【同步学案】人教B版（2019） 高中数学 必修第四册 第10章复数学案（含解析）

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10.2.2　复数的乘法与除法最新课程标准：1.掌握复数代数形式的乘除运算．(重点)　2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．(难点)　3.理解共轭复数的性质，并能灵活运用．(易错点) 知识点一　复数的乘法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝____________.知识点二　复数的乘法运算律．对任意z1，z2，z3∈C，有 交换律z1·z2＝____________结合律(z1·z2)·z3＝____________乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝____________知识点三　共轭复数的性质(1)两个共轭复数的对应点关于________对称．(2)实数的共轭复数是________，即z＝⇔z∈R.利用这个性质，可以证明一个复数是实数．(3)z·＝________＝||2∈R.知识点四　复数的除法法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，＝＝________________. [基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数互为共轭复数，则它们的模相等．(　　)(2)若z∈C，则|z|2＝z2.(　　)(3)若z1，z2∈C，且z＋z＝0，则z1＝z2＝0.(　　)2．i是虚数单位，复数＝________.3．设z＝，则|z|＝(　　)A．2  B.C.  D．14．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝____________. 题型一　复数代数形式的乘除运算例1　(1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝(　　)A．3－4i　　　   B．3＋4iC．4－3i      D．4＋3i(2)等于(　　)A．1＋i      B．1－iC．－1＋i      D．－1－i(3)计算：＝________.  方法归纳(1)复数的乘法可以把i看作字母，按多项式乘法的法则进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简．复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i)．(2)利用某些特殊复数的运算结果，如(1±i)2＝±2i，3＝1，＝－i，＝i，＝－i，i的幂的周期性等，都可以简化复数的运算过程．跟踪训练1　计算：(1)(1＋i)；(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)．        题型二　共轭复数及其应用例2　已知复数z的共轭复数是，且z－＝－4i，z·＝13，试求.            方法归纳1．已知关于z和的方程，而复数z的代数形式未知，求z.解此类题的常规思路为：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，代入所给等式，利用复数相等的充要条件，转化为方程(组)求解．2．关于共轭复数的常用结论(1)z·＝|z|2＝||2是共轭复数的常用性质；(2)实数的共轭复数是它本身，即z∈R⇔z＝，利用此性质可以证明一个复数是实数；(3)若z≠0且z＋＝0，则z为纯虚数，利用此性质可证明一个复数是纯虚数．跟踪训练2　已知复数z满足z·＋2i·z＝4＋2i，求复数z.           题型三　虚数单位i的幂的周期性及其应用例3　(1)计算：＋2 020；(2)若复数z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 018的值．【解】　(1)原式＝＋1 010＝i＋1 010＝i＋i1 010＝i＋i4×252i2＝－1＋i.(2)1＋z＋z2＋…＋z2 018＝，而z＝＝＝＝i，所以1＋z＋z2＋…＋z2 018＝＝＝i.  方法归纳(1)要熟记in的取值的周期性，即i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N)，解题时要注意根据式子的特点创造条件使之与in联系起来以便计算求值．(2)如果涉及数列求和问题，应先利用数列方法求和后再求解．跟踪训练3　若z＝，求1＋z＋z2＋…＋z2 019的值．           10．2.2　复数的乘法与除法新知初探·自主学习知识点一(ac－bd)＋(ad＋bc)i知识点二z2·z1　z1·(z2·z3)　z1z2＋z1z3　知识点三(1)实轴　(2)它本身　(3)|z|2知识点四＋i[基础自测]1．解析：(1)正确．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，∵|z|＝，||＝＝，∴|z|＝||.(2)错误．举反例：如z＝1＋i，则|z|＝，z2＝2i，|z|2≠z2.(3)错误．例如z1＝1，z2＝i，显然z＋z＝0，但z1≠z2≠0.答案：(1)√　(2)×　(3)×2．解析：＝＝＝2－i.答案：2－i3．解析：由z＝，得|z|＝＝＝.答案：C4．解析：因为(a＋i)(1＋i)＝a－1＋(a＋1)i＝bi，a，b∈R，所以解得所以a＋bi＝1＋2i.答案：1＋2i课堂探究·素养提升例1　【解】　(1)∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，∴a＝2，b＝－1，∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.(2)＝＝＝＝－1－i.故选D.(3)＝＝＝＝＝－2－2i.答案：(1)A　(2)D　(3)－2－2i跟踪训练1　解：(1)(1＋i)＝(1＋i)＝(1＋i)＝＋i＝－＋i.(2)(－2＋3i)÷(1＋2i)＝＝＝＝＋i.例2　【解】　设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由条件可得即解得或因此z＝3－2i或z＝－3－2i.于是＝＝＝＝－i，或＝＝＝＝＋i.跟踪训练2　解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则＝x－yi，由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋2(x＋yi)i＝(x2＋y2－2y)＋2xi＝4＋2i，∴解得或∴z＝1＋3i或z＝1－i. 跟踪训练3　解：∵z＝＝＝＝－i.∴1＋z＋z2＋…＋z2 019＝＝＝＝＝0.