高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理优秀达标测试

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第2讲 空间向量基本定理
考点分析
考点一：空间向量基底的概念
如果空间中的三个向量，，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，，组成的集合{，，}，常称为空间向量的一组基底.
考点二：空间向量的正交分解
单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两相互垂直，且长度均为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.
正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.即
典型例题
题型一：基底的基本概念及辨析
【例1】（2022·全国·高二专题练习）已知是空间一个基底，，，一定可以与向量，构成空间另一个基底的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据空间向量的一组基底是：任意两个不共线，且不为零向量，三个向量不共面，即可判断出结论．
【详解】由题意和空间向量的共面定理，
结合向量（）+（）＝2，
得与是共面向量，
同理与是共面向量，
所以与不能与、构成空间的一个基底；
又与和不共面，
所以与、构成空间的一个基底．
故选：C．
【例2】（2022·全国·高二单元测试）在空间四点O，A，B，C中，若是空间的一个基底，则下列命题不正确的是（       ）
A．O，A，B，C四点不共线
B．O，A，B，C四点共面，但不共线
C．O，A，B，C四点不共面
D．O，A，B，C四点中任意三点不共线
【答案】B
【分析】根据基底的含义，非零向量不在同一平面内，即O，A，B，C四点不共面，即可判断
【详解】因为为基底，所以非零向量不在同一平面内，
即O，A，B，C四点不共面，
所以A、C、D选项说法正确，B错误．
故选：B
【例3】（2022·全国·高一）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
【例4】（苏教版（2019）选修第二册限时训练第4练空间向量基本定理）已知是空间的一个基底，向量，，，若能作为基底，则实数的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据空间向量基底的定义，结合共面向量定理，运用假设法进行求解即可.
【详解】
若，，共面，由共面向量定理知，存在实数x，y，使得，
即．因为，，不共面，所以，，，解得，，，即当时，，此时不能作为基底，所以若能作为基底，则实数满足的条件是．
故选：B
【例5】（2022·重庆八中模拟预测）若构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由空间向量基底的定义即可得出答案.
【详解】
选项A：令，则，，A正确；
选项B：因为，所以不能构成基底；
选项C：因为，所以不能构成基底；
选项D：因为，所以不能构成基底．
故选：A.
【题型专练】
1．（2022·湖南·高二课时练习）已知，，是不共面的三个向量，下列能构成一组基的是（       ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【解析】
【分析】
由不共面的三个向量能构成一组基底判断.
【详解】
A. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
B. 因为=，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
C. 假设，，共面，则必存在x，y，有，因为，，是不共面，则，不成立，则三个向量不共面，所以三个向量能构成一组基底；
D. 因为，则三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底；
故选：C
2．（多选题）已知是不共面的三个向量，则下列向量组中，不能构成一个基底的一组向量是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解.
【详解】
对于A，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底；
对于B，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底；
对于C，假设共面，则必有不全为0的实数，使得，
因不共面，则，即，与不全为0矛盾，因此，不共面，它们能构成一个基底；
对于D，因，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，
所以不能构成一个基底的一组向量是ABD.
故选：ABD
3．（2021·全国·高二课时练习）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据共面向量定理逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以M，A，B，C四点共面，
所以，，共面，则不能成立空间的一个基底；
B：，
因为，
所以M，A，B，C四点共面，
所以，，共面，则不能成立空间的一个基底；
C ：因为，
所以M，A，B，C四点不共面，
所以，，不共面，则能成立空间的一个基底；
D： ，
所以A，B，C三点共线，这与已知矛盾，故不符合题意，
故选：C
4．（2022·河北邯郸·高二期末）已知，，是空间的一个基底，则下列说法中正确的是（       ）
A．若，则
B．，，两两共面，但，，不共面
C．一定存在实数x，y，使得
D．，，一定能构成空间的一个基底
【答案】ABD
【分析】利用空间向量的基底的概念及空间向量基本定理逐项分析即得.
【详解】∵，，是空间的一个基底，则，，不共面，且两两共面､不共线，
∴若，则，A正确，B正确；
若存在x，y使得，则，，共面，与已知矛盾，C错误；
设，则，此方程组无解，
∴，，不共面，D正确.
故选：ABD.
5．（2022·全国·高二课时练习）已知是空间的一组基， 且，，，.
(1)能否构成空间的一组基底？若能，试用这一组基向量表示；若不能，请说明理由．
(2)判断，，，四点是否共面，并说明理由．
【答案】(1)能，
(2)，，，四点不共面，理由见解析

【分析】（1）若共面，由共面向量定理，设
得方程组无解，故能构成空间的一组基底，
由方程组
反解，代入，即可用基底表示向量；
（2）根据共面向量定理，结合第（1）问验证系数和不等于，不满足条件，得到四点不共面.
（1）假设向量，，共面，则存在实数，，使，
即，
所以，方程组无解，
所以向量，，不共面，因此可以构成空间的一组基底，
令，，，
所以，得，
所以

；
（2），，，四点不共面．理由如下：假设，，，四点共面，
则存在实数，，，使，且．
由（1）知，但，
故，，，四点不共面．
题型二：用空间向量基底表示向量
【例1】（2022·江苏·涟水县第一中学高二阶段练习）如图，OABC是四面体，G是的重心，是OG上一点，且，则（       ）

A． B．=
C．= D．=
【答案】B
【解析】
【分析】
利用向量加法减法的几何意义并依据空间向量基本定理去求向量
【详解】
连接AG并延长交BC于N，连接ON，

由G是的重心，可得，
则
则
故选：B
【例2】（2022·广东·佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）在四面体中，，，，点在上，且，是的中点，则（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
利用空间向量的线性运算可得出关于、的表达式，再利用可求得结果.
【详解】
由已知，
所以，，
故选：D.
【例3】（2021·全国·高二课时练习）已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据共面向量定理逐一判断即可.
【详解】A：因为，所以M，A，B，C四点共面，
所以，，共面，则不能成立空间的一个基底；
B：，
因为，
所以M，A，B，C四点共面，
所以，，共面，则不能成立空间的一个基底；
C ：因为，
所以M，A，B，C四点不共面，
所以，，不共面，则能成立空间的一个基底；
D： ，
所以A，B，C三点共线，这与已知矛盾，故不符合题意，
故选：C
【例4】（2022·四川雅安·高二期末（理））设是正三棱锥，G是的重心，D是PG上的一点，且，若，则为（       ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】G是等边的重心，可得，再由，可得，而，从而可以将用表示出，进而可求出
【详解】因为三棱锥是正三棱锥，G是的重心，
所以，
因为D是PG上的一点，且，
所以，
因为，
所以


,
因为，
所以，
所以为，
故选：B


【例5】（2022·广东梅州·高二期末）已知四棱锥，底面为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，，，设，，，则向量用为基底表示为（       ）


A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由图形可得，根据比例关系可得，，再根据向量减法，代入整理并代换为基底向量．
【详解】
即
故选：D．
【题型专练】
1.（2022·安徽滁州·高二期末）三棱柱中，为棱的中点，若，则（       ）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由空间向量的线性运算即可求解.
【详解】解：．
故选：B
2．（2022·河南省浚县第一中学高一阶段练习）如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，，表示向量应为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用空间向量基本定理以及空间向量的线性运算进行求解即可．
【详解】解：因为，所以，
因为点，分别是线段，的中点，
所以，
所以．
故选：A．
3.（2023·全国·高三专题练习（理））如图，平行六面体中，为的中点.若，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的加减法公式，对向量进行分解，进而求出，，的值.
【详解】，故，，，即
故选：.
4.（2022·江西上饶·高二期末（理））如图，设，若，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的加法及减法的三角形法则，结合向量的数乘运算及共线向量定理即可求解.
【详解】由，得,由，得,
所以，
故选：A.
5.（2022·江苏南通·高二期末）在四面体中，，，，点满足，为的中点，且，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据空间向量的基本定理，结合中点的性质求解即可
【详解】 ，
其中 为中点，有 ，故可知 ，
则知 为 的中点，故点 满足 ， ．

故选：A
题型三：用空间向量基本定理解决长度、夹角等几何问题
【例1】（2022·江苏省扬州市教育局高二期末）如图，平行六面体的底面是边长为1的正方形，且，，则线段的长为（       ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解.
【详解】解：，
，
，
，
所以，
故选：B
【例2】（2022·江苏泰州·高二期末）在平行六面体中，，，，，则与所成角的正弦值为（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用基底表示向量，再利用向量的夹角公式求解.
【详解】解：，
则，
，
，
，
，
，
所以，
故选：D

【例3】（2022·山西·康杰中学高二开学考试）已知斜三棱柱所有棱长均为2，，点､满足，，则（       ）

A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
【分析】
以向量为基底向量，则，根据条件由向量的数量积的运算性质，两边平方可得答案.
【详解】
以向量为基底向量，

所以

所以
故选：D
【例4】（2022·浙江·於潜中学高二期中）在如图所示的平行六面体中，已知，，，N为上一点，且，若，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
将作为基底，用基底把表示出来，再由，可得，从而可求出
【详解】
令，因为，
所以，令，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以，
所以
因为，，
所以，
所以，解得，
故选：D



【例5】（2022·江苏省镇江中学高二期中（多选题））如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长都是1，且它们彼此的夹角都是60°，M为与的交点，若，则下列正确的是（       ）

A． B．
C．的长为 D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
AB选项，利用空间向量基本定理进行推导即可；C选项，在B选项的基础上，平方后计算出，从而求出；D选项，利用向量夹角的余弦公式进行计算.
【详解】
根据题意，依次分析选项：
对于A选项，，A错误，
对于B选项，，B正确：
对于C选项，，则，
则，C错误：
对于，则，D正确.
故选：BD.
【题型专练】
1.（2022·河南平顶山·高二期末（理））在平行六面体中，，，，则（       ）
A． B．5 C． D．3
【答案】B
【分析】由，则结合已知条件及模长公式即可求解.
【详解】解：，
所以，
所以，
故选：B.

2.（2022·辽宁大连·高二期末）如图，空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据空间向量基本定理及线性运算可得，再根据向量数量积的运算律即可得出答案.
【详解】
解：根据题意可知，空间四边形的四个面都是等边三角形，
则，
则


.
故选：A.
3.（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（理））如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1与B1C相交于点O，∠A1AB=∠A1AC=，∠BAC=，A1A=3，AB=AC=2，则线段AO的长度为（       ）


A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
用表示出，计算，开方得出AO的长度.
【详解】
因为四边形是平行四边形，
,


,
,
,


，
即.
故选：A
4．（2022·全国·高二课时练习）三棱柱中，，分别是，上的点，且，.若，，，则的长为________.
【答案】
【解析】
由题意画出图形，设，，，将用，，表示出来，求的模长即可求解.
【详解】

如图设，，，
所以
，
因为
,
所以，
故答案为：
【点睛】
本题解题的关键是将用从点出发的一组基底，，表示出来计算其模长即可.
5.（2022·江苏·徐州市王杰中学高二阶段练习）如图，在空间四边形中，已知是线段的中点，在上，且．

(1)试用，，表示向量；
(2)若，，，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据空间向量线性运算法则计算可得；
（2）由（1）可得，根据空间向量数量积的运算律及定义计算可得；
(1)
解：，
，
又

(2)
解：由（1）可得知




6．（2022·全国·高二课时练习）如图，空间四边形的各边及对角线长都为2，E是的中点，F在上，且.

（1）用表示；
（2）求向量与向量所成角的余弦值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由E是的中点，F在上，得到，进而结合向量的基本定理，即可求解；
（2）由（1）分别求得，，以及
，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】
（1）因为E是的中点，F在上，且，
所以，
于是.
（2）由（1）得，
因此，
，
又因为，
所以向量与向量所成角的余弦值为.
【点睛】
本题主要考查了空间向量的基本定理，以及向量的数量积和向量的夹角公式的应用，其中解答中熟记向量的线性运算法则，以及向量的数量积积的运算公式是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题