \(BN,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(－eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BC,\s\up6(→)))＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b，∴eq \(BM,\s\up6(→))＝eq \(BN,\s\up6(→))＋eq \(NM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)a＋\f(1,2)b))＋c＝－eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b＋c.
6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别在棱BB1，BC，BA上，且满足eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(BB1,\s\up6(→))，eq \(BF,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BC,\s\up6(→))，eq \(BG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(BA,\s\up6(→))，O是平面B1GF、平面ACE与平面B1BDD1的一个公共点，设eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BG,\s\up6(→))＋yeq \(BF,\s\up6(→))＋zeq \(BE,\s\up6(→))，则x＋y＋z等于( )
A.eq \f(4,5) B.eq \f(6,5) C.eq \f(7,5) D.eq \f(8,5)
答案 B
解析 因为eq \(BO,\s\up6(→))＝xeq \(BG,\s\up6(→))＋yeq \(BF,\s\up6(→))＋zeq \(BE,\s\up6(→))＝xeq \(BG,\s\up6(→))＋yeq \(BF,\s\up6(→))＋eq \f(3z,4)eq \(BB1,\s\up6(→))，O在平面B1GF内，所以x＋y＋eq \f(3z,4)＝1，
同理可得eq \f(x,2)＋eq \f(y,2)＋z＝1，
解得x＋y＝eq \f(2,5)，z＝eq \f(4,5).所以x＋y＋z＝eq \f(6,5).
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用eq \(AC,\s\up6(→))，eq \(AB1,\s\up6(→))，eq \(AD1,\s\up6(→))作为基向量，则eq \(AC1,\s\up6(→))＝____________.
答案 eq \f(1,2)(eq \(AD1,\s\up6(→))＋eq \(AB1,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))
解析 ∵2eq \(AC1,\s\up6(→))＝2eq \(AA1,\s\up6(→))＋2eq \(AD,\s\up6(→))＋2eq \(AB,\s\up6(→))＝(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＋(eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＋(eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→)))＝eq \(AD1,\s\up6(→))＋eq \(AB1,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→))，
∴eq \(AC1,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AD1,\s\up6(→))＋eq \(AB1,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))．
8．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(PC,\s\up6(→))，eq \(PN,\s\up6(→))＝eq \(ND,\s\up6(→))，则满足eq \(MN,\s\up6(→))＝xeq \(AB,\s\up6(→))＋yeq \(AD,\s\up6(→))＋zeq \(AP,\s\up6(→))的实数x，y，z的值分别为________．
答案 －eq \f(2,3)，－eq \f(1,6)，eq \f(1,6)
解析 取PC的中点E，连接NE，则eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(EN,\s\up6(→))－eq \(EM,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－(eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PE,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(PC,\s\up6(→))－\f(1,2)\(PC,\s\up6(→))))＝eq \f(1,2)eq \(CD,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(PC,\s\up6(→))＝－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)(－eq \(AP,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))＝－eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))－eq \f(1,6)eq \(AD,\s\up6(→))＋eq \f(1,6)eq \(AP,\s\up6(→))，
比较知x＝－eq \f(2,3)，y＝ －eq \f(1,6)，z＝eq \f(1,6).
9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(AB,\s\up6(→))＝a，eq \(AD,\s\up6(→))＝b，eq \(AA1,\s\up6(→))＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．
(1)用基底{a，b，c}表示向量eq \(DB1,\s\up6(→))，eq \(BE,\s\up6(→))，eq \(AF,\s\up6(→))；
(2)化简eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果．
解 (1)eq \(DB1,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(CB1,\s\up6(→))＝eq \(DC,\s\up6(→))＋eq \(BB1,\s\up6(→))－eq \(BC,\s\up6(→))＝a－b＋c.
eq \(BE,\s\up6(→))＝eq \(BA,\s\up6(→))＋eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1E,\s\up6(—→))＝－a＋eq \f(1,2)b＋c.
eq \(AF,\s\up6(→))＝eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BF,\s\up6(→))＝a＋eq \f(1,2)(b＋c)＝a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c.
(2)eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→))＋eq \(CD,\s\up6(→))＝eq \(DD1,\s\up6(→))＋(eq \(CD,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))＝eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(CB,\s\up6(→))＝eq \(DD1,\s\up6(→))＋eq \(D1A1,\s\up6(—→))＝eq \(DA1,\s\up6(→)).
如图，连接DA1，则eq \(DA1,\s\up6(→))即为所求．
10．如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，用向量a，b，c表示向量eq \(GH,\s\up6(→)).
解 因为eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(AD,\s\up6(→))
＝eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(OD,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(→))
＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(a＋b＋c)，
又eq \(OH,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,3)(b＋c)，
所以eq \(GH,\s\up6(→))＝eq \(OH,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(b＋c)－eq \f(1,3)(a＋b＋c)＝－eq \f(1,3)a.
11.如图，点M为OA的中点，{eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OC,\s\up6(→))，eq \(OD,\s\up6(→))}为空间的一个基底，eq \(DM,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OC,\s\up6(→))＋zeq \(OD,\s\up6(→))，则有序实数组(x，y，z)＝________.
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－1))
解析 eq \(DM,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OD,\s\up6(→))，所以有序实数组(x，y，z)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0，－1)).
12．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________.
答案 3
解析 由已知得，d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.
又d＝e1＋2e2＋3e3，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(α＋γ＝1，,α＋β＝2，,γ＋β＝3，))
故有α＋β＋γ＝3.
13.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，则向量eq \(OG,\s\up6(→))＝________.(用a，b，c表示)
答案 eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c
解析 eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \(MG,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \(MN,\s\up6(→))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)(eq \(MA,\s\up6(→))＋eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(BN,\s\up6(→)))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OA,\s\up6(→))＋\(OB,\s\up6(→))－\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up6(→))－\f(1,2)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(OC,\s\up6(→))－\(OB,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c.
14．如图所示，在正方体OABC－O1A1B1C1中，点G为△ACO1的重心，若eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OC,\s\up6(→))＝b，eq \(OO1,\s\up6(→))＝c，eq \(OG,\s\up6(→))＝xa＋yb＋zc，则x＋y＋z＝________.
答案 1
解析 易知△ACO1为正三角形，连接OB，设AC，BO相交于点M，连接O1M，如图所示，显然点G在线段O1M上，且满足eq \(O1G,\s\up6(—→))＝2eq \(GM,\s\up6(→))，有eq \(OG,\s\up6(→))－eq \(OO1,\s\up6(→))＝2(eq \(OM,\s\up6(→))－eq \(OG,\s\up6(→)))，得eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(OM,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OO1,\s\up6(→))，即eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)×eq \f(1,2)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))＋eq \f(1,3)eq \(OO1,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up6(→))＋eq \f(1,3)eq \(OO1,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c，可得x＋y＋z＝1.
15．已知四面体O－ABC，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若eq \(OG,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))＋zeq \(OC,\s\up6(→))，则(x，y，z)为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,4)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(3,4)，\f(3,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(1,3)，\f(1,3))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(2,3)，\f(2,3)))
答案 A
解析 如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,2)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AC,\s\up6(→)))＝eq \f(1,2)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，eq \(AG1,\s\up6(→))＝eq \f(2,3)eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \f(1,3)(eq \(OB,\s\up6(→))－2eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))，
∵eq \(OG,\s\up6(→))＝3eq \(GG1,\s\up6(→))，
∴eq \(OG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(OG1,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \(AG1,\s\up6(→)))
＝eq \f(3,4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OB,\s\up6(→))－\f(2,3)\(OA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\(OC,\s\up6(→))))
＝eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(OC,\s\up6(→)).
∴x＝eq \f(1,4)，y＝eq \f(1,4)，z＝eq \f(1,4).
16.如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若eq \(PD,\s\up6(→))＝meq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PE,\s\up6(→))＝neq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PF,\s\up6(→))＝teq \(PC,\s\up6(→))，求证：eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＋eq \f(1,t)为定值，并求出该定值．
解 连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)．
由题意，可令{eq \(PA,\s\up6(→))，eq \(PB,\s\up6(→))，eq \(PC,\s\up6(→))}为空间的一个基底，
eq \(PM,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)eq \(PG,\s\up6(→))＝eq \f(3,4)(eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(AG,\s\up6(→)))＝eq \f(3,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(3,4)×eq \f(2,3)eq \(AH,\s\up6(→))
＝eq \f(3,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,2)×eq \f(\(AB,\s\up6(→))＋\(AC,\s\up6(→)),2)＝eq \f(3,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(PB,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))＋eq \f(1,4)(eq \(PC,\s\up6(→))－eq \(PA,\s\up6(→)))＝eq \f(1,4)eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(PB,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(PC,\s\up6(→)).
∵点D，E，F，M共面，
∴存在实数λ，μ使得eq \(DM,\s\up6(→))＝λeq \(DE,\s\up6(→))＋μeq \(DF,\s\up6(→))，
即eq \(PM,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→))＝λ(eq \(PE,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→)))＋μ(eq \(PF,\s\up6(→))－eq \(PD,\s\up6(→)))，
∴eq \(PM,\s\up6(→))＝(1－λ－μ)eq \(PD,\s\up6(→))＋λeq \(PE,\s\up6(→))＋μeq \(PF,\s\up6(→))＝(1－λ－μ)meq \(PA,\s\up6(→))＋λneq \(PB,\s\up6(→))＋μteq \(PC,\s\up6(→))，
由空间向量基本定理，知eq \f(1,4)＝(1－λ－μ)m，eq \f(1,4)＝λn，eq \f(1,4)＝μt，
∴eq \f(1,m)＋eq \f(1,n)＋eq \f(1,t)＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4，为定值．