人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程精练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.2 直线的方程精练，共36页。试卷主要包含了2　直线的方程等内容，欢迎下载使用。

【考点梳理】
考点一 直线的点斜式方程和斜截式方程
考点二：直线的两点式方程和截距式方程
考点三 直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．
(1)若直线的斜率k存在．直线可表示成y＝kx＋b，可转化为kx＋(－1)y＋b＝0，这是关于x，y的二元一次方程．
(2)若直线的斜率k不存在，方程可表示成x－a＝0，它可以认为是关于x，y的二元一次方程，此时方程中y的系数为0.
考点四 直线的五种形式的方程
考点五 直线各种形式方程的互化
【题型归纳】
题型一：与直线点斜式方程有关的问题
1．（2022·江苏·高二课时练习）过点且与直线的夹角为的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．或
2．（2021·新疆·兵团第十师北屯高级中学高二阶段练习）直线过点，且倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·全国·高二单元测试）在中，，
（1）求AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）若的角平分线所在的直线方程为，求AC所在直线的方程.
题型二：直线的两点式方程有关问题
4．（2021·河北·高二阶段练习）入射光线从点出发，经过直线反射后，通过点，则反射光线所在直线方程是（ ）
A．B．C．D．
5．（2021·广东·佛山市顺德区华侨中学高二期中）已知M（3，），A（1，2），B（3，1），则过点M和线段AB的中点的直线方程为（ ）
A．4x+2y﹣5＝0B．4x﹣2y﹣5＝0C．x+2y﹣5＝0D．x﹣2y﹣5＝0
6．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别为，，．
(1)求的三边所在直线的方程；
(2)求的三条中线所在直线的方程．
题型三：直线的一般式方程问题
7．（2022·全国·高二课时练习）若方程表示一条直线，则实数m满足（ ）
A．B．
C．D．且且
8．（2022·全国·高二课时练习）下列说法中错误的是（ ）
A．平面上任意一条直线都可以用一个关于，的二元一次方程（，不同时为0）表示
B．当时，方程（，不同时为0）表示的直线过原点
C．当，，时，方程表示的直线与轴平行
D．任何一条直线的一般式方程都能与其他两种形式互化
9．（2021·天津河北·高二期中）△ABC的三个顶点是A（4，0），B（6，7），C（0，3），则边BC上的高所在直线的方程为（ ）
A．5x＋y﹣20＝0B．3x＋2y﹣12＝0C．3x＋2y﹣19＝0D．3x﹣2y﹣12＝0
题型四：由一般方程判断直线的平行问题
10．（2021·辽宁·高二期中）直线：与直线：（实数a为参数）的位置关系是（ ）
A．与相交B．与平行
C．与重合D．与的位置关系与a的取值有关
11．（2019·贵州·黔南布依族苗族自治州都匀第一中学高二期中（理））设直线，，下列命题正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
12．（20211·山西晋中·高二期末（理））已知直线的方程为，直线的方程为，若，则
A．或B．C．D．
题型五：由一般方程判断直线的垂直问题
13．（2022·全国·高二单元测试）“”是“直线与直线相互垂直”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14．（2021·安徽·合肥市第六中学高二阶段练习）“”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
15．（2021·陕西安康·高二期中（理））若过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是（ ）
A．4B．5C．6D．8
题型六：由直线平行或者垂直求直线方程
16．（2022·黑龙江·哈尔滨市第六中学校高二期末）已知直线l：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线l的倾斜角是
B．直线l在x轴上的截距为1
C．若直线m：，则
D．过与直线l平行的直线方程是
17．（2022·江苏·高二课时练习）若△的三个顶点为，，，则BC边上的高所在直线的方程为（ ）．
A．B．
C．D．
18．（2022·北京师大附中高二期末）1765年，数学家欧拉在其著作《三角形几何学》中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”．已知的顶点，则的欧拉线方程为（ ）
A．B．C．D．
题型七：直线过定点问题
19．（2022·全国·高二专题练习）不论为何实数，直线恒过一个定点，则这个定点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
20．（2021·湖南·益阳平高学校高二期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值（ ）
A．B．C．3D．6
21．（2022·全国·高二课时练习）过定点的直线与过定点的直线交于点，则的最大值为( )
A．1B．3C．4D．2
题型八：直线方程的综合性问题
22．（2021·北京市第四十三中学高二期中）已知平面内两点．
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程；
（3）一束光线从点射向（2）中的直线，若反射光线过点，求反射光线所在的直线方程．
23．（2021·福建省永春第一中学高二阶段练习）三角形的三个顶点是，，．
（1）求边所在的直线方程；
（2）求边上的高所在的直线方程；
（3）求经过两边和中点的直线的方程．
24．（2021·安徽池州·高二期中）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，的角平分线所在直线方程为．
（I）求顶点的坐标；
（II）求直线的方程．
【双基达标】
一、单选题
25．（2022·全国·高二课时练习）已知两条直线：，：，则下列说法正确的是（ ）
A．与一定相交B．与一定平行
C．与一定相交或平行D．以上均不对
26．（2022·全国·高二课时练习）经过两点、的直线方程都可以表示为（ ）
A．B．
C．D．
27．（2022·全国·高二专题练习）过点且倾斜角为的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
28．（2022·全国·高二课时练习）已知点与关于直线对称，则a，b的值分别为（ ）
A．2，B．－2，C．－2，D．2，
29．（2022·全国·高二课时练习）若直线与直线有相同的法向量，且直线在x轴上的截距为，则直线的点法式方程为（ ）
A．B．
C．D．
30．（2022·四川·盐亭中学高二开学考试）不论k为何值，直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
31．（2022·广东茂名·高二期末）若直线与直线垂直，则a=（ ）
A．-2B．0C．0或-2D．1
32．（2022·全国·高二课时练习）已知方程．
（1）若方程表示一条直线，求实数的取值范围；
（2）若方程表示的直线的斜率不存在，求实数的值，并求出此时的直线方程；
（3）若方程表示的直线在轴上的截距为，求实数的值；
（4）若方程表示的直线的倾斜角是45°，求实数的值．
33．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别为、、．求：
(1)边所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程；
(3)边上的中线所在直线的方程．
【高分突破】
一：单选题
34．（2022·安徽省亳州市第一中学高二期末）若直线与互相平行，且过点，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
35．（2022·四川宜宾·高二期末（理））已知直线与直线垂直，则实数a为（ ）
A．B．或C．D．或
36．（2022·北京东城·高二期末）已知的三个顶点是，，，则边上的高所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
37．（2021·江西·永新中学高二阶段练习（理））直线经过点，在轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
38．（2021·湖北·丹江口市第一中学高二阶段练习）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(1，0)，B(0，2)，且AC＝BC，则△ABC的欧拉线的方程为（ ）
A．4x＋2y＋3＝0B．2x－4y＋3＝0
C．x－2y＋3＝0D．2x－y＋3＝0
39．（2022·甘肃·天水市第一中学高二学业考试）已知点在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
40．（2021·安徽省五河第一中学高二阶段练习）设点，，若直线与线段有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
41．（2022·全国·高二课时练习）直线在y轴上的截距为1，则m的值可以是（ ）
A．－2B．C．D．2
42．（2022·全国·高二课时练习）设点，若直线与线段AB没有交点，则a的取值可能是（ ）
A．－1B．C．1D．
43．（2022·全国·高二）已知直线，其中，下列说法正确的是（ ）
A．当时，直线l与直线垂直
B．若直线l与直线平行，则
C．直线l过定点（0，1）
D．当时，直线l在两坐标轴上的截距相等
44．（2022·全国·高二）已知的三个顶点、、，则下列说法正确的是（ ）
A．直线的斜率为
B．直线的倾斜角为钝角
C．边的中点坐标为
D．边上的中线所在的直线方程为
45．（2022·全国·高二单元测试）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则（ ）
A．点的坐标为B．直线垂直于
C．D．的最大值为
46．（2022·全国·高二课时练习）已知直线，，下列命题中正确的有（ ）
A．当时，与重合B．若，则
C．过定点D．一定不与坐标轴平行
47．（2022·全国·高二课时练习）已知直线l过点，且与直线以及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，则（ ）
A．直线l的方程为B．直线l与直线的倾斜角互补
C．直线l在y轴上的截距为1D．这样的直线l有两条
48．（2022·江苏·高二）下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为2
C．直线的倾斜角为60°
D．过点且平行于直线的直线方程为
三、填空题
49．（2022·全国·高二课时练习）直线过点，且与直线：的夹角为，则直线的方程为______．
50．（2022·全国·高二课时练习）把直线绕点顺时针旋转45°后得到的直线的方程为______．
51．（2022·全国·高二课时练习）已知是直线上任意一点，则直线恒过定点的坐标为______．
52．（2022·江苏·高二）一束光线经过点由x轴反射后，经过点射出，则反射光线所在直线方程是______．
53．（2022·全国·高二课时练习）若两直线与平行，则实数a的值为______．
54．（2021·湖北十堰·高二期中）经过点，倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则此直线的方程______
解答题
55．（2022·全国·高二课时练习）已知的三个顶点分别为、、．求：
(1)AB边上的高所在直线的点法式方程；
(2)BC边的垂直平分线的点法式方程．
56．（2021·全国·高二课时练习）已知直线方程为，.
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.
57．（2021·江苏·高邮市第一中学）已知的三个顶点分别为，，.
（1）求边所在直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程.
58．（2021·江苏·高二专题练习）△ABC中，A（3，－1），AB边上的中线CM所在直线方程为：6x＋10y－59=0，∠B的平分线方程BT为：x－4y＋10=0，求直线BC的方程.
59．（2021·全国·高二单元测试）过点的直线l与x轴和y轴正半轴分别交于A、B.
（1）若P为AB的中点时，求l的方程；
（2）若最小时，求l的方程；
（3）若的面积S最小时，求l的方程.
60．（2022·全国·高二）已知直线．
（1）求证：无论为何实数，直线恒过一定点；
（2）若直线过点，且与轴负半轴、轴负半轴围成三角形面积最小，求直线的方程．
61．（2021·江苏·高二）已知直线．
（1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限；
（2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．
62．（2018·重庆万州·高二期末）已知直线经过点，且斜率为．
（1）求直线的方程．
（2）求与直线平行，且过点的直线方程．
（3）求与直线垂直，且过点的直线方程．
类别
点斜式
斜截式
适用范围
斜率存在
已知条件
点P(x0，y0)和斜率k
斜率k和在y轴上的截距b
图示
方程
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
截距
直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距
名称
两点式
截距式
条件
两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)
(x1≠x2，y1≠y2)
在x，y轴上的截距分别为a，b
( a≠0，b≠0)
示意图
方程
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
适用范围
斜率存在且不为0
斜率存在且不为0，不过原点
形式
方程
局限
点斜式
y－y0＝k(x－x0)
不能表示斜率不存在的直线
斜截式
y＝kx＋b
不能表示斜率不存在的直线
两点式
eq \f(y－y1,y2－y1)＝eq \f(x－x1,x2－x1)
x1≠x2，y1≠y2
截距式
eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1
不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式
Ax＋By＋C＝0
无
【答案详解】
D
【详解】根据一般方程可得，
所以斜率为，对应倾斜角，
和该直线夹角为的直线的倾斜角为或，
根据直线过点，
所以该直线方程为或.
故选：D
2．C【分析】设直线的倾斜角为，可得出，利用二倍角的正切公式可求得直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程，化为一般式即可.
【详解】设直线的倾斜角为，则，
由题意可知，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.
故选：C.
【点睛】本题考查直线方程的求解，涉及二倍角正切公式的应用，求出直线的斜率是解答的关键，考查计算能力，属于基础题.
3．（1）；（2）.【解析】（1）设AB边的垂直平分线为l，求出，即得AB边的垂直平分线所在的直线方程；
（2）设B关于直线的对称点M的坐标为，求出即得解.
【详解】（1）设AB边的垂直平分线为l，
有题可知，，
又可知AB中点为，
l的方程为，即，
（2）设B关于直线的对称点M的坐标为；
则，解得，所以，
由题可知，两点都在直线AC上，
所以直线的斜率为，所以直线的方程为，
所以AC所在直线方程为.
【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.
4．A【分析】先求出关于的对称点，再用两点式方程即可求解.
【详解】因为点关于的对称点为，
所以所求的直线方程为，即.
故选：A.
5．B【分析】求出线段AB的中点坐标，再根据直线的两点式方程即可的解.
【详解】解：因为A（1，2），B（3，1），
所以线段AB的中点坐标为，
所以过点M和线段AB的中点的直线方程为，
即.
故选：B.
6．(1)；；；
(2)边上的中线；边上的中线；边上的中线
【分析】（1）利用直线的两点式方程求解即可；
（2）先分别求出各边的中点，再利用直线的两点式方程求解即可；
(1)
由，，
知直线的方程为，整理得
直线的方程为整理得
直线的方程为，整理得
(2)
的中点坐标为，又
所以边上的中线所在的直线方程为，整理得
的中点坐标为，又
所以边上的中线所在的直线方程为，整理得
的中点坐标为，又
所以边上的中线所在的直线方程为，整理得
7．B【分析】若表示一条直线，则不能同时为0，即.
【详解】当时，m＝1或m＝－1；当时，m＝0或m＝1.
要使方程表示一条直线，则，不能同时为0，
所以，
故选：B.
8．D【分析】根据直线方程表示不同直线的充要条件即可做出判断.
【详解】A：因为在平面直角坐标系中，每一条直线都有倾斜角，当时，直线的斜率
存在，其方程可写成，它可变形为，与比较，
得，，；当时，直线的斜率不存在，其方程可写成，
与比较，得，，，显然，不同时为0，
所以A说法正确；
B：当时，方程（，不同时为0）即，
显然有，即直线过原点，所以B说法正确；
C：当，，时，方程可化为，
它表示的直线与轴平行，所以C说法正确；
D：当直线平行于坐标轴时一般式不能化为两点式或点斜式，所以D说法错误．
故选：D.
9．B【分析】先求出BC的斜率，进而得到高所在直线的斜率，最后用点斜式求得答案.
【详解】由题意，，所以BC上的高所在直线的斜率为，其方程为：.
故选：B.
10．B【分析】根据直线平行的充要条件判定即可.
【详解】由：，
可得，
因为且，
所以与平行
故选：B
11．D【分析】根据直线位置关系确定方程对应系数关系，再判断选择.
【详解】直线，，
则当时但,
当时但重合,
所以A,B错误，
当时,所以C错误，
故选:D
【点睛】本题考查直线位置关系，考查基本分析判断能力，属基础题.
12．C【分析】根据两条直线平行得到系数满足的方程，解得的值后检验即可得到的值．
【详解】因为，故，整理得到，
解得或．
当时，，，两直线重合，舎；
当时，，，两直线平行，符合；
故，选C．
【点睛】如果，，
（1）平行或重合等价于；
（2）垂直等价于．
13．A【分析】直线与直线相互垂直得到，再利用充分必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线与直线相互垂直，
所以，
所以.
所以时，直线与直线相互垂直，所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分条件；
当直线与直线相互垂直时，不一定成立，所以“”是“直线与直线相互垂直”的非必要条件.
所以“”是“直线与直线相互垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
14．A【分析】因为直线与直线互相垂直，所以或.再利用充分条件必要条件的定义判断得解.
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，
所以或.
因为“”可以推出“或”，“或”不能推出“”，
所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分非必要条件.
故选：A
【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.
15．B【分析】先计算出两条动直线经过的定点，即和，注意到两条动直线相互垂直的特点，则有；再利用基本不等式放缩即可得出的最大值．
【详解】解：由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过点定点，
注意到动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，
则有，．
故（当且仅当时取“”
故选：．
【点睛】本题是直线和不等式的综合考查，特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解答的突破口，从而有是个定值，再由基本不等式求解得出．直线位置关系和不等式相结合，不容易想到，是个灵活的好题．
16．D【分析】A.将直线方程的一般式化为斜截式可得；B. 令y＝0可得；C.求出直线m斜率即可判断；D. 设要求直线的方程为，将代入即可.
【详解】根据题意，依次分析选项：
对于A，直线l：，即，其斜率，则倾斜角是，A错误；
对于B，直线l：，令y＝0，可得，l在x轴上的截距为，B错误；
对于C，直线m：，其斜率，，故直线m与直线l不垂直，C错误；
对于D，设要求直线的方程为，将代入，可得t＝0，即要求直线为，D正确；
故选：D
17．B【分析】根据所在直线的斜率求得高线的斜率，结合点斜式即可求得结果.
【详解】因为，，故可得所在直线的斜率为，
则边上的高所在直线的斜率，又其过点，
故其方程为，整理得：.
故选：B.
18．A【分析】由，可得的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，求出线段的垂直平分线，即可求出的欧拉线方程．
【详解】解：因为，所以，，即，所以为等腰三角形，所以的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，因为的中点的坐标为，线段所在直线的斜率，
线段垂直平分线的方程为，即，
的欧拉线方程为．
故选：A．
19．D【分析】将直线方程化为，令可得，，从而可得定点.
【详解】直线，即，
令，得，，可得它恒过一个定点.
故答案为：.
20．D【分析】根据动直线方程求出定点的坐标，并判断两动直线互相垂直，进而可得 ，最后由基本不等式即可求解.
【详解】解：由题意，动直线过定点，
直线可化为，令，可得，
又，所以两动直线互相垂直，且交点为，
所以，
因为，
所以，当且仅当时取等号.
故选：D.
21．C【分析】由题意可得，且两直线始终垂直，可得，由基本不等式可得的最大值．
【详解】由题意可知，动直线经过定点，
动直线即，经过定点，
∵过定点的直线与过定点的直线始终垂直，又是两条直线的交点，
∴，∴．
故 (当且仅当时取“”)．
故选：C．
22．（1）；（2）；（3）.【分析】(1)先求的中点坐标为，利用两直线垂直，则，再利用点斜式写出直线方程即可；（2）利用两直线平行，则，再利用点斜式写出直线方程即可；（3）先利用点关于直线的对称点求关于直线的对称点，的中点在直线上，，则斜率乘积为 1，联立方程可解，，再利用点斜式写出直线方程即可.
【详解】（1），，∴的中点坐标为，
，∴的中垂线斜率为，
∴由点斜式可得，
∴的中垂线方程为；
（2）由点斜式，
∴直线的方程，
（3）设关于直线的对称点，
∴，
解得，
∴，，
由点斜式可得，整理得
∴反射光线所在的直线方程为.
23．（1）；（2）；（3）．【分析】（1）直接根据截距式求解，即可求出结果．
（2）根据高所在的直线方程的斜率与乘积为，利用点斜式求解即可．
（3）因为经过两边和中点的直线平行于，故可设所求直线方程，将中点坐标代入方程求解即可．
【详解】（1）由，．可得边所在的直线方程是：，即．
（2）因为边上的高垂直于，（1）由已知
高所在的直线方程斜率为
又边上的高过点，
故所求直线方程为
故边上的高所在的直线方程是.
（3）经过两边和中点的直线平行于，
可设所求直线方程为．
由已知线段的中点为
．
解得：
故经过两边和中点的直线方程为．
【点睛】本题考查了直线方程的求法，利用了中点坐标公式、斜率公式，垂直、平行关系等，考查了计算能力，属于基础题．
24．（1）.（2）.【详解】分析：（I）设顶点的坐标为；由顶点在直线上，所以
在直线上， 列方程组求解即可；（II）设顶点关于直线的对称点为，根据中点在对称轴上,以及直线垂直斜率之积为，列方程组求得的值，利用两点式可得结果.
详解：（I）设顶点的坐标为；
因为顶点在直线上，所以
由题意知的坐标为，
因为中点在直线上，所以，
即；
联立方程组，解得顶点的坐标为
（II）设顶点关于直线的对称点为，
由于线段的中点在直线上，得方程，
即
由直线与直线垂直，得方程，
即；
联立方程组，得
显然在直线上，且顶点的坐标为，所以直线的方程为，整理得.
点睛：本题主要考查直线的方程以及解析几何中的轴对称问题，属于中档题. 解析几何中点对称问题，主要有以下三种题型：（1）点关于直线对称，关于直线的对称点，利用，且 点 在对称轴上，列方程组求解即可；（2）直线关于直线对称，利用已知直线与对称轴的交点以及直线上特殊点的对称点（利用（1）求解），两点式求对称直线方程；（3）曲线关于直线对称，结合方法（1）利用逆代法求解.
25．D【分析】利用两直线的位置关系判断.
【详解】解：当时，与平行，
当时，与相交，
故选：D
26．C【分析】根据两点式直线方程即可求解.
【详解】当经过、的直线不与轴平行时，所有直线均可以用，
由于可能相等，所以只有选项C满足包括与轴平行的直线.
故选:C
27．D【分析】根据直线的点斜式方程即可得出答案.
【详解】解：因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率，
所以直线方程为，即.
故选：D．
28．A【分析】点与关于直线对称，则利用垂直关系，以及线段AB的中点在直线上，列式求解即可.
【详解】易知，则直线的斜率为-2，
所以，即．又AB的中点坐标为，
代入，得.
故选：A.
29．B【分析】根据点法式方程的标准形式，其中(a,b)为直线的一个法向量，为直线所经过的点的坐标，由已知条件得到的值和直线经过的定点，利用点法式（或向量垂直的坐标关系）写出方程.
【详解】∵直线在轴上的截距为，∴直线经过点，
直线的法向量之一为，
又∵直线与直线有相同的法向量，
设直线上的动点,则,且，
∴直线的点法式方程为，
故选：B
30．B【分析】与参数无关，化简后计算
【详解】，可化为，则过定点
故选：B
31．C【分析】代入两直线垂直的公式，即可求解.
【详解】因为两直线垂直，所以，解得：或.
故选：C
32．（1）；（2）；；（3）；（4）.【分析】（1）先令，的系数同时为零时得到，即得时方程表示一条直线；
（2）由（1）知时的系数为零，方程表示的直线的斜率不存在，即得结果；
（3）由（1）知的系数同为零时，直线在轴上的截距存在，解得截距构建关系，即解得参数m；
（4）由（1）知，的系数为零时，直线的斜率存在，解得斜率构建关系式，解得参数m.
【详解】解：（1）当，的系数不同时为零时，方程表示一条直线．
令，解得或；
令，解得或．
所以，的系数同时为零时，故若方程表示一条直线，则，
即实数的取值范围为；
（2）由（1）知当时，，方程表示的直线的斜率不存在，
此时直线方程为；
（3）易知且时，直线在轴上的截距存在.
依题意，令，得直线在轴上的截距，解得．
所以实数的值为；
（4）易知且时，直线的斜率存在，方程即，故斜率为.
因为直线的倾斜角是45°，所以斜率为1，所以，解得．
所以实数的值为．
33．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先用斜率公式求出的斜率，再利用直线方程的点斜式，即可求解；
（2）利用两直线垂直得到，即可得到高所在直线的斜率，利用直线方程的点斜式，即可求解.
（3）求出边上的中点D坐标，利用两点的坐标，即可求出直线方程；
（1）
因为、，
故，边AC所在直线的方程为：，
即为：，
（2）
由（1）知，故
所以AC边上的高所在直线的斜率为，
又，故为：，即；
（3）
设AC边上的中点为D，则，即，
故AC边上的中线BD所在直线的方程的斜率为，
故为：，即.
34．D【分析】由题意设直线的方程为，然后将点代入直线中，可求出的值，从而可得直线的方程
【详解】因为直线与互相平行，所以设直线的方程为，
因为直线过点，
所以，得，
所以直线的方程为，
故选：D
35．B【分析】由题可得，即得.
【详解】∵直线与直线垂直，
∴，解得或.
故选：B.
36．B【分析】求出边上的高所在的直线的斜率，再利用点斜式方程可得答案.
【详解】因为，所以边上的高所在的直线的斜率为，
所以边上的高所在的直线方程为，
即.
故选：B.
37．D【分析】点斜式写出直线的方程，再表示出直线在轴上的截距为1－，令－3<1－<3，解出不等式即可.
【详解】设直线的斜率为，则直线方程为，直线在轴上的截距为1－，
令－3<1－<3，解不等式得或.
故选：D.
38．B【分析】等腰三角形的欧拉线即为底面上高线．求出中点和的斜率后可得．
【详解】因为AC＝BC，所以欧拉线为AB的中垂线，
又A(1，0)，B(0，2)，故AB的中点为，kAB＝－2，
故AB的中垂线方程为y－1＝，即2x－4y＋3＝0.
故选：B．
39．A【分析】由点在直线上，可知，利用基本不等式和“1”的妙用即可求出.
【详解】由点在直线上，可知，
，当且仅当,即，时等号成立.
故选：.
40．A【分析】因为直线过定点,直线与线段有交点,转化为过定点的直线与线段有公共点,画出图像,结合图像,即可求得答案.
【详解】解： 直线与线段有交点，即直线与线段有交点，
对于直线，令，则，则直线恒过点，
根据题意，作出如下图像：
,
根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为，
,
根据两点求斜率公式可得：直线的斜率为，
直线的斜率为，若直线与线段有交点，则，
故选：A.
41．CD【分析】根据截距的定义，得到直线在y轴上的截距，即可求解.
【详解】因为，令x＝0，得，则，即，解得m＝2或（均符合题意）．
故选：CD
42．AC【分析】找到所过的定点，结合线段端点判断直线与线段AB没有交点对应斜率范围，即可得参数a范围，进而确定答案.
【详解】如图，直线过定点，且，
由图知：当直线与线段AB没有交点时，则，
所以.
故选：AC
43．AC【分析】A选项，根据斜率乘积为-1得到A正确；
B选项，根据两直线平行得到方程，求出或，所以B错误；
C选项，根据直线特点求出所过的定点；
D选项，求出时，直线l在两坐标轴上的截距，得到答案.
【详解】对于A，当时，直线l的方程为，斜率为1，直线的斜率为-1，因为，所以两直线垂直，所以A正确；
对于B，若直线l与直线平行，则，解得：或，所以B不正确；
对于C，当时，，所以直线过定点（0，1），所以C正确；
对于D，当时，直线l的方程为，在x轴、y轴上的截距分别是－1，1，所以D不正确．
故选：AC．
44．BCD【分析】利用直线的斜率公式可判断A选项；利用直线斜率与倾斜角的关系可判断B选项；利用中点坐标可判断C选项；利用直线的两点式方程可判断D选项.
【详解】对于A，直线的斜率为，故A错误；
对于B，直线的斜率为，所以直线的倾斜角为钝角，故B正确；
对于C，设边的中点为，则，，即点，故C正确；
对于D，边上的中线所在的直线方程为，整理得，故D正确.
故选：BCD.
45．BD【分析】首先求出直线过定点坐标，再判断两直线的位置关系，即可得到，利用勾股定理判断C，设，即可表示出、，再利用辅助角公式计算可得.
【详解】由题意可知，动直线：，即，
令，解得，即动直线经过定点，
同理可得动直线：经过定点．
又的方程可化为，，所以两条直线始终垂直，又是两条直线的交点，所以，所以．
设，则，，
所以（其中，，），
所以的最大值是．
故选：BD
46．AC【分析】当时，分别求出两直线方程，可判断选项A；由两直线平行的公式计算得出，可判断选项B；将代入直线方程，可判断选项C；当时，直线与x轴平行，判断出选项D．
【详解】当时，直线，直线，即两直线重合，故A正确；
当时，有且，解得，故B错误；
因为，所以直线过定点，故C正确；
当时，直线与x轴平行，故D错误；
故选：AC．
47．ABC【分析】由题意可得l与的倾斜角互补，所以可求出直线的方程，然后逐个分析判断
【详解】因为直线l与及x轴围成一个底边在x轴上的等腰三角形，所以l与的倾斜角互补，故B正确；
由直线的斜率为，知直线l的斜率为，可得直线l的方程为，即l的方程为，故A正确；
令，得，所以l在y轴上的截距为1，故C正确；
过点且斜率为的直线只有一条，故D错误．
故选：ABC．
48．AC【分析】将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；
【详解】解：对于A，，即，
令，即，所以直线必过定点，故A正确；
对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误；
对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确；
对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误，
故选：AC．
49．或【分析】由题设可得直线的倾斜角为或，结合倾斜角与斜率关系及点斜式写出直线方程.
【详解】由题设，直线斜率为，则其倾斜角为，
所以直线的倾斜角为或，且过，
故直线的方程为或，即或.
故答案为：或
50．【分析】利用差角正切公式求旋转后直线斜率，由点斜式写出直线方程.
【详解】若为已知直线倾斜角，将其顺时针旋转45°后的直线倾斜角为，
而，故，
所以旋转后直线为，则.
故答案为：
51．【分析】由题可得，直线可化为，进而即得.
【详解】由题可得，
∴，
∴直线，可化为，即，
由，可得，
故直线直线恒过定点.
故答案为：.
52．【分析】根据题意，若要求反射光线，可求得点关于轴对称的点，又过即可得解.
【详解】首先求点关于轴对称的点，
所以反射光线过和两点，
故直线方程为：，
即，
故答案为：.
53．【分析】根据两直线平行的充要条件，即可得到答案；
【详解】由题可知两直线的斜率存在，故，
由，则它们的斜率相等且纵截距不等，
∴，解得.
故答案为：.
54．【分析】由已知条件写出斜率，按照点斜式写出方程即可.
【详解】由直线知斜率为，倾斜角为，故要求的直线倾斜角为，斜率为，又过点，
故直线方程为，化简得.
故答案为：.
55．(1)
(2)
【分析】(1)由直线的法向量和直线上一点坐标，再根据法向式方程即可得到答案；
(2)由直线的法向量和直线上一点坐标，再根据法向式方程即可得到答案.
（1）
边上的高垂直于，故为法向量，高线法向量为，过点
方程为.
（2）
边上中垂线法向量为，过的中点，所以方程为.
56．（1）
（2）或【分析】(1)将含有的项提取出来,再令所乘的式为0,不含的项也为0,列方程求解即可.
(2)算出直线在轴上的截距令其相等求解即可.
【详解】(1) 由化简得,
令 ,故直线恒过定点
(2)由题得中.
令有 ,故在轴上的截距为.
令有.故在轴上的截距为.
故,故或.
当时, 化简得,当时,化简得
故直线的方程为或
【点睛】本题主要考查了直线方程的定点问题以及解决的问题等,属于中等题型.
57．（1）；（2）.【分析】（1）直接由两点式求边所在直线的方程；
（2）求出点的坐标为（－4，2），再利用两点式求中线所在直线的方程.
【详解】（1）由两点式得边所在直线的方程为，即；
（2）由题意，得点的坐标为（－4，2），
由两点式，得所在直线的方程为，即.
58．.【详解】试题分析：设则的中点在直线上和点在直线上,得,求得,再根据到角公式，求得，进而求得直线的方程．
试题解析：
设则的中点在直线上,则 ,即…………………①,
又点在直线上,则…………………②联立①②得,
,
有直线平分,则由到角公式得,得
的直线方程为:.
59．（1）；（2）；（3）.【分析】（1）根据中点坐标求出坐标，直接写出直线的截距式方程，再转化为一般式方程；
（2）设出直线的点斜式方程，表示出坐标，利用两点间距离公式先求解出，结合基本不等式求解出取最小值时斜率的取值，由此可求的方程；
（3）设出直线的截距式方程，根据点在直线上得到截距满足的关系式，再根据基本不等式可求的取值范围，由此可求取最小值时的值，则直线的方程可求.
【详解】设，，
为AB的中点，
，，
由截距式得l的方程为：，即；
设所求直线的方程为，由题意知，
令，可得，令，可得，
即，，
，
，
当且仅当，即时取等号，取最小值为12，
即直线l的方程为；
由题意设直线的截距式方程为，
直线过，，，，
当且仅当即且时取等号，
的面积，
面积的最小值为12，此时直线l的方程为，
即直线l的方程为.
60．（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）解方程组，可得定点的坐标；
（2）设直线的方程为，分析可得，求出该直线与两坐标轴的交点坐标，可得出三角形面积关于的关系式，结合基本不等式可求得的最小值，利用等号成立可求得的值，即可得出直线的方程.
【详解】（1）证明：将直线的方程化为，
解方程组，解得，故直线恒过定点；
（2）由题意可知，直线的斜率存在且不为零，
设直线的方程为，
令，可得，令，可得，
由已知可得，解得，
所以，三角形面积为，
当且仅当时，等号成立，此时直线的方程为，即.
61．（1）证明见解析； （2）面积的最小值为4，直线的方程为．【分析】（1）先将直线方程化成点斜式，求得、的值，可得定点坐标，再根据定点在第一象限，可得直线始终经过第一象限；
（2）法一：先求得、的坐标，可得的面积为表达式，再利用基本不等式，求得的最小值及此时的值，进而得到此时直线的方程．
法二：设直线的方程为，则，直线过定点，所以，利用基本不等式求得，则可得的最小值及此时的的值，进而得到此时直线的方程．
【详解】（1）因为直线，即，令，求得，，
即直线过定点且在第一象限，
所以无论取何值，直线始终经过第一象限．
（2）方法一：因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以，
令，解得；令，得，
即，，
∴，
∵，∴，
则，
当且仅当，也即时，取得等号，
则，
∴，从而的最小值为4，
此时直线的方程为，即．
方法二：因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，设，，
设直线的方程为，则，
又直线过定点，所以，
又因为，，所以，
即：，所以，
∴，即的最小值为4，
此时，解得，，
所以直线的方程为，即：．
62．(1) (2) (3) 【详解】试题分析：（1）写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．（2）可设直线的一般方程为，代入点求出即可．（3）所求直线的斜率为，写出直线的点斜式方程，整理成一般方程即可．
解析：（1）由题设有，整理得．
（2）设所求直线方程为，代入点， 解得，所以直线方程为．
（3）所求直线方程为，化简得，所以直线方程为．