2022年高中数学新人教B版必修第四册 第10章 章末综合提升 教案

这是一份2022年高中数学新人教B版必修第四册 第10章 章末综合提升 教案
第10章 复数 章末综合提升 [巩固层·知识整合][提升层·题型探究]【例1】　复数z＝log3(x2－3x－3)＋ilog2(x－3)，当x为何实数时，(1)z∈R；(2)z为虚数．[思路探究]　根据复数的分类列不等式组求解．[解]　(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2x－3＝0， ②,x－3>0，③))由②得x＝4，经验证满足①③式．所以当x＝4时，z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部不为0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2－3x－3>0，①,log2x－3≠0， ②,x－3>0，③))由①得x>eq \f(3＋\r(21),2)或x3.所以当x>eq \f(3＋\r(21),2)且x≠4时，z为虚数．1．正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．2．两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据．3．求字母的范围时一定要关注实部与虚部自身有意义．eq \o([跟进训练])1．(1)若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为(　　)A．－4 B．－eq \f(4,5) C．4 D．eq \f(4,5)(2)设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i是虚数单位)，则复数z的实部是__________．(1)D　(2)1　[(1)∵(3－4i)z＝|4＋3i|，∴z＝eq \f(|4＋3i|,3－4i)＝eq \f(\r(42＋32),3－4i)＝eq \f(53＋4i,25)＝eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，∴z的虚部为eq \f(4,5).故选D．(2)法一：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则i(z＋1)＝i(a＋bi＋1)＝－b＋(a＋1)i＝－3＋2i.由复数相等的充要条件，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－b＝－3，,a＋1＝2，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝3.))故复数z的实部是1.法二：由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝eq \f(－3＋2i,i)＝2＋3i，故z＝1＋3i，即复数z的实部是1.]【例2】　(1)设i是虚数单位，eq \o(z,\s\up6(－))表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则eq \f(z,i)＋i·eq \o(z,\s\up6(－))＝(　　)A．－2 B．－2i C．2 D．2i(2)设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝(　　)A．2＋3i B．2－3i C．3＋2i D．3－2i[思路探究]　(1)先求出eq \x\to(z)及eq \f(z,i)，结合复数运算法则求解．(2)利用方程思想求解并化简．(1)C　(2)A　[(1)∵z＝1＋i，∴eq \o(z,\s\up6(－))＝1－i，eq \f(z,i)＝eq \f(1＋i,i)＝eq \f(－i2＋i,i)＝1－i，∴eq \f(z,i)＋i·eq \o(z,\s\up6(－))＝1－i＋i(1－i)＝2.故选C．(2)由(z－2i)(2－i)＝5，得z＝2i＋eq \f(5,2－i)＝2i＋eq \f(52＋i,2－i2＋i)＝2i＋2＋i＝2＋3i.]复数加减乘运算可类比多项式的加减乘运算，注意把i看作一个字母i2＝－1，除法运算注意应用共轭的性质eq \x\to(z)为实数.eq \o([跟进训练])2．(1)复数eq \f(2＋i,1－2i)的共轭复数是(　　)A．－eq \f(3,5)i B．eq \f(3,5)i C．－i D．i(2)已知复数z1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,2)i))(1＋i)(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.(1)C　(2)4＋2i　[(1)依题意知，eq \f(2＋i,1－2i)＝eq \f(2＋i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq \f(5i,5)＝i，∴其共轭复数为－i.(2)z1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(3,2)i))(1＋i)＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)·(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，因为z1·z2∈R，所以a＝4.所以z2＝4＋2i.]【例3】　(1)在复平面内，复数eq \f(i,1－i)对应的点位于(　　)A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限(2)在复平面内，复数eq \f(1－2i,2＋i)对应的点的坐标为(　　)A．(0，－1) B．(0,1)C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，\f(3,5)))[思路探究]　先把复数z化为复数的标准形式，再写出其对应坐标．(1)B　(2)A　[(1)复数eq \f(i,1－i)＝eq \f(i1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(－1＋i,2)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)i.∴复数对应点的坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).∴复数eq \f(i,1－i)在复平面内对应的点位于第二象限．故选B．(2)∵eq \f(1－2i,2＋i)＝eq \f(1－2i2－i,2＋i2－i)＝eq \f(－5i,5)＝－i，其对应的点为(0，－1)，故选A．]1．复数的几何表示法复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示．此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．2．复数的向量表示以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．3．复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离．4．复数形式的基本轨迹(1)|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆．(2)|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线．eq \o([跟进训练])3．(1)已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　)(2)若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数eq \f(z,1＋i)的点是(　　)A．E B．F C．G D．H(1)A　(2)D　[(1)由题图知，z＝－2＋i，∴z＋1＝－2＋i＋1＝－1＋i，故z＋1对应的向量应为选项A．(2)由题图可得z＝3＋i，所以eq \f(z,1＋i)＝eq \f(3＋i,1＋i)＝eq \f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq \f(4－2i,2)＝2－i，则其在复平面上对应的点为H(2，－1)．]【例4】　已知f(z)＝|1＋z|－eq \o(z,\s\up6(－))，且f(－z)＝10＋3i，求复数z.[思路探究]　设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \o(z,\s\up6(－))＝a－bi，由复数相等列方程组求解即可．[解]　∵f(z)＝|1＋z|－eq \o(z,\s\up6(－))，∴f(－z)＝|1－z|＋eq \o(z,\s\up6(－)).设z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \o(z,\s\up6(－))＝a－bi.由f(－z)＝10＋3i，得|1－(a＋bi)|＋a－bi＝10＋3i，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(\r(1－a2＋b2)＋a＝10，,－b＝3，))解方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝5，,b＝－3，))∴复数z＝5－3i.一般设出复数z的代数形式，即z＝x＋yi(x，y∈R)，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x，y应满足的方程(组)，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法．eq \o([跟进训练])4．满足z＋eq \f(5,z)是实数，且z＋3的实部与虚部是相反数的虚数z是否存在？若存在，求出虚数z；若不存在，请说明理由．[解]　设虚数z＝x＋yi(x，y∈R，且y≠0)，则z＋eq \f(5,z)＝x＋yi＋eq \f(5,x＋yi)＝x＋eq \f(5x,x2＋y2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)))i，z＋3＝(x＋3)＋yi.由已知，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y－\f(5y,x2＋y2)＝0，,x＋3＝－y，))因为y≠0，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝5，,x＋y＝－3，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－2))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝－1.))所以存在虚数z＝－1－2i或z＝－2－i满足题设条件．[培优层·素养升华]【例1】　设z＝i(2＋i)，则eq \x\to(z)＝(　　)A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2iD　[∵z＝i(2＋i)＝－1＋2i，∴eq \x\to(z)＝－1－2i.]【例2】　设有下面四个命题p1：若复数z满足eq \f(1,z)∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝eq \x\to(z)2；p4：若复数z∈R，则eq \x\to(z)∈R.其中的真命题为(　　)A．p1，p3 B．p1，p4 C．p2，p3 D．p2，p4B　[设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．对于p1，若eq \f(1,z)∈R，即eq \f(1,a＋bi)＝eq \f(a－bi,a2＋b2)∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝eq \x\to(z)2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝0Da1＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒eq \x\to(z)＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．]高考对复数的考查较为基础，通常以选择题的形式考查复数的概念与四则运算，属容易题，重点体现数学运算、逻辑推理、直观想象等学科素养.eq \o([素养提升练])1．设z＝eq \f(3－i,1＋2i)，则|z|＝(　　)A．2 B．eq \r(3) C．eq \r(2) D．1C　[∵z＝eq \f(3－i,1＋2i)＝eq \f(3－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(1－7i,5)，∴|z|＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,5)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,5)))eq \s\UP12(2))＝eq \r(2).]2．i是虚数单位，则eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5－i,1＋i)))的值为________．eq \r(13)　[∵eq \f(5－i,1＋i)＝eq \f(5－i1－i,1＋i1－i)＝2－3i，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(5－i,1＋i)))＝|2－3i|＝eq \r(13).]复数的概念复数的四则运算复数的几何意义函数与方程思想