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人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程综合训练题
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程综合训练题，共31页。
考点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
考点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
考点三 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
【题型归纳】
题型一：求圆的标准方程
1．（2022·全国·高二）与圆C：关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·江苏·高二课时练习）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·江苏·高二课时练习）经过三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型二、圆的一般方程
4．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·高二专题练习）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高二专题练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：二元二次方程表示曲线与圆问题（参数）
7．（2022·全国·高二）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·江苏·高二课时练习）若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全国·高二专题练习）若方程表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：圆过定点问题
10．（2022·江苏·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和B．和C．和D．和
11．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．2或1D．－2或－1
12．（2022·江苏·高二课时练习）已知点和以为圆心的圆.
（1）求证：圆心在过点的定直线上，
（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．
题型五：圆的对称问题
13．（2021·江苏连云港·高二期中）已知圆关于直线对称，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
14．（2022·江苏·高二课时练习）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·江苏·高二课时练习）点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（ ）
A． B．C．3D．9
题型六：圆的方程综合性问题
16．（2022·江苏·高二）分别根据下列条件，求圆的方程：
(1)过点，圆心为；
(2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线上；
(3)过点，，且圆心在x轴上；
(4)过点，和原点．
17．（2022·江苏·高二）已知圆的圆心在直线上，且过和两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程.
18．（2021·广东·佛山一中高二）已知：.
(1)若直线：与圆交于，两点，求的值；
(2)若直线：平分圆，求的最小值.
【双基达标】
一、单选题
19．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高二阶段练习）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全国·高二课时练习）若圆关于直线对称，则（ ）．
A．B．F＝0C． D．
21．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
23．（2022·江苏·高二课时练习）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022·江苏·高二课时练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
25．（2022·江苏·）求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；
(2)经过点、，且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；
(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．
26．（2021·全国·高二）圆C过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.
【高分突破】
一：单选题
27．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
28．（2022·全国·高二课时练习）已知圆关于直线对称的圆的方程，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022·全国·高二专题练习）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
30．（2021·山东潍坊·高二期中）圆 上的点 关于直线 的对称点仍在圆 上， 且该圆的半径为 ， 则圆 的方程为（ ）
A．B．
C． 或 D． 或
31．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
32．（2022·全国·高二课时练习）已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为
A．B．C．2D．3
33．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A．B．6
C．D．
34．（2022·全国·高二课时练习）点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
35．（2021·全国·高二专题练习）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为B．圆被轴截得的弦长为8
C．圆的半径为5D．圆被轴截得的弦长为6
36．（2022·全国·高二）设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
37．（2022·江苏·高二课时练习）关于曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C．曲线所表示的图形是中心对称图形
D．曲线是以为圆心，为半径的圆
38．（2022·江苏·高二课时练习）方程（，不全为零），下列说法中正确的是（ ）
A．当时为圆
B．当时不可能为直线
C．当方程为圆时，，满足
D．当方程为直线时，直线方程
39．（2021·全国·高二专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为、、，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
40．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
41．（2021·四川·雅安中学高二阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为________
42．（2022·全国·高二课时练习）已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．
43．（2021·天津市第四十七中学高二阶段练习）已知圆的圆心在轴的正半轴上，且圆心到直线的距离为，若点在圆上，则圆的方程为______________________．
44．（2020·内蒙古·宁城县蒙古族中学高二阶段练习（理））已知两定点，如果平面内动点满足条件，则的最大值是_____
四、解答题
45．（2022·全国·高二）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
46．（2021·广西·宾阳中学高二）已知圆，
（1）求实数的取值范围；
（2）若直线与圆相交于两点，且，求的值.
47．（2021·山西·天镇县实验中学高二期中）已知圆经过点，，且它的圆心在直线上.
（1）求圆关于直线对称的圆的方程；
（2）若点为圆上任意一点，且点，求线段的中点的轨迹方程.
48．（2021·山东枣庄·高二期中）已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
49．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|(x0－a)2＋(y0－b)2条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F>0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆
【答案详解】
1．C
【分析】先求出圆的圆心和半径，再根据对称时对应点的连线与对称轴垂直和其中点再对称轴上列出方程求出圆心坐标即可.
【详解】圆C：的圆心，半径．
设点关于直线的对称点为，
则，
所以圆C关于直线的对称圆的方程为，
故选:C．
2．D
【分析】设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得，即可得出答案.
【详解】解：设圆的方程为，
根据题意可得，
解得，
所以该圆的方程为.
故选：D.
3．C
【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
4．B
【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.
【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，
所以所求圆的方程为.
故选：B
5．B
【分析】利用待定系数法进行求解即可.
【详解】设圆的一般方程为，
因为，，在这个圆上，
所以有，
故选：B
6．C
【分析】求出线段的垂直平分线的方程，与直线联立，即可求出圆心，再求出半径即可得出圆的方程.
【详解】线段的中点坐标为，直线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，即.
由，解得.
所以圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，即.
故选：C.
7．B
【分析】求出表示圆的充要条件，然后可判断出答案.
【详解】若表示圆，则，
解得.
“”是“”表示圆的必要不充分条件，
所以实数的取值范围是.
故选：B
8．B
【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.
【详解】由，
得，
由该曲线表示圆，
可知，
解得或，
故选：B.
9．B
【分析】根据圆的一般式方程需满足的条件即可直接求出答案.
【详解】因为方程表示圆，所以，解得.
故选：B.
10．D
【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
11．A
【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】将代入圆方程，得，解得或0，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意.
故选：C．
12．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）圆心的坐标为，则圆心在过点的定直线上；
（2）以为直径的圆过原点，则利用斜率计算即可．
【详解】（1）由题可知圆心的坐标为，
令消去，得.
∵直线过点.
∴圆心在过点的定直线上.
（2）∵以为直径的圆过原点，
∴.
∴，
∴.
即当时，以为直径的圆过原点．
13．C
【分析】由题得圆心的坐标为，解方程即得解.
【详解】解：由题得圆心的坐标为，
因为已知圆关于直线对称，
所以.
故选：C
14．D
【分析】先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为3
设点关于直线的对称点为，
则 ，解之得
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为，
故选：D．
15．C
【分析】根据题意可得：直线l：x－y＋1＝0经过圆心（－，－1），代入运算解得k＝4，再代入求圆的半径．
【详解】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，
则圆心坐标为（－，－1），半径为
因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，
所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，
所以－＋1＋1＝0，k＝4．
所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.
故选：C．
16．(1)
(2)或.
(3)
(4)
【分析】根据已知条件和圆的标准方程、圆的一般方程的特征，利用待定系数法，即可求解.
(1)
解：由题意，圆过点，圆心为，
可得半径，所以圆的方程为.
(2)
解：由题意，圆与两坐标轴都相切，且圆心在直线上，
可设圆心为，则，解得或，
若，则圆心为，半径为，圆的方程为；
若，则圆心为，半径为，圆的方程为，
所以圆的方程为或.
(3)
解：由题意，圆过点，，且圆心在x轴上
可设圆心为，
由，可得，解得，
即圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为.
(4)
解：由题意，圆过点，和原点，
设圆的方程为，
由，解得，
所以圆的方程为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）假设圆心坐标，利用可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆方程；
（2）设，根据，由即可得到所求的轨迹方程.
（1）
设圆心，则，
即，解得：，
，又圆心，圆的标准方程为；
（2）
为弦中点，，即，
设，则，，
，
即点的轨迹方程为：.
18．(1)
(2)3
【分析】（1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，从而求出圆心角；
（2）依题意可得，再利用基本不等式计算可得；
(1)
解：∵圆：，即：，圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离为，∴，∴，∴；
(2)
解：∵直线平分圆，即圆心在直线上，∴，又，
∴.
当且仅当即时等号成立.∴的最小值为3.
19．B
【分析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.
【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.
故选：B
20．C
【分析】先由标准方程得出圆心，圆关于直线对称则直线过圆心，将圆心代入直线即得结果
【详解】由题，圆心为，圆关于直线对称，则直线过圆心，即，所以.
故选：C
21．B
【分析】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案.
【详解】依题意，设所求圆的方程为，
由于所求圆过点，所以，
解得，所以所求圆的方程为．
故选：B
22．B
【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
23．A
【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.
【详解】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，
设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，
所以反射光线经过点，
由反射的性质可知：，
于是，所以反射光线所在的直线方程为：
，
故选：A
24．B
【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解
【详解】圆即,半径
因为,所以
又是的中点,所以
所以点的轨迹方程为
故选：B
25．(1)或
(2)
(3)
(4)
【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程.
（1）
设圆的标准方程为．
因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圆的标准方程为或．
（2）
设圆的标准方程为，由题意得，；
又因为点在圆上，所以．
所以所求圆的标准方程为．
（3）
设圆心为．
因为圆与直线y=1-x相切于点，所以，
解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径．
所以所求圆的方程为．
（4）
设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为．
又该圆经过A、B两点，所以．
所以，解得a=-2，
所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．
26．（1）；（2）.
【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.
（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.
【详解】（1）直线的斜率，
所以的垂直平分线m的斜率为1.
的中点的横坐标和纵坐标分别为，.
因此，直线m的方程为.即.
又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组
，
解得
所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是.
（2）设线段的中点，
M为线段的中点，则，
解得
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为.
【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.
27．C
【分析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.
【详解】或.
故选：C.
28．C
【分析】根据圆关于直线对称，求出圆C的圆心即可求解，由点关于直线对称列出方程即可.
【详解】因为圆的圆心为，
设关于的对称点，
则，解得，
即圆C的圆心为，半径为1，
所以方程为.
故选：C
29．C
【分析】求出线段的中点的坐标即得解.
【详解】解：由题得是直角三角形，且.
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式得.
故选：C
30．D
【分析】先判断圆心在直线上，设圆心的坐标为，由半径，列出方程，求出的值，即可得到答案．
【详解】解：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，
所以圆心在直线上，
设圆心的坐标为，
因为该圆的半径为，
则，
解得或，
所以圆心为或，
则圆的方程为或．
故选：D．
31．B
【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，
又，，
．
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
故选：B．
32．D
【分析】求出圆心关于的对称点为，则的最小值是．
【详解】解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，
圆心关于的对称点为，
解得故
．
故选．
【点睛】本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
33．D
【分析】配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.
【详解】根据题意，圆，
变形可得．
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时．
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：D．
34．A
【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得
，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．
【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，
可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，
所以直线的方程为，
由，解得或（舍去），
∴当时，取得最大值，且，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，且，即时等号成立．
故选A．
【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将
转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．
（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值．
35．ABCD
【分析】将圆一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC是否正确，再令和，算出弦长可判断BD是否正确.
【详解】由圆的一般方程为，则圆，
故圆心为，半径为，则AC正确；
令，得或，弦长为6，故D正确；
令，得或，弦长为8，故B正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆被轴，轴所截的弦长问题，属于基础题.
36．ABD
【分析】求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误，将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程，通过方程的有解与否可判断B、C的正误，
【详解】圆心坐标为，在直线上，A正确；
令，化简得，
∵，∴，无实数根，∴B正确；
由，化简得，
∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查动圆的性质，注意动圆中隐含的确定关系，另外判断动圆是否过确定的点，可转化为方程是否有解来讨论，本题属于中档题.
37．AC
【分析】根据曲线解析式特征画出图形，逐一判断各选项即可.
【详解】曲线：如图所示：
对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为,故A正确；
对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误；
对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；
对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误.
故选：AC
38．ACD
【分析】对于A、B、D可直接代值确定，对于C，展开化简，根据圆的方程的特点判断.
【详解】对于A，由题可得 或，代入得或，都是圆，故A对；对于B，当时，化简得是直线，故B错；对于C，原式可化为，要表示圆，则必有，故C对；对于D，只有时，方程表示直线，故D对.
故选：ACD.
39．AD
【解析】根据三角形的三点坐标，确定坐标原点到三边的距离，以及到三个顶点的距离，结合题中条件，即可确定圆的半径，从而可得圆的方程.
【详解】依题意，直线的方程为，化为一般式方程：，
点到直线的距离，
又直线的方程为，直线的方程为，
因此点到直线的距离为，到直线的距离为，
当以原点为圆心的圆与直线相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；
此时圆的半径为，所以圆的方程为；
又，，，
由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点，
即圆的半径为，则圆的方程为.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键在于，根据三角形与圆的交点个数，分圆与三角形一边相切，或圆过三角形的一点这两种情况进行讨论，即可求出结果.
40．
【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得：，则圆的方程为.
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
41．
【分析】求出的圆心关于直线的对称点可得对称圆的圆心，又两圆的半径相等，由此可得所求圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
设关于直线的对称点为，
则，解得.
，则圆关于直线对称的圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了求圆关于直线对称的圆的方程，属于基础题.
42． ； 5．
【详解】试题分析：由题意，知，，当时，方程为，即，圆心为，半径为5，当时，方程为，不表示圆．
圆的标准方程.
由方程表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．
43．
【解析】先由题意，设圆的圆心为，由点到直线距离求出圆心坐标，再由圆上的点求出半径，进而可求出圆的方程.
【详解】由题意，设圆的圆心为，
因为圆心到直线的距离为，
所以，解得，即圆心坐标为；
又点在圆上，
所以半径为，
因此圆的方程为.
故答案为：.
44．
【解析】设动点坐标，再由几何条件，可得轨迹方程，进一步可得所求解.
【详解】设，由，
可得，
整理得: ，即
所以（表示中边上的高），
显然，所以最大值为.
故答案为:.
【点睛】本题为用轨迹的方法求三角形面积最大值，属于难题.
常用求轨迹的方法：
①定义法：根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹，确定相应基本量得出方程；
②参数法：找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程；
③转译法：找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程；
④几何法：建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程.
45．(1)证明见解析；(2) ， 或， .
【详解】（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
46．（1）；（2）
【分析】（1）将圆配凑成标准方程，利用，解出即可．
（2）设出直线，联立方程，利用韦达定理求出，再计算出，由，即，解出即可．
【详解】解：（1）配方得,所以,即.
（2）设，，所以，
由得，
因为直线与圆相交于两点,所以,即.
易得，
，
从而由得，
解得，满足且，所以的值为.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理及运算能力，属于基础题．
47．（1）；
（2）.
【分析】（1）设出圆的圆心坐标，然后题意列出方程，解出圆的半径，得到圆的方程；再解出点关于直线的对称点坐标，写出对称圆的方程.
（2）利用相关点法，设点，，设法用含的式子表示点的坐标，然后将点代入圆方程即可得到点的轨迹方程.
【详解】解析（1）由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得，
所以圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，
圆心关于的对称点为，
所以圆关于直线对称的圆的方程为.
（2）设，，则由及为线段的中点得，
，解得.
又点在圆上，所以，即，
故所求的轨迹方程为:.
【点睛】本题考查圆的方程求解，圆关于直线的对称圆以及点的轨迹方程问题，其中轨迹方程问题难度稍大，注意相关点法的运用.
48．（1）；（2）或．
【解析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．
【详解】（1）圆心到直线的距离．
直线与圆相切，．
圆的标准方程为：．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，
即：，，又，．
解得：．
直线的方程为：．
②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．
综上所述的方程为：或．
【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
49．(1)证明见解析；
(2).
（1）
直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
（2）
当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.
考点一 圆的标准方程
(1)条件：圆心为C(a，b)，半径长为r.
(2)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(3)特例：圆心为坐标原点，半径长为r的圆的方程是x2＋y2＝r2.
考点二 点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断方法
考点三 圆的一般方程
1．圆的一般方程
当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0称为圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
【题型归纳】
题型一：求圆的标准方程
1．（2022·全国·高二）与圆C：关于直线对称的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·江苏·高二课时练习）与直线切于点，且经过点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·江苏·高二课时练习）经过三个点的圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型二、圆的一般方程
4．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·全国·高二专题练习）三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆方程是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·全国·高二专题练习）已知圆经过两点，，且圆心在直线上，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
题型三：二元二次方程表示曲线与圆问题（参数）
7．（2022·全国·高二）已知“”是“”表示圆的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．（2022·江苏·高二课时练习）若曲线：表示圆，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
9．（2022·全国·高二专题练习）若方程表示圆，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
题型四：圆过定点问题
10．（2022·江苏·高二课时练习）点是直线上任意一点，是坐标原点，则以为直径的圆经过定点（ ）
A．和B．和C．和D．和
11．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高二阶段练习）若圆过坐标原点，则实数m的值为（ ）
A．1B．2C．2或1D．－2或－1
12．（2022·江苏·高二课时练习）已知点和以为圆心的圆.
（1）求证：圆心在过点的定直线上，
（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．
题型五：圆的对称问题
13．（2021·江苏连云港·高二期中）已知圆关于直线对称，则（ ）
A．0B．1C．2D．4
14．（2022·江苏·高二课时练习）圆关于直线对称的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
15．（2022·江苏·高二课时练习）点M，N是圆＝0上的不同两点，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的半径等于（ ）
A． B．C．3D．9
题型六：圆的方程综合性问题
16．（2022·江苏·高二）分别根据下列条件，求圆的方程：
(1)过点，圆心为；
(2)与两坐标轴都相切，且圆心在直线上；
(3)过点，，且圆心在x轴上；
(4)过点，和原点．
17．（2022·江苏·高二）已知圆的圆心在直线上，且过和两点.
(1)求圆的标准方程；
(2)过点的直线与圆交于两点，求弦中点的轨迹方程.
18．（2021·广东·佛山一中高二）已知：.
(1)若直线：与圆交于，两点，求的值；
(2)若直线：平分圆，求的最小值.
【双基达标】
一、单选题
19．（2022·江苏省郑梁梅高级中学高二阶段练习）以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（ ）
A．B．
C．D．
20．（2022·全国·高二课时练习）若圆关于直线对称，则（ ）．
A．B．F＝0C． D．
21．（2022·全国·高二课时练习）与圆同圆心，且过点的圆的方程是（ ）
A．B．
C．D．
22．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆关于直线（，）对称，则的最小值为（ ）
A．B．9C．4D．8
23．（2022·江苏·高二课时练习）已知从点发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为（ ）
A．B．
C．D．
24．（2022·江苏·高二课时练习）已知A，B为圆上的两个动点，P为弦的中点，若，则点P的轨迹方程为（）
A．B．
C．D．
25．（2022·江苏·）求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心在x轴上，半径为5，且过点；
(2)经过点、，且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线y=-2x上，且与直线y=1-x相切于点；
(4)圆心在直线x-2y-3=0上，且过点，．
26．（2021·全国·高二）圆C过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.
【高分突破】
一：单选题
27．（2022·吉林·吉化第一高级中学校高二期末）若曲线表示圆，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
28．（2022·全国·高二课时练习）已知圆关于直线对称的圆的方程，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
29．（2022·全国·高二专题练习）若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为（ ）
A．B．C．D．
30．（2021·山东潍坊·高二期中）圆 上的点 关于直线 的对称点仍在圆 上， 且该圆的半径为 ， 则圆 的方程为（ ）
A．B．
C． 或 D． 或
31．（2022·全国·高二课时练习）已知圆，圆，点M、N分别是圆、圆上的动点，点P为x轴上的动点，则的最大值是（ ）
A．B．9C．7D．
32．（2022·全国·高二课时练习）已知M，N分别是曲线上的两个动点，P为直线上的一个动点，则的最小值为
A．B．C．2D．3
33．（2022·福建省龙岩第一中学高二阶段练习）已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ ）
A．B．6
C．D．
34．（2022·全国·高二课时练习）点在曲线上运动，，且的最大值为，若，，则的最小值为
A．1B．2C．3D．4
二、多选题
35．（2021·全国·高二专题练习）已知圆的一般方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．圆的圆心为B．圆被轴截得的弦长为8
C．圆的半径为5D．圆被轴截得的弦长为6
36．（2022·全国·高二）设有一组圆，下列命题正确的是（ ）．
A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上
B．所有圆均不经过点
C．经过点的圆有且只有一个
D．所有圆的面积均为
37．（2022·江苏·高二课时练习）关于曲线：，下列说法正确的是（ ）
A．曲线围成图形的面积为
B．曲线所表示的图形有且仅有条对称轴
C．曲线所表示的图形是中心对称图形
D．曲线是以为圆心，为半径的圆
38．（2022·江苏·高二课时练习）方程（，不全为零），下列说法中正确的是（ ）
A．当时为圆
B．当时不可能为直线
C．当方程为圆时，，满足
D．当方程为直线时，直线方程
39．（2021·全国·高二专题练习）已知的三个顶点的坐标分别为、、，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则圆的方程为（ ）
A．B．
C．D．
三、填空题
40．（2022·山东·济南外国语学校高二期中）在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．
41．（2021·四川·雅安中学高二阶段练习）圆关于直线对称的圆的方程为________
42．（2022·全国·高二课时练习）已知，方程表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______．
43．（2021·天津市第四十七中学高二阶段练习）已知圆的圆心在轴的正半轴上，且圆心到直线的距离为，若点在圆上，则圆的方程为______________________．
44．（2020·内蒙古·宁城县蒙古族中学高二阶段练习（理））已知两定点，如果平面内动点满足条件，则的最大值是_____
四、解答题
45．（2022·全国·高二）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O在圆M上；
（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.
46．（2021·广西·宾阳中学高二）已知圆，
（1）求实数的取值范围；
（2）若直线与圆相交于两点，且，求的值.
47．（2021·山西·天镇县实验中学高二期中）已知圆经过点，，且它的圆心在直线上.
（1）求圆关于直线对称的圆的方程；
（2）若点为圆上任意一点，且点，求线段的中点的轨迹方程.
48．（2021·山东枣庄·高二期中）已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
49．（2022·江苏·高二课时练习）已知圆，直线．
(1)证明：不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C 截得的弦长最小时 l 的方程．位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点M在圆上
|CM|＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点M在圆外
|CM|>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点M在圆内
|CM|
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
D2＋E2－4F>0
表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，以eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆
【答案详解】
1．C
【分析】先求出圆的圆心和半径，再根据对称时对应点的连线与对称轴垂直和其中点再对称轴上列出方程求出圆心坐标即可.
【详解】圆C：的圆心，半径．
设点关于直线的对称点为，
则，
所以圆C关于直线的对称圆的方程为，
故选:C．
2．D
【分析】设圆的方程为，根据题意列出方程组，求得，即可得出答案.
【详解】解：设圆的方程为，
根据题意可得，
解得，
所以该圆的方程为.
故选：D.
3．C
【分析】根据三点在坐标系的位置，确定出是直角三角形，其中是斜边，则有过三点的圆的半径为的一半，圆心坐标为的中点，进而根据圆的标准方程求解.
【详解】由已知得，分别在原点、轴、轴上，
，
经过三点圆的半径为，
圆心坐标为的中点，即，
圆的标准方程为.
故选：C.
4．B
【分析】根据同圆心,可设圆的一般式方程为,代入点即可求解.
【详解】设所求圆的方程为，由该圆过点，得m＝4，
所以所求圆的方程为.
故选：B
5．B
【分析】利用待定系数法进行求解即可.
【详解】设圆的一般方程为，
因为，，在这个圆上，
所以有，
故选：B
6．C
【分析】求出线段的垂直平分线的方程，与直线联立，即可求出圆心，再求出半径即可得出圆的方程.
【详解】线段的中点坐标为，直线的斜率，
则线段的垂直平分线的方程为，即.
由，解得.
所以圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，即.
故选：C.
7．B
【分析】求出表示圆的充要条件，然后可判断出答案.
【详解】若表示圆，则，
解得.
“”是“”表示圆的必要不充分条件，
所以实数的取值范围是.
故选：B
8．B
【分析】根据圆的一般式变形为标准式，进而可得参数范围.
【详解】由，
得，
由该曲线表示圆，
可知，
解得或，
故选：B.
9．B
【分析】根据圆的一般式方程需满足的条件即可直接求出答案.
【详解】因为方程表示圆，所以，解得.
故选：B.
10．D
【分析】设点，求出以为直径的圆的方程，并将圆的方程变形，可求得定点坐标.
【详解】设点，则线段的中点为，
圆的半径为，
所以，以为直径为圆的方程为，
即，即，
由，解得或，
因此，以为直径的圆经过定点坐标为、.
故选：D.
11．A
【分析】把坐标代入圆方程求解．注意检验，方程表示圆．
【详解】将代入圆方程，得，解得或0，
当时，，满足题意；
当时，，不满足题意.
故选：C．
12．（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）圆心的坐标为，则圆心在过点的定直线上；
（2）以为直径的圆过原点，则利用斜率计算即可．
【详解】（1）由题可知圆心的坐标为，
令消去，得.
∵直线过点.
∴圆心在过点的定直线上.
（2）∵以为直径的圆过原点，
∴.
∴，
∴.
即当时，以为直径的圆过原点．
13．C
【分析】由题得圆心的坐标为，解方程即得解.
【详解】解：由题得圆心的坐标为，
因为已知圆关于直线对称，
所以.
故选：C
14．D
【分析】先求得圆关于直线对称的圆的圆心坐标，进而即可得到该圆的方程.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为3
设点关于直线的对称点为，
则 ，解之得
则圆关于直线对称的圆的圆心坐标为
则该圆的方程为，
故选：D．
15．C
【分析】根据题意可得：直线l：x－y＋1＝0经过圆心（－，－1），代入运算解得k＝4，再代入求圆的半径．
【详解】圆＝0的标准方程为（x＋）2＋（y＋1）2＝5＋，
则圆心坐标为（－，－1），半径为
因为点M，N在圆＝0上，且点M，N关于直线l：x－y＋1＝0对称，
所以直线l：x－y＋1＝0经过圆心，
所以－＋1＋1＝0，k＝4．
所以圆的方程为：＝0，圆的半径＝3.
故选：C．
16．(1)
(2)或.
(3)
(4)
【分析】根据已知条件和圆的标准方程、圆的一般方程的特征，利用待定系数法，即可求解.
(1)
解：由题意，圆过点，圆心为，
可得半径，所以圆的方程为.
(2)
解：由题意，圆与两坐标轴都相切，且圆心在直线上，
可设圆心为，则，解得或，
若，则圆心为，半径为，圆的方程为；
若，则圆心为，半径为，圆的方程为，
所以圆的方程为或.
(3)
解：由题意，圆过点，，且圆心在x轴上
可设圆心为，
由，可得，解得，
即圆心坐标为，半径为，
所以圆的方程为.
(4)
解：由题意，圆过点，和原点，
设圆的方程为，
由，解得，
所以圆的方程为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）假设圆心坐标，利用可构造方程求得圆心和半径，由此可得圆方程；
（2）设，根据，由即可得到所求的轨迹方程.
（1）
设圆心，则，
即，解得：，
，又圆心，圆的标准方程为；
（2）
为弦中点，，即，
设，则，，
，
即点的轨迹方程为：.
18．(1)
(2)3
【分析】（1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，从而求出圆心角；
（2）依题意可得，再利用基本不等式计算可得；
(1)
解：∵圆：，即：，圆心为，半径，所以圆的圆心到直线的距离为，∴，∴，∴；
(2)
解：∵直线平分圆，即圆心在直线上，∴，又，
∴.
当且仅当即时等号成立.∴的最小值为3.
19．B
【分析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.
【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为.
故选：B
20．C
【分析】先由标准方程得出圆心，圆关于直线对称则直线过圆心，将圆心代入直线即得结果
【详解】由题，圆心为，圆关于直线对称，则直线过圆心，即，所以.
故选：C
21．B
【分析】设所求圆的方程为，利用点求得，从而确定正确答案.
【详解】依题意，设所求圆的方程为，
由于所求圆过点，所以，
解得，所以所求圆的方程为．
故选：B
22．B
【分析】由题可得，然后利用基本不等式即得.
【详解】圆的圆心为，依题意，点在直线上，
因此，即，
∴，
当且仅当，即时取“=”，
所以的最小值为9.
故选：B.
23．A
【分析】根据反射性质，结合圆的性质、直线斜率公式进行求解即可.
【详解】设点的坐标为，圆的圆心坐标为，
设是x轴上一点，因为反射光线恰好平分圆的圆周，
所以反射光线经过点，
由反射的性质可知：，
于是，所以反射光线所在的直线方程为：
，
故选：A
24．B
【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解
【详解】圆即,半径
因为,所以
又是的中点,所以
所以点的轨迹方程为
故选：B
25．(1)或
(2)
(3)
(4)
【分析】利用待定系数法分别求出（1）、（2）、（3）、（4）的圆的标准方程.
（1）
设圆的标准方程为．
因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圆的标准方程为或．
（2）
设圆的标准方程为，由题意得，；
又因为点在圆上，所以．
所以所求圆的标准方程为．
（3）
设圆心为．
因为圆与直线y=1-x相切于点，所以，
解得a=1．所以所求圆的圆心为，半径．
所以所求圆的方程为．
（4）
设点C为圆心，因为点C在直线上，故可设点C的坐标为．
又该圆经过A、B两点，所以．
所以，解得a=-2，
所以圆心坐标为，半径．
故所求圆的标准方程为．
26．（1）；（2）.
【分析】（1）求得线段垂直平分线的方程，与直线方程联立，求得圆心的坐标，由求得半径，由此求得圆的方程.
（2）设出点坐标，由此求得点坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹方程.
【详解】（1）直线的斜率，
所以的垂直平分线m的斜率为1.
的中点的横坐标和纵坐标分别为，.
因此，直线m的方程为.即.
又圆心在直线上，所以圆心是直线m与直线的交点.联立方程组
，
解得
所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是.
（2）设线段的中点，
M为线段的中点，则，
解得
代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为.
【点睛】本小题主要考查圆的方程的求法，考查动点轨迹方程的求法，属于中档题.
27．C
【分析】按照圆的一般方程满足的条件求解即可.
【详解】或.
故选：C.
28．C
【分析】根据圆关于直线对称，求出圆C的圆心即可求解，由点关于直线对称列出方程即可.
【详解】因为圆的圆心为，
设关于的对称点，
则，解得，
即圆C的圆心为，半径为1，
所以方程为.
故选：C
29．C
【分析】求出线段的中点的坐标即得解.
【详解】解：由题得是直角三角形，且.
所以的外接圆的圆心就是线段的中点，
由中点坐标公式得.
故选：C
30．D
【分析】先判断圆心在直线上，设圆心的坐标为，由半径，列出方程，求出的值，即可得到答案．
【详解】解：因为圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，
所以圆心在直线上，
设圆心的坐标为，
因为该圆的半径为，
则，
解得或，
所以圆心为或，
则圆的方程为或．
故选：D．
31．B
【分析】分析可知，设点关于轴的对称点为，可得出，求出的最大值，即可得解.
【详解】圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为．
，
又，，
．
点关于轴的对称点为，
，
所以，，
故选：B．
32．D
【分析】求出圆心关于的对称点为，则的最小值是．
【详解】解：圆的圆心，半径为 ，圆，圆心，半径为，
圆心关于的对称点为，
解得故
．
故选．
【点睛】本题考查圆的方程，考查点线对称，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．
33．D
【分析】配方，由半径的最小值得参数值，然后求出圆心到原点距离，再加半径可得.
【详解】根据题意，圆，
变形可得．
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时．
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：D．
34．A
【分析】由题意曲线为圆，，且表示曲线上的点到点的距离的平方，结合圆的特征可得点，由此可得
，于是，故，以此为基础并由基本不等式可得所求的最小值．
【详解】曲线可化为，表示圆心为，半径为的圆．，
可以看作点到点的距离的平方，圆上一点到的距离的最大值为，即点是直线与圆的离点最远的交点，
所以直线的方程为，
由，解得或（舍去），
∴当时，取得最大值，且，
∴，
∴，
∴，
当且仅当，且，即时等号成立．
故选A．
【点睛】（1）解题时要注意几何法的合理利用，同时还要注意转化方法的运用，如本题中将
转化为两点间距离的平方，圆上的点到圆外一点的距离的最大值为圆心到该点的距离加上半径等．
（2）利用基本不等式求最值时，若不等式不满足定值的形式，则需要通过“拼凑”的方式，将不等式转化为适合利用基本不等式的形式，然后再根据不等式求出最值．
35．ABCD
【分析】将圆一般方程化为标准方程，可求得圆心和半径，即可判断AC是否正确，再令和，算出弦长可判断BD是否正确.
【详解】由圆的一般方程为，则圆，
故圆心为，半径为，则AC正确；
令，得或，弦长为6，故D正确；
令，得或，弦长为8，故B正确.
故选：ABCD.
【点睛】本题考查了圆的一般方程与标准方程的互化，圆被轴，轴所截的弦长问题，属于基础题.
36．ABD
【分析】求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误，将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程，通过方程的有解与否可判断B、C的正误，
【详解】圆心坐标为，在直线上，A正确；
令，化简得，
∵，∴，无实数根，∴B正确；
由，化简得，
∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误；
由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确．
故选：ABD．
【点睛】本题考查动圆的性质，注意动圆中隐含的确定关系，另外判断动圆是否过确定的点，可转化为方程是否有解来讨论，本题属于中档题.
37．AC
【分析】根据曲线解析式特征画出图形，逐一判断各选项即可.
【详解】曲线：如图所示：
对于A：图形在各个象限的面积相等，在第一象限中的图形，是以为圆心，为半径的圆的一半加一个直角三角形所得，，所以曲线围成图形的面积为,故A正确；
对于B，由图可知，曲线所表示的图形对称轴有轴，轴，直线，直线四条，故B错误；
对于C，由图可知，曲线所表示的图形是关于原点对称的中心对称图形，故C正确；
对于D，曲线的图形不是一个圆，故D错误.
故选：AC
38．ACD
【分析】对于A、B、D可直接代值确定，对于C，展开化简，根据圆的方程的特点判断.
【详解】对于A，由题可得 或，代入得或，都是圆，故A对；对于B，当时，化简得是直线，故B错；对于C，原式可化为，要表示圆，则必有，故C对；对于D，只有时，方程表示直线，故D对.
故选：ACD.
39．AD
【解析】根据三角形的三点坐标，确定坐标原点到三边的距离，以及到三个顶点的距离，结合题中条件，即可确定圆的半径，从而可得圆的方程.
【详解】依题意，直线的方程为，化为一般式方程：，
点到直线的距离，
又直线的方程为，直线的方程为，
因此点到直线的距离为，到直线的距离为，
当以原点为圆心的圆与直线相切时，能满足圆与此三角形有唯一公共点；
此时圆的半径为，所以圆的方程为；
又，，，
由以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，可得圆可以与三角形交于点，
即圆的半径为，则圆的方程为.
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键在于，根据三角形与圆的交点个数，分圆与三角形一边相切，或圆过三角形的一点这两种情况进行讨论，即可求出结果.
40．
【详解】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.
详解：设圆的方程为，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：
，解得：，则圆的方程为.
点睛：求圆的方程，主要有两种方法：
(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．
(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．
41．
【分析】求出的圆心关于直线的对称点可得对称圆的圆心，又两圆的半径相等，由此可得所求圆的方程.
【详解】圆的圆心为，半径为2，
设关于直线的对称点为，
则，解得.
，则圆关于直线对称的圆的方程为.
故答案为：.
【点睛】本题考查了求圆关于直线对称的圆的方程，属于基础题.
42． ； 5．
【详解】试题分析：由题意，知，，当时，方程为，即，圆心为，半径为5，当时，方程为，不表示圆．
圆的标准方程.
由方程表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．
43．
【解析】先由题意，设圆的圆心为，由点到直线距离求出圆心坐标，再由圆上的点求出半径，进而可求出圆的方程.
【详解】由题意，设圆的圆心为，
因为圆心到直线的距离为，
所以，解得，即圆心坐标为；
又点在圆上，
所以半径为，
因此圆的方程为.
故答案为：.
44．
【解析】设动点坐标，再由几何条件，可得轨迹方程，进一步可得所求解.
【详解】设，由，
可得，
整理得: ，即
所以（表示中边上的高），
显然，所以最大值为.
故答案为:.
【点睛】本题为用轨迹的方法求三角形面积最大值，属于难题.
常用求轨迹的方法：
①定义法：根据题目所给的几何条件判断动点满足哪类常见轨迹，确定相应基本量得出方程；
②参数法：找出动点纵横坐标与第三变量的关系，消参后得出方程；
③转译法：找出动点与相关点的坐标关系，利用相关点的方程得出动点的轨迹方程；
④几何法：建系设点，由题设所给出的几何等式，转化为代数等式，整理可得方程.
45．(1)证明见解析；(2) ， 或， .
【详解】（1）设，.
由 可得，则.
又，故.
因此的斜率与的斜率之积为，所以.
故坐标原点在圆上.
（2）由（1）可得.
故圆心的坐标为，圆的半径.
由于圆过点，因此，故，
即，
由（1）可得.
所以，解得或.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.
当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆 的方程为.
【名师点睛】直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；在解决直线与抛物线的位置关系时，要特别注意直线与抛物线的对称轴平行的特殊情况.中点弦问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证或说明中点在曲线内部.
46．（1）；（2）
【分析】（1）将圆配凑成标准方程，利用，解出即可．
（2）设出直线，联立方程，利用韦达定理求出，再计算出，由，即，解出即可．
【详解】解：（1）配方得,所以,即.
（2）设，，所以，
由得，
因为直线与圆相交于两点,所以,即.
易得，
，
从而由得，
解得，满足且，所以的值为.
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，考查韦达定理及运算能力，属于基础题．
47．（1）；
（2）.
【分析】（1）设出圆的圆心坐标，然后题意列出方程，解出圆的半径，得到圆的方程；再解出点关于直线的对称点坐标，写出对称圆的方程.
（2）利用相关点法，设点，，设法用含的式子表示点的坐标，然后将点代入圆方程即可得到点的轨迹方程.
【详解】解析（1）由已知可设圆心，又由已知得，
从而有，解得，
所以圆的圆心为，半径，
所以圆的方程为，
圆心关于的对称点为，
所以圆关于直线对称的圆的方程为.
（2）设，，则由及为线段的中点得，
，解得.
又点在圆上，所以，即，
故所求的轨迹方程为:.
【点睛】本题考查圆的方程求解，圆关于直线的对称圆以及点的轨迹方程问题，其中轨迹方程问题难度稍大，注意相关点法的运用.
48．（1）；（2）或．
【解析】（1）利用点到直线的距离可得：圆心到直线的距离．根据直线与圆相切，可得．即可得出圆的标准方程．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，即：，可得圆心到直线的距离，又，可得：．即可得出直线的方程．②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得可得弦长，即可验证是否满足条件．
【详解】（1）圆心到直线的距离．
直线与圆相切，．
圆的标准方程为：．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，
即：，，又，．
解得：．
直线的方程为：．
②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．
综上所述的方程为：或．
【点睛】本题考查直线与圆的相切的性质、点到直线的距离公式、弦长公式、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
49．(1)证明见解析；
(2).
（1）
直线化为，
则，解得，
所以直线 l 恒过定点，
圆心，半径，
又因，
所以点在圆C内，
所以不论m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；
（2）
当直线 l 所过的定点为弦的中点，即时，直线 l 被圆截得的弦长最短，
最短弦长为，
，所以直线 l 的斜率为2，
即，解得，
所以直线 l 的方程为.
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