人教B版（2019）高中数学 必修第四册《第十章 复数》单元测试3（含解析）

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人教B版（2019）必修第四册《第十章 复数》单元测试3

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）复数z=1-3i1+i的模是(    )
A. 2 B. 1 C. 3 D. 5
2.（5分）复数Z=1+i+i2+i3+……+i9，则复数Z在复平面内所对应的点在第(    )象限．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
3.（5分）若复数z=(3-i)⋅(2-i)，则z在复平面内对应的点位于(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
4.（5分）设a,b∈R，复数ai=1+bi1-2i，则b=( )
A. -1 B. -12 C. 1 D. 12
5.（5分）复数Z=arccosx-π+（-2x）i（x∈R，i是虚数单位），在复平面上的对应点只可能位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.（5分）已知点A(2,-1)，B(1,2)，O(0,0)，复数z1，z2在复平面内对应的向量分别是OA→，OB→，则复数z1⋅z2=()
A. 3i B. 3+4i C. 4+3i D. 4-3i
7.（5分）若复数z满足z(2-i)=2i，其中i为虚数单位，则|z|=()
A. 25 B. 55 C. 45 D. 255
8.（5分）在复平面内3-i20221+4i的共轭复数对应点在第几象限( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知复数z的实部为1，虚部的绝对值为3，则下列说法正确的是( )
A. z+10z是实数
B. z+10z<2
C. z+10z>1
D. z在复平面中所对应的点不可能在第三象限
10.（5分）已知z1，z2是复数，则下列说法一定正确的有( )
A. 若z12+z22>0，则z12>-z22
B. 若z12>-z22，则z12+z22>0
C. 若z12+z22=0，则z1=z2=0
D. 若z12+z22<0，则z1，z2至少有一个是虚数
11.（5分）已知复数z=i-1，则(   )
 

A. \latexHardcodedbarz=1+i
B.
C. z2为纯虚数
D. 满足的复数对应的点在以-1,1为圆心，半径为2的圆上
12.（5分）对任意复数z=x+yi，(x∈R,y∈R)，i为虚数单位，z-是z的共轭复数，则下列结论正确的有()
A. |z-z-|=2y B. z2=|z|2
C. zz-=x2+y2 D. |z|⩽|x|+|y|
13.（5分）设复数z满足z+3z-1=-i，则下列说法正确的是(    )
A. z为纯虚数 B. 在复平面内，z对应的点位于第三象限
C. z的虚部为2 i   D. z=5
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）设复数z=1+i2i，则|z|=______．
15.（5分）已知复数z=3-i1+2i，其中i是虚数单位，则z的模是______．
16.（5分）设z=i+1i-1，f(x)=x2-x+1，则f(z)=______．
17.（5分）若复数z满足(1-i)⋅z=10，则z的虚部为 ______.
18.（5分）在复平面内，复数3+i2-i对应的点为Z，则点Z的坐标为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）实数m分别取什么数值时，复数z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i 
(1)是实数； 
(2)是虚数； 
(3)是纯虚数； 
(4)是0.
20.（12分）m为何实数时，复数z=m2-3m-4+m2-5m-6i m∈R在复平面内所对应的点 
(1)在实轴上； 
(2)在虚轴上； 
(3)位于第四象限．
21.（12分）若复数z满足：(2+i)z为纯虚数，且|z-1|=1，求复数z.
22.（12分）在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1，2+i，-1+2i. 
(1)求向量AB→，AC→，BC→对应的复数； 
(2)判定ΔABC的形状.
23.（12分）在①z=2，且z2的虚部是2；②z=1-i2+31+i2-i；③z1=21+i，z为z1的共轭复数.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作出解答.
注：选择不同条件，结果可能不同.
已知i为虚数单位，复数z满足______，设z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C，求ΔABC的面积.

答案和解析
1.【答案】D;
【解析】解：复数z=1-3i1+i=(1-3i)(1-i)(1+i)(1-i)=-2-4i2=-1-2i的模|z|=(-1)2+(-2)2=5．  
故选：D． 
利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．  
该题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

2.【答案】A;
【解析】解：Z=1+i+i2+i3+……+i9=1-i9.i1-i=21-i=1+i， 
所以Z在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，在第一象限． 
故选：A． 
利用等比数列求和公式，复数代数形式的乘除运算化简，求出Z的坐标得答案． 
这道题主要考查了等比数列的求和，考查了复数的运算和复数的几何意义，属于基础题．

3.【答案】D;
【解析】解：∵z=(3-i)⋅(2-i)=5-5i，  
∴z在复平面内对应的点的坐标为(5,-5)，位于第四象限．  
故选：D． 
利用复数代数形式的乘法运算化简得答案．  
该题考查复数代数形式的乘法运算，是基础题．

4.【答案】D;
【解析】 
此题主要考查复数的基本运算，考查复数相等的充要条件，属于基础题. 
由复数的四则运算及复数相等的充要条件得出b的值即可. 
 
解：由题意可得ai(1-2i)=1+bi， 
则ai+2a=1+bi， 
所以2a=1a=b， 
则a=b=12. 
故选D.

5.【答案】C;
【解析】解：∵a=arccosx-π， 
arccosx∈[0，π]， 
∴a＜0， 
∵b=-2x＜0， 
∴复数Z对应的点的实部和虚部都小于零， 
∴复数在第三象限， 
故选C．

6.【答案】C;
【解析】解：∵点A(2,-1)，B(1,2)，O(0,0)，复数z1，z2在复平面内对应的向量分别是OA→，OB→， 
∴z1=2-i，z2=1+2i， 
∴z1⋅z2=(2-i)(1+2i)=2+4i-i+2=4+3i. 
故选：C. 
根据已知条件，先求出z1，z2，再结合复数的运算法则，即可求解． 
此题主要考查复数的运算法则，属于基础题．

7.【答案】D;
【解析】解：∵z(2-i)=2i， 
∴z=2i2-i=2i(2+i)(2-i)(2+i)=-25+45i， 
∴|z|=(-25)2+(45)2=255. 
故选：D. 
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解． 
此题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．

8.【答案】A;
【解析】解：∵3-i20221+4i=3-(i4)505.i21+4i=3+i1+4i=(3+i)(1-4i)(1+4i)(1-4i)=717-1117i， 
∴3-i20221+4i的共轭复数对应点(717,1117)，位于第一象限． 
故选：A. 
根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解． 
此题主要考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．

9.【答案】ACD;
【解析】 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算化简，考查复数的基本概念，属于综合题． 
由已知得，z=1-3i或z=1+3i，可得z+10z=z+- z，然后逐一核对四个选项得答案． 
解：由已知得，z=1-3i或z=1+3i， 
则z+10 z=z+10- z |z|2=z+- z， 
∴z+10 z=2，则A，C正确，B错误； 
∵- z的实部大于0，故- z在复平面中所对应的点不可能在第三象限，D正确． 
故选ACD.

10.【答案】BD;
【解析】解：A.设z12=1+i，z22=1-i，满足z12+z22>0，但不满足z12>-z22，故A错； 
B.∵z12>-z22， 
∴z12，-z22都是实数，移项得z12+z22>0，故B正确； 
C.设z1=1+i，z2=1-i，则满足z12+z22=0，但不满足z1=z2=0，故C错； 
D.假设z1，z2中没有一个虚数(即全为实数)，则有z12+z22⩾0，与z12+z22<0矛盾，所以假设错误，原命题正确； 
故选：BD. 
设z12=1+i，z22=1-i，判断A；由只有实数才能比较大小，复数不能比较大小判断B；设z1=1+i，z2=1-i，判断C；用反证法判断D. 
此题主要考查了复数的运算性质，在进行大小比较时，只有实数才能比较大小，复数不能比较大小，属于基础题．

11.【答案】BCD;
【解析】 
此题主要考查了复数的四则运算 、共轭复数 、复数的概念 、复数的代数表示及其几何意义  ，由复数的四则运算 、共轭复数 、复数的概念 、复数的代数表示及其几何意义结合z=i-1分析各选项即可 
 
解：因为z=-1-i，故A错 
|z|=1+1=2，故B正确 
z2=-2i，故得z2为纯虚数，故C正确 
设z1=x+yi，故|z-z1|=2，即(x+1)2+(y-1)2=2， 
即复数z1对应的点在以-1,1为圆心，半径为2的圆上 ，故D正确. 
故选BCD . 


12.【答案】ACD;
【解析】解：对于A，∵z=x+yi， 
∴z-=x-yi， 
∴|x+yi-(x-yi)|=|2yi|=2y，故A正确， 
对于B，z2=(x+yi)2=x2-y2+2xyi，|z|2=(x2+y2)2=x2+y2， 
则z2不一定等于|z|2，故B错误， 
对于C，z·z-=(x+yi)(x-yi)=x2+y2，故C正确， 
对于D，|z|=x2+y2， 
要证|z|=x2+y2⩽|x|+|y|， 
即证x2+y2⩽|x|2+|y|2+2|x|⋅|y|， 
即证2|x|⋅|y|⩾0，显然成立，即原式得证，故D正确． 
故选：ACD. 
根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解． 
此题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．

13.【答案】BD;
【解析】解：由z+3z-1=-i，得z+3=-iz+i， 
∴z=-3+i1+i=(-3+i)(1-i)2=-2+4i2=-1+2i， 
∴z为非纯虚数，在复平面内- z位于第三象限，z的虚部为2，z的模为5， 
故AC错误，BD正确． 
故选：BD. 
先根据z+3 z-1=-i，化简求出z，然后根据选项判断即可． 
此题主要考查了复数的几何意义，复数的模和复数的运算，属基础题．

14.【答案】22;
【解析】解：∵z=1+i2i=(1+i)(-i)-2i2=12-12i， 
∴|z|=(12)2+(-12)2=22． 
故答案为：22． 
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 
该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

15.【答案】2;
【解析】该题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题． 
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解． 
 
解：∵z=3-i1+2i=(3-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=15-75i， 
∴|z|=125+4925=2． 
故答案为2．

16.【答案】i;
【解析】 
利用复数代数形式的乘除运算化简z，代入已知函数解析式求解． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，是基础题． 
 
解：∵z=i+1i-1=(1+i)(-1-i)(-1+i)(-1-i)=-2i2=-i， 
且f(x)=x2-x+1， 
则f(z)=(-i)2-(-i)+1=-1+i+1=i． 
故答案为：i． 
 


17.【答案】5;
【解析】解：因为复数z满足(1-i)⋅z=10， 
所以z=101-i=10(1+i)(1-i)(1+i)=10(1+i)1-i2=5+5i， 
则z的虚部为5. 
故答案为：5. 
把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

18.【答案】（1，1）;
【解析】解：∵3+i2-i=(3+i)(2+i)(2-i)(2+i)=5+5i5=1+i， 
∴点Z的坐标是(1,1)， 
故答案为：(1,1). 
根据复数的运算性质求出Z的坐标即可． 
此题主要考查了复数的运算性质，考查转化思想，是基础题．

19.【答案】解：（1）由m2-2m-15=0得：m=5或m=-3时，z为实数…3分 
（2）由m2-2m-15≠0，得知：m≠5且m≠-3时，z为虚数…6分 
（3）由m2-2m-15≠0，m2+5m+6=0，得知：m=-2时，z为纯虚数…9分 
（4）由m2-2m-15=0且m2+5m+6=0，得知：m=-3时，z为0…12分;
【解析】 
利用复数的基本概念对(1)(2)(3)(4)逐一分析判断即可． 
此题主要考查复数的基本概念及其应用，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．

20.【答案】解：(1)若复数所对应的点在实轴上，则m2-5m-6=0，解得：m=6或m=-1； 
(2)若复数所对应的点在虚轴上，则m2-3m-4=0，则m=4或m=-1； 
(3)若复数所对应的点在第四象限，则m2-3m-4>0m2-5m-6<0⇒m>4或m<-1-1 【解析】 
(1)直接由虚部为0求得m值； 
(2)直接由实部为0求得m值； 
(3)由实部大于0且虚部小于0联立不等式组求解． 
此题主要考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．

21.【答案】解：设z=a+bi，a，b∈R，则(2+i)z=(2+i)(a+bi)=2a-b+(a+2b)i， 
∵(2+i)z为纯虚数，∴{2a-b=0a+2b≠0， 
又|z-1|=1=|a+bi-1|=(a-1)2+b2=1， 
∴(a-1)2+b2=1②， 
由①②，得a=25b=45，∴z=25+45i. 
;
【解析】此题主要考查复数的乘法和模长的计算， 考查了计算能力，  属于基础题. 
可设z=a+bi，a，b∈R，根据(2+i)z为纯虚数，可得：2a-b=0a+2b≠0，又因为|z- 1|=1， 代入模长公式， 可得(a-1)2+b2=1， 联立解得即可.

22.【答案】解：（1）∵A，B，C三点对应的复数分别为1，2+i，-1+2i． 
∴复平面内A、B、C对应的点坐标分别为（1，0），（2，1），（-1，2）， 
∴AB→=（2，1）-（1，0）=（1，1），BC→=（-1，2）-（2，1）=（-3，1）， 
AC→=（-1，2）-（1，0）=（-2，2）， 
∴AB→，BC→，AC→对应的复数分别为1+i，-3+i，-2+2i， 
（2）∵|AB→|=2，|BC→|=10，|AC→|=8， 
∴|AB→|2+|AC→|2=|BC→|2， 
∴△ABC为直角三角形．;
【解析】 
(1)由题意得到复平面内A、B、C对应的点坐标，再根据向量的坐标运算求出AB→，BC→，AC→对应的复数； 
(2)分别求出相应线段的模，再根据勾股定理得到三角形为直角三角形． 
此题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，向量的坐标运算，训练了利用勾股定理判断三角形的形状，属于基础题．

23.【答案】解：选①：设z = a+bi(a,b∈R}，则z2=a2-b2+2abi 
由题意得a2+b2=2且2ab=2，解得a=b=1或a=b=-1， 
所以 z =1+i或 z = -1-i. 
当z =1+i时，z2=2i，z-z2=1-i， 
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1,-1)，SΔABC=1. 
当z=-1-i时，z2=2i，z-z2=-1-3i， 
所以A(-1,-1)， B(0,2)， C(-1,-3)，所以SΔABC=1. 
综上，ΔABC的面积为1. 
选②:z=-2i+3+3i2-i=3+i2-i=1+i，z2=2i，z-z2=1-i， 
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1,-1)，所以SΔABC=1. 
选③:z1=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i，其共轭复数为1+i， 
故z=1+i，z2=2i，z-z2=1-i， 
所以A(1,1)，B(0,2)，C(1,-1)，所以SΔABC=1.;
【解析】此题主要考查复数的运算及复数的几何意义，属中档题. 
依题意，分别选不同条件，求得z,z2,z-z2在复平面上的对应点分别为A,B,C的坐标，进而求得三角形的面积.