人教B版（2019）高中数学必修第四册 第十章 复数 章末重点题型复习（原卷+解析卷）

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第十章：复数章末重点题型复习 题型一 复数的概念【例1】（2024高一·全国·专题练习）给出下列命题：①若a∈R，则(a+1)i是纯虚数；②若a,b∈R且a>b，则a+i>b+i；③若a,b∈C，则复数a+bi的实部为a，虚部为b；④i的平方等于−1.其中正确命题的序号是（　　）A．① B．②C．③ D．④【答案】D【分析】利用复数的概念逐一判断各个命题即得.【详解】对于复数a+bi（a,b∈R），当a=0且b≠0时为纯虚数，在①中，若a=−1，则(a+1)i不是纯虚数，①错误；在②中，两个虚数不能比较大小，②错误；在③中，只有当a,b∈R时，复数a+bi的实部才为a，虚部为b，③错误；在④中，i的平方等于−1，④正确.故选：D【变式1-1】（19-20高一·全国·课时练习）下列命题中是假命题的是（    ）A．自然数集是非负整数集 B．实数集与复数集的交集为实数集C．实数集与虚数集的交集是{0} D．纯虚数集与实数集的交集为空集【答案】C【分析】由复数的分类，根据实数、虚数、纯虚数的定义即可知选项的正误【详解】自然数是大于等于0的整数集；复数分为实数和虚数两大部分，而0属于实数集，不属于虚数集，且实数是指虚部为0的复数集合，而虚数是指虚部不为0的复数集合，因此，实数与虚数没有公共元素，C是假命题故选：C【点睛】本题考查了复数中实数、虚数、纯虚数的概念，由此判断数集间的关系【变式1-2】（多选）（2024高一·全国·专题练习）下列命题中正确的是（　　）A．若x是实数，则x是复数B．若z是虚数，则z不是实数C．复数a+i与b+3i（a,b∈R）不可能相等D．−1没有平方根【答案】ABC【分析】利用复数的概念及复数相等的意义逐项判断即得.【详解】对于A，实数集是复数集的真子集，A正确；对于B，若z是虚数，则z一定不是实数，B正确；对于C，由a，b均为实数，且这两个复数的虚部不相等，得这两个复数不可能相等，C正确；对于D，因为−1的平方根为±i，D错误．故选：ABC【变式1-3】（多选）（2023高一·全国·专题练习）以下四个关于复数的结论，正确的是（    ）A．任意两个复数不能比大小B．z∈C⇒z2≥0C．z1>z2⇒z1−z2>0D．复数a+bi=c+dia,b,c,d∈R⇒a=c且b=d【答案】CD【分析】根据复数的有关定义与性质分别判断即可.【详解】对于A，当两个复数都是实数时，才可以比较大小，所以A错误；对于B，当z=i∈C则z2=−1z2，所以z1∈R,z2∈R，所以由z1>z2可以得到z1−z2>0，故C正确；对于D，若复数a+bi=c+dia,b,c,d∈R，则a=c且b=d，故D正确.故选：CD.【变式1-4】（多选）（2024高一下·全国·专题练习）下列说法正确的是（    ）A．复数和其共轭复数都是成对出现的B．实数不存在共轭复数C．互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于虚轴对称D．复数和其共轭复数的模相等【答案】AD【分析】利用共轭复数的概念逐一判断.【详解】对于A：复数和其共轭复数都是成对出现的，正确；对于B：实数的共轭复数是他本身，错误；对于C：互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称，错误；对于D：复数和其共轭复数的模相等，正确.故选：AD.题型二 复数的实部与虚部【例2】（22-23高一·全国·随堂练习）分别写出下列各复数的实部与虚部．(1)−3+2i；(2)3−5i；(3)−7；(4)8i．【答案】(1)实部为−3，虚部为2；(2)实部为3，虚部为−5；(3)实部为−7，虚部为0；(4)实部为0，虚部为8.【分析】根据复数的实部和虚部的概念进行求解.【详解】（1）−3+2i的实部为−3，虚部为2；（2）3−5i的实部为3，虚部为−5；（3）−7的实部为−7，虚部为0；（4）8i实部为0，虚部为8.【变式2-1】（2024高二上·广东·学业考试）若复数z=3−5i，则复数z的虚部为（    ）A．5i B．-5 C．5 D．-5i【答案】B【分析】根据复数的概念求出答案.【详解】z=3−5i的虚部为-5.故选：B【变式2-2】（23-24高二上·贵州·阶段练习）复数z=2−34i的虚部为（    ）A．2 B．−34 C．2−34 D．2−34 i【答案】C【分析】根据复数虚部的知识求得正确答案.【详解】依题意，复数z=2−34i的虚部为2−34.故选：C【变式2-3】（2024高一·全国·专题练习）以−5+2i的虚部为实部，以5i+2i2的实部为虚部的复数是（    ）A．2−2i B．2+2i C．−5+5i D．5+5i【答案】A【分析】化简复数5i+2i2，再利用复数的概念求解即得.【详解】−5+2i的虚部为2，5i+2i2=−2+5i的实部为−2，所以所求复数的实部为2，虚部为−2，复数为2−2i．故选：A【变式2-4】（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知i为虚数单位，复数z=−2−i，则z的虚部是（    ）A．−1 B．1 C．i D．−i【答案】B【分析】求出z后再求其虚部.【详解】因为复数z=−2−i，所以z=−2+i，其虚部为1，故选：B．题型三 复数相等【例3】（21-22高一·全国·课后作业）若xi−2i2=y+2yi，x,y∈R，则复数x+yi等于（    ）A．−2+i B．4+2i C．1−2i D．1+2i【答案】B【分析】利用复数相等的条件即可得解.【详解】由i2=−1，得xi−2i2=2+xi，则2+xi=y+2yi，根据复数相等的充要条件得2=yx=2y，解得x=4y=2，故x+yi=4+2i．故选：B．【变式3-1】（22-23高一下·河南商丘·阶段练习）适合x−3i=(8x−y)i的实数x、y的值为（    ）A．x=0且y=3 B．x=0且y=−3C．x=5且y=3 D．x=3且y=0【答案】A【分析】根据复数相等的定义，联立关于x、y的方程组求解即可．【详解】根据复数相等的定义可得，x=0−3=8x−y，解得x=0y=3.故选：A．【变式3-2】（20-21高一下·全国·课时练习）若复数z1=sin2θ+icosθ，z2=cosθ+i3sinθ，θ∈R，z1=z2，则θ等于（　　）A．kπk∈Z B．2kπ+π3k∈ZC．2kπ±π6k∈Z D． 2kπ+π6k∈Z【答案】D【分析】两复数相等，则实部与虚部分别对应相等.【详解】由复数相等的定义可知，sin2θ=cosθ,cosθ=3sinθ,∴sinθ=12，cosθ=32.∴θ=π6+2kπ,k∈Z，故选：D.【变式3-3】（2022·浙江·高考真题）已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i（i为虚数单位），则（    ）A．a=1,b=−3 B．a=−1,b=3 C．a=−1,b=−3 D．a=1,b=3【答案】B【分析】利用复数相等的条件可求a,b.【详解】a+3i=−1+bi，而a,b为实数，故a=−1,b=3，故选：B.【变式3-4】（2022高一·全国·专题练习）若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝（    ）A．75 B．－115 C．－185 D．5【答案】B【分析】利用复数相等列方程组，即可求出a、b，再求a＋b.【详解】(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以−3a−2b=3,b−a=−5,解得a＝75，b＝－185， 故有a＋b＝－115.故选：B题型四 复数的类型求参数【例4】（23-24高一下·江苏·阶段练习）若复数z=a2+2a−3+a+3i是纯虚数，则实数a的值是（    ）．A．1 B．3 C．−3 D．−1【答案】A【分析】利用纯虚数的概念即可求解.【详解】因为复数z=a2+2a−3+a+3i是纯虚数，所以a2+2a−3=0a+3≠0，解得a=1，所以实数a的值是1.故选：A.【变式4-1】（2018·江西·一模）若a∈R，则“a=2”是复数“z=a2−4+(a+2)i”为纯虚数的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据纯虚数的概念进行判断即可.【详解】若a=2，则z=4i为纯虚数；若z=a2−4+(a+2)i为纯虚数，a∈R，则有a2−4=0a+2≠0，解得a=2.所以，当a∈R时，“a=2”是复数“z=a2−4+(a+2)i”为纯虚数的充要条件.故选：C【变式4-2】（22-23高一下·广东清远·期中）已知复数z=m−1+m+3i，其中i为虚数单位．若复数z为实数，则m的值为（    ）A．m=1 B．m=−1 C．m=3 D．m=−3【答案】D【分析】根据复数的概念可得方程，进而即得.【详解】因为复数z=m−1+m+3i，复数z为实数，则m+3=0，解得m=−3.故选：D.【变式4-3】（22-23高一下·浙江嘉兴·期末）若复数z=a2−3a+2+a−1i（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a= .【答案】2【分析】根据实部为0且虚部不为0得到方程（不等式）组，解得即可.【详解】因为复数z=a2−3a+2+a−1i为纯虚数，所以a2−3a+2=0a−1≠0，解得a=2.故答案为：2【变式4-4】（22-23高一·全国·课堂例题）当m为何实数时，复数z=m2+m−2+m2−1i分别是：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数：(4)0？【答案】(1)m=±1(2)m≠±1(3)m=−2(4)m=1【分析】（1）根据虚部为0可得答案；（2）根据虚部不为0可得答案；（3）根据实部为0 虚部不为0可得答案；（4）根据实部虚部都为0可得答案．【详解】（1）当m2−1=0，即m=±1时，复数z是实数；（2）当m2−1≠0，即m≠±1时，复数是虚数；（3）当m2+m−2=0且m2−1≠0，即m=−2时，复数z是纯虚数；（4）当m2+m−2=0且m2−1=0，即m=1时，复数z=0．题型五 复数的坐标表示【例5】（22-23高一下·陕西咸阳·阶段练习）复数z=a+2−a+3i在复平面上对应的点Z在第二象限，则实数a的取值范围为（    ）A．−∞,−2 B．−3,−2 C．−2,+∞ D．−∞,−3【答案】D【分析】由复数z确定点Z的坐标，再根据第二象限坐标的特点，解关于a的一元一次不等式组即可求出a的范围.【详解】复数z=a+2−a+3i在复平面上对应的点Z的坐标为a+2,−a+3，根据第二象限坐标的特点可得a+20，从而可得a