人教A版 (2019)选择性必修第一册1.2 空间向量基本定理精品达标测试

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这是一份人教A版 (2019)选择性必修第一册1.2 空间向量基本定理精品达标测试，共11页。试卷主要包含了概念，表示，运算，共线，方向向量等内容，欢迎下载使用。

A：基础总分100分

基础知识检测部分（每空1分，共25分）

1、概念

2、表示

空间向量可以用a,b,c…表示，也用有向线段表示，有向线段的表示向量的模，向量a的起点是A，终点是B，则向量a也可记作eq \(AB,\s\up6(→))，其模记为 .

3、运算

a＋b=eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＝________；

a- b＝eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→))＝________.

当λ>0时，λa=eq \(OA,\s\up7(→))= ；当λ<0时，λa=eq \(OA,\s\up7(→))= ；λ＝0时，λa＝0

运算律：交换律 a＋b＝ ______；结合律(a＋b)＋c＝ .

分配律λ(a＋b)＝， (λ＋μ)a＝。

4、共线

(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.

(2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使_______.

5、方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的成为直线l的方向向量。也就是说直线可以由其一点和它的方向向量确定。

共面向量

定义：平行于________________的向量叫做共面向量.

= 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I、证明空间三个向量共面，常用如下方法：

(1)若a＝xb＋yc，则向量a，b，c ；

(2)寻找平面α，证明这些向量与平面α平行.

= 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II、对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面：

(1)eq \(MP,\s\up7(→))＝xeq \(MA,\s\up7(→))＋yeq \(MB,\s\up7(→))；(2)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))＋xeq \(MA,\s\up7(→))＋yeq \(MB,\s\up7(→))；

(3)对空间任一点O，eq \(OP,\s\up7(→))＝xeq \(OA,\s\up7(→))＋yeq \(OB,\s\up7(→))＋zeq \(OC,\s\up7(→))(x＋y＋z＝1)；

(4)eq \(PM,\s\up7(→))∥eq \(AB,\s\up7(→))(或eq \(PA,\s\up7(→))∥eq \(MB,\s\up7(→))，或eq \(PB,\s\up7(→))∥eq \(AM,\s\up7(→))).

二、基础训练（第一题10分，第二三题每题5分，共20分）

1、判断正错（每空2分）

(1)零向量没有方向．( )

(2)有向线段都可以表示向量，向量都可以用有向线段表示．( )

(3)平面内所有的单位向量是相等的．( )

(4)空间中，将单位向量起点放在一起，其终点组成的图形是球．( )

(5)任何两个向量均不可以比较大小( )

2、在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量eq \(AD,\s\up7(→))相等的向量共有( )

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

3.已知空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(→))＝a，eq \(CB,\s\up7(→))＝b，eq \(AD,\s\up7(→))＝c，则eq \(CD,\s\up7(→))等于( )

A.a＋b－c B.－a－b＋c

C.－a＋b＋cD.－a＋b－c

三、能力训练（第一至五题每题5分，其它15分）

1、给出下列命题：

①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCDA1B1C1D1中，eq \(AC,\s\up7(→))＝eq \(A1C1,\s\up7(→))；

③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；

④在四边形ABCD中，必有eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(AD,\s\up7(→))＝eq \(AC,\s\up7(→)).

其中正确命题的序号是________.

2、下列关于空间向量的说法中正确的是( )

A．若向量a，b平行，则a，b所在直线平行

B．若|a|＝|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反

C．若向量eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(CD,\s\up6(→))满足|eq \(AB,\s\up6(→))|＞|eq \(CD,\s\up6(→))|，则eq \(AB,\s\up6(→))＞eq \(CD,\s\up6(→))

D．相等向量其方向必相同

3、如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量eq \(AA′,\s\up7(→))相等的向量有___ _____；与向量eq \(A′B′,\s\up7(→))相反的向量有_ _.(要求写出所有适合条件的向量)

4、在如图所示的平行六面体中，求证：eq \(AC,\s\up6(→))＋eq \(AB′,\s\up6(-→))＋eq \(AD′,\s\up6(-→))＝2eq \(AC′,\s\up6(-→)).

5、已知正方体ABCDA′B′C′D′，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值.

(1)eq \(BD′,\s\up7(→))＝xeq \(AD,\s\up7(→))＋yeq \(AB,\s\up7(→))＋zeq \(AA′,\s\up7(→))；(2)eq \(AE,\s\up7(→))＝xeq \(AD,\s\up7(→))＋yeq \(AB,\s\up7(→))＋zeq \(AA′,\s\up7(→)).

6、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心.试用向量方法证明E，F，G，H四点共面.

7、如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝eq \f(1,3)BD，AN＝eq \f(1,3)AE.求证：向量eq \(MN,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))，eq \(DE,\s\up7(→))共面.

B巩固测试（第一至六题每题6分，其它7分）

巩固提升训练

1.下列说法：

①若两个空间向量相等，则表示它们有向线段的起点相同，终点也相同；

②若向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))满足|eq \(AB,\s\up7(→))|＞|eq \(CD,\s\up7(→))|，且eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))同向，则eq \(AB,\s\up7(→))＞eq \(CD,\s\up7(→))；

③若两个非零向量eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))满足eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝0，则eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))为相反向量；

④eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合.

其中错误的个数为( )

A.1 B.2 C.3 D.4

2．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( )

A．a＝b B．a＋b为实数0

C．a与b方向相同 D．|a|＝3

3．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→))，若eq \(AE,\s\up6(→))＝xeq \(AA1,\s\up6(→))＋y(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))，则( )

A．x＝1，y＝eq \f(1,2) B．x＝eq \f(1,2)，y＝1

C．x＝1，y＝eq \f(1,3) D．x＝1，y＝eq \f(1,4)

4．如图所示，空间四边形OABC中，eq \(OA,\s\up6(→))＝a，eq \(OB,\s\up6(→))＝b，eq \(OC,\s\up6(→))＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则eq \(MN,\s\up6(→))等于( )

A．eq \f(1,2)a－eq \f(2,3)b＋eq \f(1,2)cB．－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c

C．eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b－eq \f(1,2)cD．－eq \f(2,3)a＋eq \f(2,3)b－eq \f(1,2)c

5、如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1，则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中：

①单位向量共有多少个？②试写出模为eq \r(5)的所有向量．

③试写出与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量．④试写出向量eq \(AA′,\s\up6(--→))的所有相反向量．

6.如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设eq \(OA,\s\up7(→))＝a，eq \(OB,\s\up7(→))＝b，eq \(OC,\s\up7(→))＝c，试用a，b，c表示向量eq \(OG,\s\up7(→)).

7、如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且eq \(CF,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(→))，eq \(CG,\s\up7(→))＝eq \f(2,3)eq \(CD,\s\up7(→)).求证：四边形EFGH是梯形.

8、已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足eq \(OM,\s\up7(→))＝eq \f(1,3)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→)).

(1)判断eq \(MA,\s\up7(→))，eq \(MB,\s\up7(→))，eq \(MC,\s\up7(→))三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内.

【巩固提升参考答案】

1. C【解析】①错误.两个空间向量相等，其模相等且方向相同，但与起点和终点的位置无关.

②错误.向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小.

③正确.eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(CD,\s\up7(→))＝0，得eq \(AB,\s\up7(→))＝－eq \(CD,\s\up7(→))，且eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))为非零向量，所以eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(CD,\s\up7(→))为相反向量.

④错误.由eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \(CD,\s\up7(→))，知|eq \(AB,\s\up7(→))|＝|eq \(CD,\s\up7(→))|，且eq \(AB,\s\up7(→))与eq \(CD,\s\up7(→))同向，但A与C，B与D不一定重合.

2、D 【解析】向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反，故选D.

3．D 【解析】 eq \(AE,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \(A1E,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)eq \(A1C1,\s\up6(→))＝eq \(AA1,\s\up6(→))＋eq \f(1,4)(eq \(AB,\s\up6(→))＋eq \(AD,\s\up6(→)))．所以x＝1，y＝eq \f(1,4)．

4、B【解析】 eq \(MN,\s\up6(→))＝eq \(ON,\s\up6(→))－eq \(OM,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) (eq \(OB,\s\up6(→))＋eq \(OC,\s\up6(→)))－eq \f(2,3)eq \(OA,\s\up6(→)) ＝－eq \f(2,3)a＋eq \f(1,2)b＋eq \f(1,2)c．

5、解 ①由于长方体的高为1，所以长方体的四条高所对应的向量eq \(AA′,\s\up6(--→))，eq \(A′A,\s\up6(--→))，eq \(BB′,\s\up6(--→))，eq \(B′B,\s\up6(---→))，eq \(CC′,\s\up6(---→))，eq \(C′C,\s\up6(---→))，eq \(DD′,\s\up6(---→))，eq \(D′D,\s\up6(---→))，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共有8个．

②由于长方体的左右两侧面的对角线长均为eq \r(5)，故模为eq \r(5)的向量有eq \(AD′,\s\up6(---→))，eq \(D′A,\s\up6(----→))，eq \(A′D,\s\up6(---→))，eq \(DA′,\s\up6(---→))，eq \(BC′,\s\up6(----→))，eq \(C′B,\s\up6(----→))，eq \(B′C,\s\up6(----→))，eq \(CB′,\s\up6(---→)).

③与向量eq \(AB,\s\up6(→))相等的所有向量(除它自身之外)有eq \(A′B′,\s\up6(----→))，eq \(DC,\s\up6(→))及eq \(D′C′,\s\up6(----→)).

④向量eq \(AA′,\s\up6(---→))的相反向量有eq \(A′A,\s\up6(---→))，eq \(B′B,\s\up6(---→))，eq \(C′C,\s\up6(---→))，eq \(D′D,\s\up6(---→)).

6. 解：eq \(OG,\s\up7(→))＝eq \(OM,\s\up7(→))＋eq \(MG,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \(MN,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)(eq \(MA,\s\up7(→))＋eq \(AB,\s\up7(→))＋eq \(BN,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)\(OA,\s\up7(→))＋\(OB,\s\up7(→))－\(OA,\s\up7(→))＋\f(1,2)\(BC,\s\up7(→))))＝eq \f(1,2)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(2,3)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\(OB,\s\up7(→))－\f(1,2)\(OA,\s\up7(→))＋\f(1,2)(\(OC,\s\up7(→))－\(OB,\s\up7(→)))))＝eq \f(1,6)eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \f(1,3)eq \(OC,\s\up7(→))＝eq \f(1,6)a＋eq \f(1,3)b＋eq \f(1,3)c.

7、解：∵E，H分别是AB，AD的中点，

∴eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AH,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))，

则eq \(EH,\s\up7(→))＝eq \(AH,\s\up7(→))－eq \(AE,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(→))－eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)eq \(BD,\s\up7(→))＝eq \f(1,2)(eq \(CD,\s\up7(→))－eq \(CB,\s\up7(→)))＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)\(CG,\s\up7(→))－\f(3,2)\(CF,\s\up7(→))))＝eq \f(3,4)(eq \(CG,\s\up7(→))－eq \(CF,\s\up7(→)))＝eq \f(3,4)eq \(FG,\s\up7(→))，

∴eq \(EH,\s\up7(→))∥eq \(FG,\s\up7(→))且|eq \(EH,\s\up7(→))|＝eq \f(3,4)|eq \(FG,\s\up7(→))|≠|eq \(FG,\s\up7(→))|.

又F不在直线EH上，

∴四边形EFGH是梯形.

8、解：如图：

(1)由已知，得eq \(OA,\s\up7(→))＋eq \(OB,\s\up7(→))＋eq \(OC,\s\up7(→))＝3eq \(OM,\s\up7(→))，∴eq \(OA,\s\up7(→))－eq \(OM,\s\up7(→))＝(eq \(OM,\s\up7(→))－eq \(OB,\s\up7(→)))＋(eq \(OM,\s\up7(→))－eq \(OC,\s\up7(→)))，∴eq \(MA,\s\up7(→))＝eq \(BM,\s\up7(→))＋eq \(CM,\s\up7(→))＝－eq \(MB,\s\up7(→))－eq \(MC,\s\up7(→)).∴向量eq \(MA,\s\up7(→))，eq \(MB,\s\up7(→))，eq \(MC,\s\up7(→))共面.

(2)由(1)知，向量eq \(MA,\s\up7(→))，eq \(MB,\s\up7(→))，eq \(MC,\s\up7(→))共面，表明三个向量的有向线段又过同一点M，

∴M，A，B，C四点共面，∴点M在平面ABC内.

名称
定义
空间向量
在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的______
单位向量
长度或模为______的向量
零向量
______的向量
相等向量
方向______且模______的向量
相反向量
______相反且______相等的向量