人教B版高中数学必修第四册第10章章末综合提升学案

这是一份人教B版高中数学必修第四册第10章章末综合提升学案，共4页。

类型1　复数的概念正确确定复数的实部、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．【例1】　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．[思路探究]　根据复数的分类列不等式组求解．[解]　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2(x－3)＝0，②,x－3>0，③))由②得x＝4，经验证满足①③式．所以当x＝4时，z∈R．(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2(x－3)≠0，②,x－3>0，③))由①得x>eq \f(3＋\r(21),2)或x<eq \f(3－\r(21),2)．由②得x≠4，由③得x>3．所以当x>eq \f(3＋\r(21),2)且x≠4时，z为虚数． 类型2　复数的四则运算复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母(i2＝－1)，除法运算注意应用共轭的性质z·eq \x\to(z)为实数．【例2】　(1)设i是虚数单位，eq \o(z,\s\up7(－))表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq \f(z,i)＋i·eq \o(z,\s\up7(－))＝(　　)A．－2　　　B．－2i　　　C．2　　　D．2i(2)(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝ ．[思路探究]　(1)先求出eq \x\to(z)及eq \f(z,i)，结合复数运算法则求解．(2)利用整体代换思想化简求值．(1)C　(2)2eq \r(3)　[(1)因为z＝1＋i，所以eq \o(z,\s\up7(－))＝1－i，eq \f(z,i)＝eq \f(1＋i,i)＝eq \f(－i2＋i,i)＝1－i，所以eq \f(z,i)＋i·eq \o(z,\s\up7(－))＝1－i＋i(1－i)＝2．故选C．(2)法一：设z1＝x1＋y1i(x1，y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2，y2∈R)，则由|z1|＝|z2|＝2，得xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)＝xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)＝4．因为z1＋z2＝x1＋x2＋(y1＋y2)i＝eq \r(3)＋i，所以|z1＋z2|2＝(x1＋x2)2＋(y1＋y2)2＝xeq \o\al(2,1)＋yeq \o\al(2,1)＋xeq \o\al(2,2)＋yeq \o\al(2,2)＋2x1x2＋2y1y2＝8＋2x1x2＋2y1y2＝(eq \r(3))2＋12＝4，所以2x1x2＋2y1y2＝－4，所以|z1－z2|＝|x1－x2＋(y1－y2)i|＝eq \r((x1－x2)2＋(y1－y2)2)＝eq \r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)＋x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)－2x1x2－2y1y2)＝eq \r(8＋4)＝2eq \r(3)．法二：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝eq \r(3)－a＋(1－b)i，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(|z1|2＝a2＋b2＝4，,|z2|2＝(\r(3)－a)2＋(1－b)2＝4，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a2＋b2＝4，,\r(3)a＋b＝2，))所以|z1－z2|2＝(2a－eq \r(3))2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(eq \r(3)a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，所以|z1－z2|＝2eq \r(3)．法三：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(eq \r(3)，1)，求|a－b|．因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2eq \r(3)，即|z1－z2|＝2eq \r(3)．] 类型3　复数的几何意义【例3】　(1)在复平面内，复数eq \f(i,1－i)对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)在复平面内，复数eq \f(1－2i,2＋i)对应的点的坐标为(　　)A．(0，－1) B．(0,1)C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))[思路探究]　先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．(1)B　(2)A　[(1)复数eq \f(i,1－i)＝eq \f(i(1＋i),(1－i)(1＋i))＝eq \f(－1＋i,2)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i．所以复数对应点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))．所以复数eq \f(i,1－i)在复平面内对应的点位于第二象限．故选B．(2)因为eq \f(1－2i,2＋i)＝eq \f((1－2i)(2－i),(2＋i)(2－i))＝eq \f(－5i,5)＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A．] 类型4　函数与方程思想一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．【例4】　已知f(z)＝|1＋z|－eq \o(z,\s\up7(－))，且f(－z)＝10＋3i，求复数z．[思路探究]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \o(z,\s\up7(－))＝a－bi，由复数相等列方程组求解即可．[解]　因为f(z)＝|1＋z|－eq \o(z,\s\up7(－))，所以f(－z)＝|1－z|＋eq \o(z,\s\up7(－))．设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \o(z,\s\up7(－))＝a－bi．由f(－z)＝10＋3i，得|1－(a＋bi)|＋a－bi＝10＋3i，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r((1－a)2＋b2)＋a＝10，,－b＝3，))解方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－3，))所以复数z＝5－3i．