人教A版高中数学必修第二册微专题强化练3答案

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微专题强化练(三)1．A　[作AO⊥BD交BD于点O，∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD.∵PA∩AO＝A，∴BD⊥平面PAO，∴PO⊥BD，∴∠AOP即为所求二面角A-BD-P的大小．∵AO＝AB·ADBD＝125，∴tan ∠AOP＝APAO＝33，故二面角A-BD-P的大小为30°．]2．A　[如图，取B1D1中点E，O为底面ABCD中心，易得∠AEO是二面角A-B1D1-B的平面角．又因正方体的棱长为1，所以B1D1＝B1A＝AD1＝2，所以AE＝62.又OE＝BB1＝1，所以cos ∠AEO＝OEAE＝63，即二面角A-B1D1-B的余弦值为63，故选A．]3．D　[设棱长为a，BC的中点为E，连接A1E，AE(图略)，由正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都相等，可得A1E⊥BC，AE⊥BC，所以二面角A1-BC-A的平面角为∠A1EA，在等边△ABC中，AE＝32a，所以tan ∠A1EA＝AA1AE＝a32a＝233，即二面角A1-BC-A的平面角的正切值为233．]4．C　[因为AD是等腰直角三角形ABC斜边BC上的高，所以BD＝DC＝22AC，即BD′＝DC＝22AC且B′D⊥AD，CD⊥AD，因此∠B′DC是所求二面角的平面角．因为∠B′AC＝60°，AB′＝AC，连接B′C(图略)，则△B′AC是等边三角形，因此B′C＝AB′＝AC，所以在△B′DC中，B′D2＋DC2＝B′C2，所以∠B′DC＝90°.故选C．]5．B　[如图，过点A作AE∥BD且AE＝BD，连接CE，DE，则AE⊥AB，即∠CAE为二面角的平面角，由题意，得AE＝BD＝8 cm，AC＝6 cm，∵AB⊥AC，AB⊥AE，AC∩AE＝A，AC，AE⊂平面ACE，∴AB⊥平面ACE，∴AB⊥CE，又∵DE∥AB，∴DE⊥CE，∴CE2＝CD2－ED2＝52，由余弦定理，得cos ∠CAE＝AE2+AC2-CE22AE·AC＝64+36-522×8×6＝12，则∠CAE＝60°，即这个二面角的度数为60°．]6．60°　[如图，取AB的中点E，CD的中点F，连接VE，EF，VF，由题意知，AB⊥VE，AB⊥EF，所以∠VEF为二面角V-AB-C的平面角．易知△VEF为正三角形，所以∠VEF＝60°．]7．63　[如图，过点P作PE⊥β，垂足为E，过E作EF⊥AB，垂足为F，连接OE，PF，则∠POE为直线PO与平面β所成的角，∠PFE为二面角α-AB-β的平面角．设OP＝2a，则在Rt△PEO中，由∠POE＝45°，可得PE＝a.在Rt△PFO中，由∠POF＝60°，可得PF＝2a·sin 60°＝62a.在Rt△PEF中，sin∠PFE＝PEPF＝a62a＝63，即二面角α-AB-β的正弦值为63．]8．77　[连接OO′，过点F作FM⊥OB，垂足为点M，则有FM∥OO′.又OO′⊥平面ABC，所以FM⊥平面ABC，可得FM＝FB2-BM2＝3.过点M作MN⊥BC，垂足为点N，连接FN，可得FN⊥BC，从而∠FNM为二面角F-BC-A的平面角．又AB＝BC，AC是圆O的直径，所以MN＝BMsin 45°＝62.从而FN＝422，可得cos ∠FNM＝77.所以二面角F-BC-A的余弦值为77．]9．解：如图，过A作AF⊥BD，F为垂足，作AE⊥平面α，E为垂足，连接EF，CE，∵BD⊂α，∴AE⊥BD，又AE∩AF＝A，∴BD⊥平面AEF，∴BD⊥EF，∴∠AFE为二面角α-BD-β的平面角．依题意∠ACF＝45°，∠ACE＝30°，设AC＝2，∴AF＝CF＝2，AE＝1，∴sin ∠AFE＝AEAF＝12＝22，∴∠AFE＝45°.∴二面角α-BD-β的大小为45°.10．解：(1)证明：在三棱柱ABC-A1B1C1中，∵CC1⊥平面ABC，∴四边形A1ACC1为矩形．又E，F分别为AC，A1C1的中点，∴AC⊥EF.∵AB＝BC，∴AC⊥BE.又EF∩BE＝E，EF，BE⊂平面BEF，∴AC⊥平面BEF.(2)如图，连接ED，∵BE⊥AC，BE⊥CC1，CC1∩AC＝C，∴BE⊥平面ACC1A1，∴△BCD在平面ACD上的射影为△ECD.∴S△ECD＝12×EC×DA＝12.又∵在△BDC中，BC＝DC＝5，BD＝6，∴S△BDC＝12×6×142＝212.设平面BCD与平面ACD所成的二面角为θ，则cos θ＝S△ECDS△BCD＝12212＝2121，又∵二面角B-CD-C1的平面角是二面角A-CD-B的平面角的补角，∴二面角B-CD-C1的余弦值为－2121.