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    1.2 空间向量基本定理(学案) (人教A版2019选择性必修第一册)01
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    数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理优秀学案及答案

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    这是一份数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理优秀学案及答案,共11页。学案主要包含了学习目标,自主学习,小试牛刀,经典例题,跟踪训练,当堂达标,参考答案等内容,欢迎下载使用。

    1.2 空间向量基本定理
    【学习目标】
    课程标准
    学科素养
    1.理解空间向量的正交分解,空间向量的基本定理,
    2.能用空间一个基底表示空间的任意向量.(重点)
    1、数学运算
    2、数学抽象
    【自主学习】
    一.空间向量基本定理
    如果三个向量a,b,c ,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p= .
    我们把{a,b,c}叫做空间的一个 ,a,b,c都叫做基向量.
    二.空间向量的正交分解
    1.单位正交基底
    如果空间的一个基底中的三个基向量 ,且长度都是 ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.
    2.向量的正交分解
    由空间向量基本定理可知,对空间任一向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk使得a=xi+yj+zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
    思考1:基底选定后,空间中的所有向量均可由该基底唯一表示吗?不同基底下,同一个向量的表达式都相同吗?

    思考2:基底中能否有零向量?

    解读:1.一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.
    2.基底的选择一般有两个条件:(1)基底必须是不共面的非零向量;(2)在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量,这样会让后续计算比较方便.
    【小试牛刀】
    1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
    (1)空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示.( )
    (2)若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c全不是零向量.( )
    (3)如果向量a,b与任何向量都不能构成空间的一个基底,则一定有a与b共线.( )
    (4)若{a,b,c}为空间一个基底,则{-a,b,2c}也可构成空间一个基底.(  )
    (5)若三个非零向量a,b,c不能构成空间的一个基底,则a,b,c共面.(  )
    2.设p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的(  )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    【经典例题】
    题型一 基底的判断
    点拨:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底.
    方法:①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底.
    ②假设a=λb+μc,运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底.
    例1 已知{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且=e1+2e2-e3,=-3e1+e2+2e3,=e1+e2-e3,试判断{,,}能否作为空间的一个基底.


    【跟踪训练】1 若向量,,的起点M和终点A,B,C互不重合且无三点共线,则能使向量,,成为空间一个基底的关系是(O为空间中不同于M,A,B,C的一点)(  )
    A.=++ B.=+
    C.=++ D.=2-
    题型二 用基底表示向量
    点拨:用基底表示向量时,若基底确定,要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则,以及向量数乘的运算律;若没给定基底,首先选择基底,选择时,要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量,再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求.
    例2 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
    (1)用向量a,b,c表示,;
    (2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.





    【跟踪训练】2 如图所示,空间四边形OABC中,G,H分别是△ABC,△OBC的重心,设=a,=b,=c,D为BC的中点.试用向量a,b,c表示向量和.






    题型三 空间向量基本定理的应用
    点拨:首先根据几何体的特点,选择一个基底,把题目中涉及的两条直线所在的向量用基向量表示.
    (1)若证明线线垂直,只需证明两向量数量积为0.
    (2)若证明线线平行,只需证明两向量共线.
    (3)若要求异面直线所成的角,则转化为两向量的夹角(或其补角).
    例3 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥AB1.




    【跟踪训练】3如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.
    (1)求AC1的长;(2)求BD1与AC所成角的余弦值.


    【当堂达标】
    1. 以下四个命题中正确的是(  )
    A.基底{a,b,c}中可以有零向量
    B.空间任何三个不共面的向量都可构成空间向量的一个基底
    C.△ABC为直角三角形的充要条件是·=0
    D.空间向量的基底只能有一组
    2. (多选)已知点O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=++,向量b=+-,则与a,b能构成空间基底的向量是(  )
    A. B. C. D.或
    3.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,用,,作为基向量,则=________.
    4.已知a=e1+e2+e3,b=e1+e2-e3,c=e1-e2+e3,d=e1+2e2+3e3,若d=αa+βb+λc,则α,β,λ的值分别为________.

    5.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD.
    (1)证明:EF⊥B1C;
    (2)求EF与C1G所成角的余弦值.


    【参考答案】
    一. 不共面 xa+yb+zc 基底
    二. 两两垂直 1
    思考1:基底选定后,空间中的所有向量均可由该基底唯一表示,不一定相同,不同基底下,同一个向量的表达式也有可能不同.
    思考2:不能,因为零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面.
    【小试牛刀】
    1.× √ √ √ √
    2.B 解析:当三个非零向量a,b,c共面时不能作为基底,正推不成立;反过来,若{a,b,c}是一个基底,必有a,b,c都是非零向量,逆推成立,故选项B符合题意.
    【经典例题】
    例1解:假设,,共面.则存在实λ,μ使得=λ+μ,
    ∴e1+2e2-e3=λ(-3e1+e2+2e3)+μ(e1+e2-e3)=(-3λ+μ)e1+(λ+μ)e2+(2λ-μ)e3,
    ∵e1,e2,e3不共面,
    ∴此方程组无解,
    ∴,,不共面,∴{,,}可以作为空间的一个基底.
    【跟踪训练】1 C 解析:对于选项A,由结论=x+y+z(x+y+z=1)⇒M,A,B,C四点共面,即,,共面;对于B,D选项,易知,,共面,故只有选项C中,,不共面.
    例2 解 (1)如图,连接AC,
    =+=-+-=a-b-c,
    =+=+=-(+)+(+)=(a-c).
    (2)=(+)=(-+)=(-c+a-b-c)=a-b-c,
    ∴x=,y=-,z=-1.
    【跟踪训练】2解 因为=+,而=,=-,
    又D为BC的中点,所以=(+),所以=+=+(-)
    =+×(+)-=(++)=(a+b+c).
    又因为=-,==×(+)=(b+c),
    所以=(b+c)-(a+b+c)=-a.
    所以=(a+b+c),=-a.
    例3 证明:设=a,=b,=c,
    则=+=(+)
    =(+)=(+-)=(-a+b+c),=+=+=a+b.
    所以·=(-a+b+c)·(a+b)=(|b|2-|a|2)=0.所以⊥,即EF⊥AB1.
    【跟踪训练】3 解:(1)设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
    所以a·b=b·c=c·a=.
    ||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×=6,
    所以||=,即AC1的长为.
    (2)=b+c-a,=a+b,
    所以||=,||=,
    ·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1.
    所以cos〈,〉==.
    所以AC与BD1所成角的余弦值为.
    【当堂达标】
    1. B 解析:使用排除法.因为零向量与任意两个非零向量都共面,故A不正确;△ABC为直角三角形并不一定是·=0,可能是·=0,也可能是·=0,故C不正确;空间基底可以有无数多组,故D不正确.
    2. ABD 解析:∵=a-b且a,b不共线,∴a,b,共面,∴与a,b不能构成一组空间基底.
    3. (++) 解析:2=2+2+2
    =(+)+(+)+(+)
    =++,所以=(++).
    4. ,-1,- 解析:∵d=α(e1+e2+e3)+β(e1+e2-e3)+λ(e1-e2+e3)
    =(α+β+λ)e1+(α+β-λ)e2+(α-β+λ)e3=e1+2e2+3e3,
    ∴∴
    5.(1)证明:设=i,=j,=k,则{i,j,k}构成空间的一个正交基底.
    所以=+=-k+(+)=i+j-k,=+=-i-k,
    所以·=·(-i-k)
    =-|i|2+|k|2=0,所以EF⊥B1C.
    (2)解:=i+j-k,=+=-k-j,||2=2=|i|2+|j|2+|k|2=3,
    ||=,||2=2=|k|2+|j|2=4+=,||=,
    ∴cos〈,〉=
    ===.
    ∴EF与C1G所成角的余弦值为.

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