高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理第1课时导学案

§1.2　空间向量基本定理

第1课时　空间向量基本定理

学习目标　 1.掌握空间向量基本定理. 2.会用空间向量基本定理对向量进行分解 .

知识点一　空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.

我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．

思考　零向量能否作为基向量？

答案　不能. 零向量与任意两个向量a，b都共面．

知识点二　空间向量的正交分解

1．单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．

2．向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．

1．只有两两垂直的三个向量才能作为空间的一个基底．(　×　)

2．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量．(　√　)

3．如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线．(　√　)

4．对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组(x，y，z)，使0＝xa1＋ya2＋za3.(　×　)

一、空间的基底

例1　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．

解　假设，，共面．

则存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，

∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)

＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，

∵e1，e2，e3不共面，

∴此方程组无解，

∴，，不共面，

∴{，，}可以作为空间的一个基底．

反思感悟　基底的判断思路

(1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面，就可以作为一个基底．

(2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断．

跟踪训练1　(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{b，c，z}，③{x，y，a＋b＋c}，其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　)

A．1个   B．2个

C．3个   D．0个

答案　B

解析　因为x＝a＋b，所以向量x，a，b共面．

如图，

令a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，

a＋b＋c＝.

可知向量b，c，z和x，y，a＋b＋c不共面，故选B.

(2)已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＋y＝________.

答案　0

解析 因为m与n共线，所以xa＋yb＋c＝z(a－b＋c)．

所以

所以

所以x＋y＝0.

二、空间向量基本定理

例2　如图，在三棱柱ABC －A′B′C′中，已知＝a，＝b，＝c，点M，N分别是BC′，B′C′的中点，试用基底{a，b，c}表示向量，.

解　连接A′N(图略)．

＝＋＝＋(＋)

＝＋＋＝＋(－)＋

＝＋＋＝(a＋b＋c)．

＝＋＝＋(＋)

＝＋(＋)＝a＋b＋c.

延伸探究

若把本例中“＝a”改为“＝a”，其他条件不变，则结果是什么？

解　因为M为BC′的中点，N为B′C′的中点，

所以＝(＋)

＝a＋b.

＝(＋)

＝(＋＋)

＝＋＋

＝＋(－)＋

＝＋－

＝b＋a－c.

反思感悟　 用基底表示向量的步骤

(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底．

(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果．

(3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量．

跟踪训练2　如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示，，，.

解　连接BO，

则＝＝(＋)

＝(＋＋)

＝(c－b－a)

＝－a－b＋c.

＝＋＝－a＋

＝－a＋(＋)

＝－a－b＋c.

＝＋＝＋＋(＋)

＝－a＋c＋(－c＋b)＝－a＋b＋c.

＝＝＝a.

1．下列结论错误的是(　　)

A．三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面

B．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

C．若a，b是两个不共线的向量，且c＝λa＋μb(λ，μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底

D．若，，不能构成空间的一个基底，则O，A，B，C四点共面

答案　C

解析　由基底的概念可知A，B，D正确，对于C，因为满足c＝λa＋μb，所以a，b，c共面，不能构成基底，故错误．

2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　)

A．3a，a－b，a＋2b   B．2b，b－2a，b＋2a

C．a，2b，b－c   D．c，a＋c，a－c

答案　C

解析　对于A，有3a＝2(a－b)＋a＋2b，则3a，a－b，a＋2b共面，不能作为基底；同理可判断B，D中的向量共面．故选C.

3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，可以作为空间一个基底的是(　　)

A.，，   B.，，

C.，，   D.，，

答案　C

解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，只有C中的三个向量，，不共面，可以作为空间的一个基底．

4．正方体ABCD－A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{，，}为基底，＝x＋y＋z，则(　　)

A．x＝y＝z＝   B．x＝y＝z＝1

C．x＝y＝z＝   D．x＝y＝z＝2

答案　B

解析　＝＋＝＋＋＝＋＋

＝(＋)＋(＋)＋(＋)

＝＋＋＝＋＋，

对比＝x＋y＋z，得x＝y＝z＝1.

5．在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)

答案　a＋b＋c

解析　＝＋＝＋×(＋)＝＋×(－＋－)

＝＋＋＝a＋b＋c.

1．知识清单：

(1)空间的基底．

(2)空间向量基本定理．

2．方法归纳：

转化化归．

3．常见误区：

(1)基向量理解错误，没有注意到基向量的条件．

(2)运算错误：利用基底表示向量时计算要细心．

1．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分又不必要条件

答案　B

解析　当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底，

当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．

因此p⇏q，q⇒p.

2．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是(　　)

A.＝＋＋

B.＝＋

C.＝＋＋

D.＝2－

答案　C

解析　对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)⇒M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C.

3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为(　　)

A．a－b＋2c

B．a－b－2c

C．－a＋b＋c

D.a－b＋c

答案　D

解析　＝＋＝＋

＝＋(－)＝a－b＋c.

4．已知{a，b，c}是空间的一个基底，若p＝a＋b，q＝a－b，则(　　)

A．a，p，q是空间的一组基底

B．b，p，q是空间的一组基底

C．c，p，q是空间的一组基底

D．p，q与a，b，c中的任何一个都不能构成空间的一组基底

答案　C

解析　假设c＝k1p＋k2q，即c＝k1(a＋b)＋k2(a－b)，得(k1＋k2)a＋(k1－k2)b－c＝0，

这与{a，b，c}是空间的一个基底矛盾，故c，p，q是空间的一组基底，故选C.

5.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，＝b，则下列向量与相等的是(　　)

A．－a＋b＋c

B.a＋b＋c

C．－a－b＋c

D.a－b＋c

答案　A

解析　＝＋＝＋(＋)

＝＋(＋)

＝(－a＋b)＋c＝－a＋b＋c.

6．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以{，，}为基底，则＝________.

答案　－－＋

解析　设AC的中点为F，则＝＋＝＋＝－×(＋)＋

＝－(－2)＋(－)

＝－－＋.

7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，用，，作为基向量，则＝____________.

答案　(＋＋)

解析　∵2＝2＋2＋2＝(＋)＋(＋)＋(＋)＝＋＋，

∴＝(＋＋)．

8.如图所示，已知PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中点，且PA＝AD＝1，四边形ABCD为正方形，以{，，}为基底，则＝________.

答案　＋

解析　＝＋＋

＝＋＋(＋＋)

＝－＋＋(＋＋)

＝＋.

9．已知平行六面体OABC－O′A′B′C′，且＝a，＝b，＝c.

(1)用a，b，c表示向量；

(2)设G，H分别是侧面BB′C′C和O′A′B′C′的中心，用a，b，c表示.

解　(1)＝＋＝－＋＝b＋c－a.

(2)＝＋＝－＋

＝－(＋)＋(＋)

＝－(a＋b＋c＋b)＋(a＋b＋c＋c)＝(c－b)．

10.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．

(1)用基底{a，b，c}表示向量，，；

(2)化简＋＋，并在图中标出化简结果．

解　(1)＝＋＝＋－＝a－b＋c.

＝＋＋＝－a＋b＋c.

＝＋＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c.

(2)＋＋＝＋(＋)＝＋＝＋＝.

如图，连接DA1，则即为所求．

11．点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　)

A．－，，   B.，－，

C．－，，－   D．－，－，

答案　D

解析　取PC的中点E，连接NE，

则＝－＝－(－)＝－＝－

＝－－(－＋＋)＝－－＋，

比较知x＝－，y＝ －，z＝，故选D.

12.如图，点M为OA的中点，{，，}为空间的一个基底，＝x＋y＋z，则有序实数组(x，y，z)＝________.

答案　

解析　＝－＝－，所以有序实数组(x，y，z)＝.

13．已知四面体ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，AC，BD的中点分别为E，F，则＝________.(用a，b，c表示)

答案　3a＋3b－5c

解析　如图所示，取BC的中点G，连接EG，FG，

则＝－＝－＝＋

＝(5a＋6b－8c)＋(a－2c)＝3a＋3b－5c.

14．如图，已知空间四边形OABC，M，N分别是边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，设＝a，＝b，＝c，则向量＝________.(用a，b，c表示)

答案　a＋b＋c

解析　＝＋＝＋

＝＋(＋＋)

＝＋

＝＋

＝＋＋＝a＋b＋c.

15．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为(　　)

A.   B. 

C.   D.

答案　A

解析　如图所示，连接AG1交BC于点E，则点E为BC的中点，

＝(＋)

＝(－2＋)，

＝

＝(－2＋)，

∵＝3＝3(－)，

∴＝＝(＋)

＝

＝＋＋，故选A.

16.如图所示，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示向量.

解　因为＝＋＝＋

＝＋(－)＝＋

＝＋×(＋)＝(a＋b＋c)，

又＝＝×(＋)＝(b＋c)，

所以＝－＝(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.