数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案

这是一份数学必修 第一册4.5 函数的应用（二）导学案，共7页。


基础知识
知识点1 二分法的概念
对于在区间[a，b]上__连续不断__且__f(a)·f(b)<0__的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法．
思考1：是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？
提示：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点．
知识点2 用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证__f(a)·f(b)＜0__，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：
若f(c)＝__0__，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)__＜__0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b)__＜__0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|__＜__ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)．
思考2：零点的近似解只能是区间的端点a或b吗？
提示：不是，区间的端点可以，区间的中点也可以，实际上区间上的任意一个值都可以．
基础自测
1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( C )
[解析] 由二分法的定义，可知只有当函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)f(b)<0，即函数的零点是变号零点时，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各选项分析可知，选项A，B，D都符合，而选项C不符合，因为在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．
2．下列函数中不能用二分法求零点近似值的是( C )
A．f(x)＝3x－1 B．f(x)＝x3
C．f(x)＝|x|D．f(x)＝ln x
[解析] 对于选项C而言，令|x|＝0，得x＝0，即函数f(x)＝|x|存在零点，但当x>0时，f(x)>0，当x<0时，f(x)>0，所以f(x)＝|x|的函数值非负，即函数f(x)＝|x|有零点，但零点两侧函数值不异号，所以不能用二分法求零点的近似值．
3．(2019·河南永城实验中学高一期末测试)用二分法求函数f(x)＝x3＋5的零点可以取的初始区间是( A )
A．[－2,1]B．[－1,0]
C．[0,1]D．[1,2]
[解析] f(－2)＝(－2)3＋5＝－8＋5＝－3<0，
f(1)＝1＋5＝6>0，
∴f(－2)·f(1)<0，故选A．
4．函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的变号零点的个数为( D )
A．0 B．1
C．2D．3
[解析] 函数f(x)的图象通过零点时，穿过x轴，则必存在变号零点，根据图象可知，函数 f(x)有3个变号零点，故选D．
5．方程3x＋m＝0的根在(－1,0)内，则m的取值范围为__(0,3)__.
[解析] 解法一：∵f(x)＝3x＋m单调递增，∴只要满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3×－1＋m<0,3×0＋m>0))，即可解得0解法二：由3x＋m＝0得m＝－3x，∵x∈(－1,0)，∴－3x∈(0,3)，∴m∈(0,3)．
关键能力·攻重难
题型探究
题型一 对二分法概念的理解
例1 (1)下面关于二分法的叙述，正确的是( B )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数的零点时才用二分法
(2)观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是( A )
[分析] (1)怎样用二分法求函数的零点？
(2)函数具有零点与该函数的图象有何关系？
[解析] (1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右的函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机或计算器来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
(2)由图象可得，A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点．
[归纳提升] 运用二分法求函数的零点需具备的两个条件：(1)函数图象在零点附近连续不断；(2)在该零点左右函数值异号．
【对点练习】❶ (1)对于二分法求得的近似解，精确度ε说法正确的是( B )
A．ε越大，零点的精确度越高
B．ε越大，零点的精确度越低
C．重复计算次数就是ε
D．重复计算次数与ε无关
(2)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( B )
[分析] 解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件．
[解析] (1)由精确度ε定义知，ε越大，零点的精确度越低．(2)利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)<0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．
题型二 用二分法求函数的零点近似值(方程近似解)问题
例2 用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解(精确度为0.1)．
[分析] 把方程的近似解转化为函数的零点的近似值．
[解析] 令f(x)＝2x3＋3x－3，
经计算，f(0)＝－3<0，f(1)＝2>0，f(0)·f(1)<0，
所以函数f(x)在(0,1)内存在零点．
即方程2x3＋3x－3＝0在(0,1)内有解．
取(0,1)的中点0.5，经计算f(0.5)<0，又f(1)>0，
所以方程2x3＋3x－3＝0在(0.5,1)内有解．
如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表：
由于|0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1，
所以方程2x3＋3x－3＝0的一个精确度为0.1的正实数近似解可取为0.687 5.
[归纳提升] 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
2．二分法求函数零点步骤的记忆口诀
定区间，找中点；中值计算两边看，
同号丢，异号算，零点落在异号间．
重复做，何时止，精确度来把关口．
【对点练习】❷ (1)已知f(x)＝eq \f(1,x)－lnx在区间(1,2)内有一个零点x0，若用二分法求x0的近似值(精确度0.2)，则最多需要将区间等分的次数为( A )
A．3 B．4
C．5D．6
(2)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下：
据此数据，可得f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值(精确度0.01)为__1.562 5__.
[解析] (1)由用二分法求函数零点近似值的步骤可知分一次f(eq \f(3,2))＞0，区间长度|2－eq \f(3,2)|＝0.5＞0.2，
分二次，f(eq \f(7,4))＞0，区间长度|2－eq \f(7,4)|＝0.25＞0.2，
分三次f(eq \f(15,8))＜0，区间长度|eq \f(7,4)－eq \f(15,8)|＝eq \f(1,8)＜0.2，
所以最多分三次可以使x0的近似值达到精确度0.2.
(2)由参考数据知，f(1.562 5)≈0.003>0，f(1.556 25)≈－0.029<0，即f(1.562 5)·f(1.556 25)<0，且1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，∴f(x)＝3x－x－4的一个零点的近似值可取为1.562 5.
题型三 二分法思想的实际应用
例3 现有12个小球，从外观上看完全相同，除了1个小球质量不合标准外，其余的小球质量均相同且合标准，用同一架天平(无砝码)，限称三次，把这个“坏球”找出来，并说明此球是偏轻还是偏重．如何称？
[解析] 先在天平左右各放4个球．有两种情况：
(1)若平，则“坏球”在剩下的4个球中．
取剩下的4个球中的3个球放在天平的一端，取3个好球放在天平的另一端．
①若仍平，则“坏球”为4个球中未取到的那个球，将此球与1个好球放上天平比一比，即知“坏球”是轻还是重；
②若不平，则“坏球”在天平一端的3个球之中，且知是轻还是重．任取其中2个球，天平两端各放1个，无论平还是不平，均可确定“坏球”．
(2)若不平，则“坏球”在天平上的8个球中，不妨设天平右端较重．
从右端4个球中取出3个球，置于一容器内，然后从左端4个球中取3个球移到右端，再从外面好球中取3个补到左端，看天平，有三种可能．
①若平，则“坏球”是容器内3个球之一且偏重；
②若左端重，“坏球”已从左端换到右端，因此，“坏球”在从左端移到右端的3个球中，并且偏轻；
③若右端重，据此知“坏球”未变动位置，而未被移动过的球只有两个(左右各一)，“坏球”是其中之一(暂不知是轻还是重)．
虽然对于以上三种情况的任一种，再用天平称一次，即可找出“坏球”，且知其是轻还是重．
[归纳提升] 二分法的思想除了可以用来处理生活中的对称问题，还可以处理一些不对称问题．要注意二分法的思想与实际问题之间的联系及二分法的思想的应用．
【对点练习】❸ 某娱乐节目有一个给选手在限定时间内猜一物品的售价的环节，某次猜一品牌手机的价格，手机价格在500～1 000元，选手开始报价1 000元，主持人回答高了；紧接着报900元，高了；700元，低了；800元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你猜中了，表面上看猜价格具有很大的碰运气的成分，实际上体现了“逼近”的思想，试设计出可行的猜价方案．
[分析] 运用二分法思想求解．
[解析] 取价格区间[500,1 000]的中点750元，低了；就再取[750,1 000]的中点875，高了；就取[750,875]的中点，遇到小数，则取整数，照此猜下去，可以猜价：750,875,812,843,859,851，经过6次即能猜中价格．
课堂检测·固双基
1．y＝2x－1的图象与x轴的交点坐标及其零点分别是( B )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，eq \f(1,2) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，eq \f(1,2)
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2)))，－eq \f(1,2)D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，0))，－eq \f(1,2)
[解析] 函数的零点是函数图象与x轴交点的横坐标.
2．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x.则函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为( D )
A．{1,3}B．{－3，－1,1,3}
C．{2－eq \r(7)，1,3}D．{－2－eq \r(7)，1,3}
[解析] 当x<0时，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2＋3x]＝－x2－3x，易求得g(x)解析式g(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2－4x＋3，x≥0，,－x2－4x＋3，x<0.))当x2－4x＋3＝0时，可求得x1＝1，x2＝3；当－x2－4x＋3＝0时可求得x3＝－2－eq \r(7)，x4＝－2＋eq \r(7)(舍去)，故g(x)的零点为1,3，－2－eq \r(7)，故选D．
3．下列图象表示的函数中没有零点的是( A )

[解析] 由函数零点的意义可得：函数的零点是否存在体现在函数图象与x轴有无交点上．
4．函数f(x)的图象是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)＝0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)＜0，f(1.5)＞0，f(1.25)＜0，则方程的解所在的区间为( A )
A．(1.25,1.5) B．(1,1.25)
C．(1.5,2)D．不能确定
[解析] 由于f(1.25)f(1.5)＜0，则方程的解所在的区间为(1.25,1.5)．
5．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上的近似零点(精确度为0.01)，验证f(2)·f(4)<0，取区间[2,4]的中点x1＝eq \f(2＋4,2)＝3，计算得f(2)·f(x1)<0，则此时零点x0所在的区间是__(2,3)__.
[解析] ∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．
(a，b)
中点c
f(a)
f(b)
f(eq \f(a＋b,2))
(0,1)
0.5
f(0)<0
f(1)>0
f(0.5)<0
(0.5,1)
0.75
f(0.5)<0
f(1)>0
f(0.75)>0
(0.5,0.75)
0.625
f(0.5)<0
f(0.75)>0
f(0.625)<0
(0.625,0.75)
0.687 5
f(0.625)<0
f(0.75)>0
f(0.687 5)<0
f(1.600 0)≈0.200
f(1.587 5)≈0.133
f(1.575 0)≈0.067
f(1.562 5)≈0.003
f(1.556 25)≈－0.029
f(1.550 0)≈－0.060