人教A版 (2019)必修 第一册4.5 函数的应用（二）学案

§4．5．2 用二分法求方程的近似解

导学目标：

1． 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；

2． 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

（预习教材P130~ P135，回答下列问题）

复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？

（1）对于函数，我们把使        的实数叫做函数的零点．

（2）方程有实数根函数的图象与轴                 

函数                              ．

（3）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有        ，那么，函数在区间内有零点．

复习2：函数零点的求法：                                                    ．

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为             ．

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为             ．

思考：我们知道求解二次函数零点时，                             当时，利用求根公式，

就可以求出方程的解，也就是函数的零点．

而对于函数，我们可以知道在区间内存在一个零点，那么我们怎么求出这个零点呢？

实际上大多数方程都不能像一元二次方程这样可以直接用公式求出精确解．在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．

【知识点一】二分法的概念　

对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

例如：函数在区间内存在一个零点，且，，

取的中点，利用计算器求出．

因为，，所以零点在区间之间；

再取区间的中点，算，

因为，，所以零点在区间之间；

通过上述步骤，我们把零点的范围从缩小到了，那么重复这个步骤，我们就可以把零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间，区间的任意一点都可以作为函数零点的近似值． 为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．

注：

①二分法的理论依据是零点存在定理，

  仅适用于函数的变号零点

(函数图  像通过零点时函数值的符号改变)

②二分法采用逐步逼近的思想，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐步逼近函数的零点．要根据函数的性质尽可能的找到含有零点的更小的区间，当区间的长度小到一定程度时，就可以得实际问题近似值．

【知识点二】用二分法求函数零点近似值的步骤　

给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤

第一步：确定闭区间，验证，给定精确度．

第二步：求区间的中点．

第三步：计算．

(1)若，则就是函数的零点；

(2)若，

则令（此时零点)；

(3)若，

则令 (此时零点)．

第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值 (或)，否则重复第二步至第四步．

一般书写格式：

第一步利用函数性质，也可借助计算机或计算器确定零点所在的大致区间，，

即；但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；

第二步列表样式如下：假设区间

如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．

题型一 二分法概念的理解　

【例1-1】下列函数中，必须用二分法求其零点的是(　　)

A．                   B．

C．                   D．

【例1-2】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

题型二 用二分法求函数零点的近似值 　

【例2-1】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0．1)为 (　　)

A．1．2　　 B．1．3

C．1．4　　 D．1．5

【例2-2】用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0．1，需将区间等分__________次．

【例2-3】利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0．1)．

1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)

2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0．64)＜0，f(0．72)＞0，

f(0．68)＜0，则函数的一个精确度为 0．1的正实数零点的近似值为(　　)

A．0．6　                    　B．0．75

C．0．7                        D．0．8

3．若函数的图像在上连续不断，且满足，，，则下列说法正确的是（    ）

A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点

B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点

C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点

D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点

4．用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为         ．

5．以下是利用二分法求函数f (x) = x3 – 3的一个正实数零点的过程，当精确度为时，该函数的零点为                               

§4．5．2 用二分法求方程的近似解答案

导学目标：

1． 根据具体函数图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；

2． 通过用二分法求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识．

（预习教材P130~ P135，回答下列问题）

复习1：什么叫零点？零点的等价性？零点存在性定理？

（1）对于函数，我们把使        的实数叫做函数的零点．

（2）方程有实数根函数的图象与轴                 

函数                              ．

（3）如果函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，并且有        ，那么，函数在区间内有零点．

复习2：函数零点的求法：                                                    ．

若函数的图象在处与轴相切，则零点通常称为             ．

若函数的图象在处与轴相交，则零点通常称为             ．

思考：我们知道求解二次函数零点时，                             当时，利用求根公式，

就可以求出方程的解，也就是函数的零点．

而对于函数，我们可以知道在区间内存在一个零点，那么我们怎么求出这个零点呢？

实际上大多数方程都不能像一元二次方程这样可以直接用公式求出精确解．在实际问题中，往往只需求出满足一定精确度的近似解．

【知识点一】二分法的概念　

对于在区间上连续不断且的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

例如：函数在区间内存在一个零点，且，，

取的中点，利用计算器求出．

因为，，所以零点在区间之间；

再取区间的中点，算，

因为，，所以零点在区间之间；

通过上述步骤，我们把零点的范围从缩小到了，那么重复这个步骤，我们就可以把零点所在的范围缩小到满足一定精确度的区间，区间的任意一点都可以作为函数零点的近似值． 为了方便，我们把区间的一个端点作为零点的近似值．

注：

①二分法的理论依据是零点存在定理，

  仅适用于函数的变号零点

(函数图  像通过零点时函数值的符号改变)

②二分法采用逐步逼近的思想，使函数零点所在的范围逐步缩小，也就是逐步逼近函数的零点．要根据函数的性质尽可能的找到含有零点的更小的区间，当区间的长度小到一定程度时，就可以得实际问题近似值．

【知识点二】用二分法求函数零点近似值的步骤　

给定精确度，用二分法求函数零点近似值的步骤

第一步：确定闭区间，验证，给定精确度．

第二步：求区间的中点．

第三步：计算．

(1)若，则就是函数的零点；

(2)若，

则令（此时零点)；

(3)若，

则令 (此时零点)．

第四步：判断是否达到精确度，即若，则得到零点近似值 (或)，否则重复第二步至第四步．

一般书写格式：

第一步利用函数性质，也可借助计算机或计算器确定零点所在的大致区间，，

即；但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；

第二步列表样式如下：假设区间

如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．

题型一 二分法概念的理解　

【例1-1】下列函数中，必须用二分法求其零点的是(　　)

A．                   B．

C．                   D．

【答案】D

【例1-2】下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是(　　)

【答案】B

题型二 用二分法求函数零点的近似值 　

【例2-1】若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0．1)为 (　　)

A．1．2　　 B．1．3

C．1．4　　 D．1．5

【答案】C

【例2-2】用二分法求函数在区间上的近似解，验证，给定精度为0．1，需将区间等分__________次．

【答案】5

【例2-3】利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0．1)．

【答案】设f(x)＝x2－2x－1．∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0．

取区间(2,3)的中点x1＝2．5，∵f(2．5)＝0．25＞0，

∴x0∈(2,2．5)．

再取区间(2,2．5)的中点x2＝2．25，∵f(2．25)＝－0．437 5＜0，

∴x0∈(2．25,2．5)．

同理可得，x0∈(2．375,2．5)，x0∈(2．375,2．437 5)．

∵|2．375－2．437 5|＝0．062 5＜0．1，

故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0．1的近似正解可取为2．437 5．

1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是(　　)

【答案】C

2．在用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算，f(0．64)＜0，f(0．72)＞0，

f(0．68)＜0，则函数的一个精确度为 0．1的正实数零点的近似值为(　　)

A．0．6　　B．0．75

C．0．7    D．0．8

【答案】C

3．若函数的图像在上连续不断，且满足，，，则下列说法正确的是（    ）

A．在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点

B．在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点

C．在区间上一定有零点，在区间上可能有零点

D．在区间上可能有零点，在区间上一定有零点

【答案】C

4．用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为         ．

5．以下是利用二分法求函数f (x) = x3 – 3的一个正实数零点的过程，当精确度为时，该函数的零点为