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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案，共9页。
4．5.2 用二分法求方程的近似解
学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
知识点一 二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考1 若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
答案 二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反)，因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
思考2 二分法的解题原理是什么？
答案 函数零点存在定理．
知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
2．求区间(a，b)的中点c.
3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点．
(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c.
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．( √ )
2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．( √ )
3．用二分法最后一定能求出函数零点．( × )
4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．( √ )
一、二分法概念的理解
例1 (1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是( )
答案 ABC
解析 根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的近似解，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
答案 (1,2)
解析 设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，
f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，
f(x)零点所在的区间为(1,2)，
∴方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2)．
反思感悟 运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
跟踪训练1 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
答案 D
解析 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.
二、用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1)．
解 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，
f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
反思感悟 利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
跟踪训练2 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
解 确定一个包含负数零点的区间(m，n)，
且f(m)·f(n)<0.
因为f(－1)>0，f(－2)<0，
所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，
f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝＝－1.937 5
f(x3)≈－0.097 4<0
(－1.937 5，－1.875)
x4＝＝－1.906 25
f(x4)≈0.328 0>0
(－1.937 5，－1.906 25)
x5＝＝－1.921 875
f(x5)≈0.117 4>0
(－1.937 5，－1.921 875)
x6＝＝－1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0
(－1.937 5，－1.929 687 5)
由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，
所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5.
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
答案 A
2．下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝x－x
答案 D
解析 A，B，C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点．
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 A
解析 f(－2)f(－1)＝－12<0，所以可以取的初始区间是(－2，－1)．
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于( )
A．1 B．－1 C．0.25 D．0.75
答案 C
解析 x1＝＝0.25.
5．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
答案 －1.625
解析 由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.
1．知识清单：
(1)二分法的定义．
(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．
2．方法归纳：化归、逼近．
3．常见误区：
二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点．
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
答案 C
解析 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件．
2．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间( )
A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)
C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)
答案 C
解析 因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)．
3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
答案 B
解析 据二分法的步骤知当|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
4．(多选)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为( )
A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6
答案 ABC
解析 已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68＝×(0.64＋0.72)，且f(0.68)<0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，|0.72－0.68|＝0.04<0.05，所以0.68,0.7,0.72都符合．
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为( )
A．1.5 B．1.375 C．1.438 D．1.25
答案 C
解析 ∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0，
∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，
∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内，
又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5<0.05，
∴方程的近似根可以是1.438.
6．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．(填序号)
①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；
③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
答案 ①②
解析 由二分法适用条件直接可得．
7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
答案 (2,3)
解析 设函数f(x)＝x3－2x－5，
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，
∴下一个有根区间是(2,3)．
8．用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.
答案 4
解析 开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.1，即2n≥10，则n≥4，所以至少需要操作4次．
9．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)
解 f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，
即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，
又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．
取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，
∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．
取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，
f(0.75)＝－0.156 25<0，
∴f(0.75)·f(1)<0，即x0∈(0.75,1)．
取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.
∴f(0.75)·f(0.875)<0，即x0∈(0.75,0.875)．
取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，
f(0.812 5)≈0.073>0.
∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，即x0∈(0.75,0.812 5)，
而|0.812 5－0.75|<0.1.
∴f(x)的零点的近似值可取为0.75.
10．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上单调递增，用二分法求方程f(x)＝0的正根(精确度0.01)．
解 由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上单调递增，故在(0，＋∞)上也单调递增，
因此f(x)＝0的正根最多有一个．
因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，
所以方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
－0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.328
(0.25,0.375)
0.312 5
0.124
(0.25,0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25,0.281 25)
0.265 625
－0.032
(0.265 625,0.281 25)
0.273 437 5
－0.005 43
(0.273 437 5,0.281 25)
因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5<0.01，所以方程的根的近似值为0.273 437 5，即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5.
11．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f >0，则( )
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
答案 B
解析 由f(a)·f(b)<0，f(a)·f >0可知f ·f(b)<0，根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点．
12．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围为( )
A. B. C．[0，ε) D．[0,2ε)
答案 B
解析 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，
而b－＝－a＝<，
所以误差的取值范围为.
13．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
答案 a2＝4b
解析 ∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，
∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象的顶点在x轴上，
∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
14．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是______________．
答案 1.5,1.75,1.875,1.812 5
解析 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．
15．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9
则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )
A．1.125 B．1.312 5
C．1.437 5 D．1.468 75
答案 B
解析 因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
16．在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最少称多少次能保证一定可以发现这枚假币？
解 将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在较轻的那3枚金币里面；将这3枚金币拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则较轻的那一枚即是假币．综上可知，最少称4次能保证一定可以发现这枚假币．
4．5.2 用二分法求方程的近似解
学习目标 1.了解二分法的原理及其适用条件.2.掌握二分法的实施步骤.3.体会二分法中蕴含的逐步逼近与程序化思想．
知识点一 二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
思考1 若函数y＝f(x)在定义域内有零点，该零点是否一定能用二分法求解？
答案 二分法只适用于函数的变号零点(即函数值在零点两侧符号相反)，因此函数值在零点两侧同号的零点不能用二分法求解，如f(x)＝(x－1)2的零点就不能用二分法求解．
思考2 二分法的解题原理是什么？
答案 函数零点存在定理．
知识点二 用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤
1．确定零点x0的初始区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0.
2．求区间(a，b)的中点c.
3．计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间
(1)若f(c)＝0(此时x0＝c)，则c就是函数的零点．
(2)若f(a)·f(c)<0(此时x0∈(a，c))，则令b＝c.
(3)若f(c)·f(b)<0(此时x0∈(c，b))，则令a＝c.
4．判断是否达到精确度ε：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2～4.
以上步骤可简化为：定区间，找中点，中值计算两边看；同号去，异号算，零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断．
1．如果函数零点两侧函数值同号，不适合用二分法求此零点近似值．( √ )
2．要用二分法，必须先确定零点所在区间．( √ )
3．用二分法最后一定能求出函数零点．( × )
4．达到精确度后，所得区间内任一数均可视为零点的近似值．( √ )
一、二分法概念的理解
例1 (1)(多选)下列函数图象与x轴均有交点，能用二分法求函数零点近似值的是( )
答案 ABC
解析 根据二分法的基本方法，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A，B，C都符合条件，而选项D不符合，由于零点左右两侧的函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
(2)用二分法求方程2x＋3x－7＝0在区间(1,3)内的近似解，取区间的中点为x0＝2，那么下一个有根的区间是________．
答案 (1,2)
解析 设f(x)＝2x＋3x－7，f(1)＝2＋3－7<0，
f(3)＝10>0，f(2)＝3>0，
f(x)零点所在的区间为(1,2)，
∴方程2x＋3x－7＝0下一个有根的区间是(1,2)．
反思感悟 运用二分法求函数的零点应具备的条件
(1)函数图象在零点附近连续不断．
(2)在该零点左右函数值异号．
只有满足上述两个条件，才可用二分法求函数零点．
跟踪训练1 已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4 C．5,4 D．4,3
答案 D
解析 图象与x轴有4个交点，所以零点的个数为4；左右函数值异号的零点有3个，所以可以用二分法求解的个数为3.
二、用二分法求方程的近似解
例2 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度是0.1)．
解 令f(x)＝2x3＋3x－3，经计算，
f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点，
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，
又f(1)>0，所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数解所在的区间，如下表：
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
反思感悟 利用二分法求方程的近似解的步骤
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常取区间(n，n＋1)，n∈Z.
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M.
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．
跟踪训练2 求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋1的一个负零点(精确度0.01)．
解 确定一个包含负数零点的区间(m，n)，
且f(m)·f(n)<0.
因为f(－1)>0，f(－2)<0，
所以可以取区间(－2，－1)作为计算的初始区间，当然选取较大的区间也可以．用二分法逐步计算，列表如下：
端点(中点)
端点或中点的函数值
取值区间
f(－1)>0，
f(－2)<0
(－2，－1)
x0＝＝－1.5
f(x0)＝4.375>0
(－2，－1.5)
x1＝＝－1.75
f(x1)≈2.203>0
(－2，－1.75)
x2＝＝－1.875
f(x2)≈0.736>0
(－2，－1.875)
x3＝＝－1.937 5
f(x3)≈－0.097 4<0
(－1.937 5，－1.875)
x4＝＝－1.906 25
f(x4)≈0.328 0>0
(－1.937 5，－1.906 25)
x5＝＝－1.921 875
f(x5)≈0.117 4>0
(－1.937 5，－1.921 875)
x6＝＝－1.929 687 5
f(x6)≈0.010 5>0
(－1.937 5，－1.929 687 5)
由于|－1.929 687 5＋1.937 5|＝0.007 812 5<0.01，
所以函数的一个负零点近似值可取为－1.929 687 5.
1．观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( )
答案 A
2．下列函数中，必须用二分法求其零点的是( )
A．y＝x＋7 B．y＝5x－1
C．y＝log3x D．y＝x－x
答案 D
解析 A，B，C项均可用解方程求其根，D项不能用解方程求其根，只能用二分法求零点．
3．用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
答案 A
解析 f(－2)f(－1)＝－12<0，所以可以取的初始区间是(－2，－1)．
4．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次计算，得f(0)<0，f(0.5)>0，第二次应计算f(x1)，则x1等于( )
A．1 B．－1 C．0.25 D．0.75
答案 C
解析 x1＝＝0.25.
5．已知函数f(x)＝x3－2x－2，f(1)·f(2)<0，用二分法逐次计算时，若x0是[1,2]的中点，则f(x0)＝________.
答案 －1.625
解析 由题意，x0＝1.5，f(x0)＝f(1.5)＝－1.625.
1．知识清单：
(1)二分法的定义．
(2)利用二分法求函数的零点、方程的近似解．
2．方法归纳：化归、逼近．
3．常见误区：
二分法并不适用于所有零点，只能求函数的变号零点．
1．用二分法求如图所示的函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是( )
A．x1 B．x2 C．x3 D．x4
答案 C
解析 能用二分法求零点的函数必须满足在区间[a，b]上连续不断，且f(a)f(b)<0.而x3两边的函数值都小于零，不满足区间端点处函数值符号相异的条件．
2．设f(x)＝lg x＋x－3，用二分法求方程lg x＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)<0，f(2.75)>0，f(2.5)<0，f(3)>0，则方程的根落在区间( )
A．(2,2.25) B．(2.25,2.5)
C．(2.5,2.75) D．(2.75,3)
答案 C
解析 因为f(2.5)<0，f(2.75)>0，由函数零点存在定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)．
3．用二分法求函数f(x)在(a，b)内的唯一零点时，精确度为0.001，则结束计算的条件是( )
A．|a－b|<0.1 B．|a－b|<0.001
C．|a－b|>0.001 D．|a－b|＝0.001
答案 B
解析 据二分法的步骤知当|b－a|小于精确度ε时，便可结束计算．
4．(多选)在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，则函数的一个精确度为0.05的正实数零点的近似值可以为( )
A．0.68 B．0.72 C．0.7 D．0.6
答案 ABC
解析 已知f(0.64)<0，f(0.72)>0，则函数f(x)的零点的初始区间为(0.64,0.72)，又因为0.68＝×(0.64＋0.72)，且f(0.68)<0，所以零点在区间(0.68,0.72)上，|0.72－0.68|＝0.04<0.05，所以0.68,0.7,0.72都符合．
5．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：
f(1)＝－2
f(1.5)＝0.625
f(1.25)＝－0.984
f(1.375)＝－0.260
f(1.438)＝0.165
f(1.406 5)＝－0.052
那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似根(精确度0.05)为( )
A．1.5 B．1.375 C．1.438 D．1.25
答案 C
解析 ∵f(1.406 5)<0，f(1.438)>0，
∴f(1.406 5)·f(1.438)<0，
∴该方程的根在区间(1.406 5,1.438)内，
又∵|1.406 5－1.438|＝0.031 5<0.05，
∴方程的近似根可以是1.438.
6．用二分法求函数f(x)在区间[a，b]内的零点时，需要的条件是________．(填序号)
①f(x)在[a，b]上连续不断；②f(a)·f(b)<0；
③f(a)·f(b)>0；④f(a)·f(b)≥0.
答案 ①②
解析 由二分法适用条件直接可得．
7．用二分法求方程x3－2x－5＝0在区间(2,4)上的实数根时，取中点x1＝3，则下一个有根区间是________．
答案 (2,3)
解析 设函数f(x)＝x3－2x－5，
∵f(2)＝－1<0，f(3)＝16>0，f(4)＝51>0，
∴下一个有根区间是(2,3)．
8．用二分法求函数f(x)＝ln x＋2x－6在区间(2,3)内的零点近似值，至少经过________次二分后精确度达到0.1.
答案 4
解析 开区间(2,3)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过n次操作后，区间长度变为，故有≤0.1，即2n≥10，则n≥4，所以至少需要操作4次．
9．判断函数f(x)＝2x3－1的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)
解 f(0)＝－1<0，f(1)＝1>0，
即f(0)·f(1)<0，f(x)在(0,1)内有零点，
又f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(x)只有一个零点x0∈(0,1)．
取区间(0,1)的中点x1＝0.5，f(0.5)＝－0.75<0，
∴f(0.5)·f(1)<0，即x0∈(0.5,1)．
取区间(0.5,1)的中点x2＝0.75，
f(0.75)＝－0.156 25<0，
∴f(0.75)·f(1)<0，即x0∈(0.75,1)．
取区间(0.75,1)的中点x3＝0.875，f(0.875)≈0.34>0.
∴f(0.75)·f(0.875)<0，即x0∈(0.75,0.875)．
取区间(0.75,0.875)的中点x4＝0.812 5，
f(0.812 5)≈0.073>0.
∴f(0.75)·f(0.812 5)<0，即x0∈(0.75,0.812 5)，
而|0.812 5－0.75|<0.1.
∴f(x)的零点的近似值可取为0.75.
10．已知函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上单调递增，用二分法求方程f(x)＝0的正根(精确度0.01)．
解 由于函数f(x)＝3x＋在(－1，＋∞)上单调递增，故在(0，＋∞)上也单调递增，
因此f(x)＝0的正根最多有一个．
因为f(0)＝－1<0，f(1)＝>0，
所以方程的正根在(0,1)内，取(0,1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表：
区间
中点值
中点函数近似值
(0,1)
0.5
0.732
(0,0.5)
0.25
－0.084
(0.25,0.5)
0.375
0.328
(0.25,0.375)
0.312 5
0.124
(0.25,0.312 5)
0.281 25
0.021
(0.25,0.281 25)
0.265 625
－0.032
(0.265 625,0.281 25)
0.273 437 5
－0.005 43
(0.273 437 5,0.281 25)
因为|0.273 437 5－0.281 25|＝0.007 812 5<0.01，所以方程的根的近似值为0.273 437 5，即f(x)＝0的正根约为0.273 437 5.
11．若函数f(x)在[a，b]上的图象为一条连续不断的曲线，且同时满足f(a)·f(b)<0，f(a)·f >0，则( )
A．f(x)在上有零点
B．f(x)在上有零点
C．f(x)在上无零点
D．f(x)在上无零点
答案 B
解析 由f(a)·f(b)<0，f(a)·f >0可知f ·f(b)<0，根据函数零点存在定理可知f(x)在上有零点．
12．用二分法求函数的零点，经过若干次运算后函数的零点在区间(a，b)内，当|a－b|<ε(ε为精确度)时，函数零点的近似值x0＝与真实零点的误差的取值范围为( )
A. B. C．[0，ε) D．[0,2ε)
答案 B
解析 真实零点离近似值x0最远即靠近a或b，
而b－＝－a＝<，
所以误差的取值范围为.
13．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．
答案 a2＝4b
解析 ∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，
∴函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象的顶点在x轴上，
∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.
14．某同学在借助计算器求“方程lg x＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lg x＋x－2，算得f(1)<0，f(2)>0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是______________．
答案 1.5,1.75,1.875,1.812 5
解析 第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.812 5)．
15．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：
x
1.00
1.25
1.375
1.50
f(x)
1.079 4
0.191 8
－0.360 4
－0.998 9
则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为( )
A．1.125 B．1.312 5
C．1.437 5 D．1.468 75
答案 B
解析 因为f(1.25)·f(1.375)<0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.125>0.1，因此需要取(1.25,1.375)的中点1.312 5，两个区间(1.25,1.312 5)和(1.312 5，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.062 5<0.1，因此1.312 5是一个近似解．
16．在26枚崭新的金币中，其中有一枚外表与它们完全相同的假币(质量不同，假币较轻)，现在只有一台天平，请问：你最少称多少次能保证一定可以发现这枚假币？
解 将26枚金币平均分成两份，放在天平上，则假币在较轻的那13枚金币里面，将这13枚金币拿出1枚，将剩下的12枚平均分成两份，若天平平衡，则假币一定是拿出的那一枚，若不平衡，则假币一定在较轻的那6枚金币里面；将这6枚平均分成两份，则假币一定在较轻的那3枚金币里面；将这3枚金币拿出2枚放在天平上，若平衡，则剩下的那一枚即是假币，若不平衡，则较轻的那一枚即是假币．综上可知，最少称4次能保证一定可以发现这枚假币．
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