人教B版高中数学必修第四册章末综合测试2含答案

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章末综合测评(二)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数eq \x\to(z)·(1＋i)＝1－i，则z＝　(　　)A．1－i B．1＋i C．－i D．iD　[因为eq \x\to(z)＝eq \f(1－i,1＋i)＝eq \f((1－i)2,(1＋i)(1－i))＝eq \f(－2i,2)＝－i，所以z＝i．]2．设z＝eq \f(3－i,1＋2i)，则|z|＝(　　)A．2 B．eq \r(3) C．eq \r(2) D．1C　[因为z＝eq \f(3－i,1＋2i)＝eq \f((3－i)(1－2i),(1＋2i)(1－2i))＝eq \f(1－7i,5)，所以|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))eq \s\UP12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))eq \s\UP12(2))＝eq \r(2)．故选C．]3．(2021·新高考Ⅱ卷)在复平面内，复数eq \f(2－i,1－3i)对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限A　[eq \f(2－i,1－3i)＝eq \f((2－i)(1＋3i),(1－3i)(1＋3i))＝eq \f(5＋5i,10)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i，对应的点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，位于第一象限．选A．]4．已知i是虚数单位，a，b∈R，则“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件A　[当a＝b＝1时，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i，反之，(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝2i，则a2－b2＝0,2ab＝2，解得a＝1，b＝1或a＝－1，b＝－1，故a＝1，b＝1是(a＋bi)2＝2i的充分不必要条件，故选A．]5．已知z1，z2为复数，若z1在复平面内对应的点的坐标为(2,3)，且z1·z2＝1＋i，则z2的虚部为(　　)A．－eq \f(5,13) B．eq \f(5,13) C．－eq \f(1,13) D．eq \f(1,13)C　[由题意z1＝2＋3i，由z1·z2＝1＋i得z2＝eq \f(1＋i,2＋3i)＝eq \f((1＋i)(2－3i),(2＋3i)(2－3i))＝eq \f(5,13)－eq \f(1,13)i，所以复数z2的虚部为－eq \f(1,13)．故选C．]6．复数2＋i与复数eq \f(1,3＋i)在复平面上的对应点分别是A，B，若O为坐标原点，则∠AOB等于　(　　)A．eq \f(π,6) B．eq \f(π,4) C．eq \f(π,3) D．eq \f(π,2)B　[因为eq \f(1,3＋i)＝eq \f(3－i,(3＋i)(3－i))＝eq \f(3,10)－eq \f(i,10)，所以它在复平面上的对应点为Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,10)，－\f(1,10)))，而复数2＋i在复平面上的对应点是A(2,1)，显然AO＝eq \r(5)，BO＝eq \f(\r(10),10)，AB＝eq \f(\r(410),10)．由余弦定理得cos ∠AOB＝eq \f(AO2＋BO2－AB2,2AO·BO)＝eq \f(\r(2),2)，所以∠AOB＝eq \f(π,4)．]7．已知z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，则x＋eq \r(3)y的最大值为(　　)A．1＋eq \r(3) B．2 C．1 D．eq \r(3)B　[因为z＝x＋yi(x，y∈R)且|z|＝1，所以x2＋y2＝1．设x＝cos θ，y＝sin θ，θ∈R，所以x＋eq \r(3)y＝cos θ＋eq \r(3)sin θ＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))，所以x＋eq \r(3)y的最大值是2，故选B．]8．若复数z满足|z＋3－4i|＝2，则z·eq \x\to(z)的最大值为(　　)A．9 B．81 C．7 D．49D　[由|z＋3－4i|＝2，得复数z在复平面内对应点的集合图形如图，所以|z|max＝7，则z·eq \x\to(z)＝|z|2的最大值为49．故选D．]二、选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9．下面是关于复数z＝eq \f(2,－1＋i)的四个命题，其中的真命题为(　　)A．|z|＝2 B．z2＝2iC．z的共轭复数为1＋i D．z的虚部为－1BD　[因为z＝eq \f(2,－1＋i)＝eq \f(2(－1－i),(－1＋i)(－1－i))＝－1－i，所以|z|＝eq \r(2)，A错误；z2＝2i，B正确；z的共轭复数为－1＋i，C错误；z的虚部为－1，D正确．故选BD．]10．已知z是复数，则下列叙述错误的是(　　)A．z－eq \o(z,\s\UP7(－))为纯虚数B．z2n≥0(n∈Z)C．对于任意的z∈C，|z|＝|eq \o(z,\s\UP7(－))|D．满足eq \f(1,z)＝－z的z仅有一个ABD　[当z＝0时，z－eq \o(z,\s\UP7(－))＝0∈R，所以选项A错误；当z＝i，n＝1时，z2n＝i2＝－1＜0，所以选项B错误；由复数的模与共轭复数的定义，知|z|＝|eq \o(z,\s\UP7(－))|，所以选项C正确；当z＝i或－i时均满足eq \f(1,z)＝－z，故选项D错误．]11．设z是复数，则下列命题中正确的命题是(　　)A．若z2≥0，则z是实数B．若z2<0，则z是虚数C．若z是虚数，则z2≥0D．若z是纯虚数，则z2<0ABD　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，选项A，若z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi≥0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a2≥b2，))故b＝0或a，b都为0，即z为实数，正确．选项B，若z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi<0，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ab＝0，,a20，))解得0