人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）学案设计

这是一份人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）学案设计，文件包含452《用二分法求方程的近似解》导学案教师版docx、452《用二分法求方程的近似解》导学案学生版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共7页， 欢迎下载使用。

一．学习目标
1.探索用二分法求方程近似解的思路并会画程序框图
2.能借助计算工具用二分法求方程的近似解（重点）
3.了解用二分法求方程近似解具有一般性（难点）
二．自主预习（基础部分和要点部分：预习内容和预习题）
学生阅读课本，预习用二分法求方程的近似解
三．课堂导学

知识点一 二分法
提醒 用二分法只能求变号零点,即零点左右两侧的函数值的符号相反,比如y＝x2,该函数有零点为0,但不能用二分法求解.
知识点二 二分法求函数零点近似值的步骤
提醒 二分法求函数零点近似值口诀
定区间,找中点,中值计算两边看;
同号去,异号算,零点落在异号间;
周而复始怎么办?精确度上来判断.
1.下列函数图象与x轴均有公共点,其中能用二分法求零点的是( )
解析:C 只有选项C中零点左右的函数值符号相反,且函数的图象连续不断,可以利用二分法求解.
2.用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x-1的零点时,第一次经计算得f(0)＜0,f(0.5)＞0,可得其中一个零点x0∈ ,第二次应计算 .
答案:(0,0.5) f(0.25)
四．典例分析、举一反三
题型一 二分法概念的理解
【例1】 (1)已知函数f(x)的图象如图所示,其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A.4,4 B.3,4 C.5,4 D.4,3
(2)(多选)下列函数中,能用二分法求函数零点的有( )
A.f(x)＝3x-1 B.f(x)＝x2-2x＋1 C.f(x)＝4x D.f(x)＝ex-2
解析 (1)图象与x轴有4个交点,所以零点的个数为4;左右函数值异号的零点有3个,所以可以用二分法求解的个数为3,故选D.
(2)f(x)＝x2-2x＋1＝(x-1)2,f(1)＝0,当x＜1时,f(x)＞0;当x＞1时,f(x)＞0,在零点两侧函数值同号,不能用二分法求零点,其余选项中函数的零点两侧的函数值异号.故选A、C、D.
答案 (1)D (2)ACD
练1-1. 在用二分法求函数f(x)零点的近似值时,第一次所取的区间是[-2,4],则第三次所取的区间可能是( )
A.[1,4] B.[-2,1] C.-2,52 D.-12,1
解析:D ∵第一次所取的区间是[-2,4],∴第二次所取的区间可能为[-2,1],[1,4],∴第三次所取的区间可能为-2,-12,-12,1,1,52,52,4.
题型二 用二分法求方程的近似解
【例2】 用二分法求方程2x3＋3x-3＝0的一个正实数近似解.(精确度为0.1)
解 令f(x)＝2x3＋3x-3,
经计算,f(0)＝-3＜0,f(1)＝2＞0,f(0)·f(1)＜0,
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点,
即方程2x3＋3x-3＝0在(0,1)内有解.
取(0,1)的中点0.5,经计算f(0.5)＜0,又f(1)＞0,
所以方程2x3＋3x-3＝0在(0.5,1)内有解.
如此继续下去,得到方程的正实数根所在的区间,如表:
由于｜0.687 5-0.75｜＝0.062 5＜0.1,所以0.75可作为方程的一个正实数近似解.
(变条件)若本例中的“精确度为0.1”换为“精确度为0.05”结论又如何?
解:在本例的基础上,取区间(0.687 5,0.75)的中点x＝0.718 75,因为f(0.718 75)＜0,f(0.75)＞0且｜0.718 75-0.75｜＝0.031 25＜0.05,所以x＝0.72可作为方程的一个近似解.
练2-1. 用二分法求方程x2-2x-1＝0的正解的近似值(精确度为0.1).
解:设f(x)＝x2-2x-1.因为f(2)＝-1＜0,f(3)＝2＞0,又f(x)在(2,3)内单调递增,所以在区间(2,3)内,方程x2-2x-1＝0有唯一实数根,记为x0.取区间(2,3)的中点x1＝2.5,因为f(2.5)＝0.25＞0,所以x0∈(2,2.5).再取区间(2,2.5)的中点x2＝2.25,因为f(2.25)＝-0.437 5＜0,所以x0∈(2.25,2.5).同理可得,x0∈(2.375,2.5),x0∈(2.375,2.437 5).因为｜2.375-2.437 5｜＝0.062 5＜0.1,故方程x2-2x-1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.437 5.
题型三 二分法的实际应用
【例3】在一个风雨交加的夜晚,从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障,这是一条长为10 km,大约有200根电线杆的线路,试用二分法思想设计一个能迅速查出故障所在的方案,维修线路的工人师傅至多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100 m范围内)?
解 如图,工人师傅首先从中点C检测,用随身带的话机向两端测试,发现AC段正常,可见故障在BC段;再从线段BC的中点D检测,发现BD段正常,可见故障在CD段;再从CD段的中点E检测;…,由此类推,每查一次,可以把待查的线路长度缩减一半,可以算出经过n次检测,所剩线路的长度为10 0002n m,则有10 0002n≤100,即2n≥100,又26＝64,27＝128,故至多检测7次就能找到故障地点所在区域.
练3-1. 一块电路板的AB段之间有60个串联的焊接点,知道电路不通的原因是焊口脱落造成的,要想用二分法的思想检测出哪处焊口脱落,则至多需要检测( )
A.4次 B.6次 C.8次 D.30次
解析:B 第一次,可去掉30个结果,从剩余的30个中继续二分法;第二次,可去掉15个结果,从剩余的15个中继续二分法;第三次,可去掉7或8个结果,考虑至多的情况,所以去掉7个结果,从剩余的8个中继续二分法;第四次,可去掉4个结果,从剩余的4个中继续二分法;第五次,可去掉2个结果,从剩余的2个中继续二分法;第六次,可去掉1个结果,得到最终结果,所以至多需要检测六次.
五、课堂小结（学生自行总结）
六、当堂检测
1.下列函数图象中,不能用二分法求函数零点的是( )
解析:D 根据函数零点存在定理,对于D,在零点的左右附近,函数值不改变符号,所以不能用二分法求函数零点,故选D.
2.用二分法求函数f(x)＝2x-3的零点时,初始区间可选为( )
A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3)
解析:C f(-1)＝-52＜0,f(0)＝-2＜0,f(1)＝-1＜0,f(2)＝1＞0,f(3)＝5＞0,则f(1)f(2)＜0,即初始区间可选(1,2).
3.设f(x)＝lg x＋x-3,用二分法求方程lg x＋x-3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)＜0,f(2.75)＞0,f(2.5)＜0,f(3)＞0,则方程的根落在区间( )
A.(2,2.25) B.(2.25,2.5) C.(2.5,2.75) D.(2.75,3)
解析:C 因为f(2.5)＜0,f(2.75)＞0,由零点存在定理知,方程的根在区间(2.5,2.75)内,故选C.
4.若函数f(x)＝x3＋x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:
那么方程x3＋x2-2x-2＝0的一个近似根(精确度为0.05)为( )
A.1.5
解析:C ∵f(1.406 5)＜0,f(1.438)＞0,∴f(1.406 5)·f(1.438)＜0,∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内,又∵｜1.406 5-1.438｜＝0.031 5＜0.05,∴方程的近似根可以是1.438.
七．课后作业
八、问题日清（学生填写，老师辅导解答）
1. 2.
学生签字 老师签字条件
(1)函数y＝f(x)的图象在区间[a,b]上 连续不断 ;
(2)在区间端点的函数值满足 f(a)f(b)＜0
方法
不断地把函数y＝f(x)的零点所在区间 一分为二 ,使所得区间的两个端点逐步 逼近零点 ,进而得到零点近似值
(a,b)
中点c
f(a)
f(b)
fa＋b2
(0,1)
0.5
f(0)＜0
f(1)＞0
f(0.5)＜0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)＜0
f(1)＞0
f(0.75)＞0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)＜0
f(0.75)＞0
f(0.625)＜0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)＜0
f(0.75)＞0
f(0.687 5)＜0
(0.687 5,0.75)
｜0.687 5-0.75｜＝0.062 5＜0.1
f(1)＝-2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝-0.984
f(1.375)＝-0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝-0.052