高中数学人教B版 (2019)必修 第四册第十章 复数本章综合与测试随堂练习题

单元素养检测(二)(第十章)

(120分钟　150分)

一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)

1.设z=3-5i,则在复平面上对应的点位于 (　　)

A.第一象限  B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

【解析】选A.设z=3-5i,得=3+5i,则在复平面对应的点(3,5)位于第一象限.

2.若复数z-2+3i=1-i,则|z|= (　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选C.由z-2+3i=1-i,得z=3-4i,|z|=5.

3.(2019·全国卷Ⅲ)若z(1+i)=2i,则z= (　　)

A.-1-i  B.-1+i

C.1-i   D.1+i

【解析】选D.若z(1+i)=2i,则z====1+i.

4.若z=3+4i,则= (　　)

A.1   B.-1

C.+i   D.-i

【解析】选D.因为z=3+4i,所以==-i.

5.(2020·全国Ⅲ卷)复数的虚部是 (　　)

A.-  B.-  C.  D.

【解析】选D.因为==+i,所以复数的虚部为.

6.若i为虚数单位,图中复平面内点Z表示复数z,则表示复数的点是 (　　)

A.E B.F C.G D.H

【解析】选D.由题图可知z=3+i,所以====2-i,对应复平面内的点H.

7.已知复数z1=m+2i,z2=3-4i,若为实数,则实数m的值为 (　　)

A.  B.   C.-  D.-

【解析】选D.因为===+i,又为实数,所以=0,即m=-.

8.已知复数z0=1+2i在复平面上的对应点为P0,则P0关于直线l:|z-2-2i|=|z|的对称点表示的复数是(　　)

A.-i B.i C.1-i  D.1+i

【解析】选B.如图,O为原点,A(2,2),

直线l:|z-2-2i|=|z|是线段OA的垂直平分线,P0的对称点即是(0,1),其对应的复数为i.

二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)

9.已知a是实数,(a2-1)+ai是纯虚数,则a的值可以为 (　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

【解析】选AC.由题意得a2-1=0,即a=±1.当a=1时,(a2-1)+ai=i,当a=-1时,(a2-1)+ai=-i,均满足题意,故选AC.

10.已知i为虚数单位,R为实数集,C为复数集,下列表示正确的是 (　　)

A.i2∈R  B.2 020i∈CR

C.1+i2∉CR  D.2 019i∉C

【解析】选ABC.已知i为虚数单位,R为实数集,C为复数集,CR为虚数集,得i2=-1∈R,2 020i∈CR,1+i2=0∉CR,2 019i∈C.

11.已知复数z=(i是虚数单位),则下列结论正确的是 (　　)

A.|z|=

B.复数z的共轭复数=1+i

C.复数z的虚部等于-1

D.|z2n|=2n,n∈N*

【解析】选ACD.z===-1-i,所以|z|=;=-1+i;复数z的虚部等于-1;|z2n|=|z2|n=2n,n∈N*.

12.已知i为虚数单位,z∈C,下列命题为真命题的是 (　　)

A.若z-(3+2i)=i,则z=3+3i

B.若z(3+4i)=25i,则z=4+3i

C.若z+|z|=2+i,则z=+i

D.若z·(2+i)=10-5i,则=3-4i

【解析】选ABC.若z-(3+2i)=i,则z=3+2i+i=3+3i,选项A是真命题.若z(3+4i)=25i,则z====4+3i,选项B是真命题.

设z=x+yi(x,y∈R),则由z+|z|=2+i,得x+yi+=2+i,所以

解得所以z=+i,所以选项C是真命题.

若z·(2+i)=10-5i,则z====3-4i,=3+4i,选项D是假命题.

三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)

13.(2018·天津高考)i是虚数单位,复数=________. 

【解析】===4-i.

答案:4-i

14.已知z=m2-2+(2m-1)i(m∈R),其共轭复数对应复平面内的点在第二象限,则实数m的范围是________. 

【解析】因为z=m2-2+(2m-1)i(m∈R),其共轭复数=m2-2+(1-2m)i对应复平面内的点在第二象限,则m2-2<0,1-2m>0,解得-<m<,所以实数m的范围是.

答案:

15.若(a-2i)i=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,z=(a+bi)2,则|z|=________. 

【解析】由(a-2i)i=b-i,得ai+2=b-i,

即(2-b)+(a+1)i=0,得a=-1,b=2,

所以z=(a+bi)2=(-1+2i)2=-3-4i,|z|=5.

答案:5

16.已知i为虚数单位,z∈C,集合M={1,2,zi,z+i},N={2 019,2 020},若M∩N={2 019},则z=________. 

【解析】集合M={1,2,zi,z+i},N={2 019,2 020},

M∩N={2 019},则zi=2 019或z+i=2 019,

所以复数z=-2 019i或2 019-i.

答案:-2 019i或2 019-i

【易错警示】本题易忽视对集合元素对应相等的讨论而漏解.

四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P=

{-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.

【解析】由M∪P=P知MP,所以(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1或4i.当(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1时,解得m=1;

当(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i时,

解得m=2.所以m=1或m=2.

18.(12分)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的虚部为2,且z1·z2是实数,求z2.

【解题指南】解题的关键就在于“z1·z2是实数”这一条件,可得z1·z2的虚部为零,进而求出结果.

【解析】结合复数z2的虚部为2,设z2=a+2i,由已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i,得z1=2-i,又已知z1·z2=(2-i)(a+2i)=(2a+2)+(4-a)i是实数,则虚部4-a=0,即a=4,即复数z2=4+2i.

【补偿训练】

　　　已知z是复数,z+2i,均为实数(i为虚数单位),对于复数w=(z+ai)2,当a为何值时,w为:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数.

【解题指南】求复数z→化简w→求待定系数a的值.

【解析】设z=x+yi(x,y∈R),z+2i=x+(y+2)i,由题意得y=-2,==(x-2i)(2+i)=(2x+2)+(x-4)i.

由题意得x=4,所以z=4-2i.

则w=(z+ai)2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,

(1)当w为实数时,令a-2=0,所以a=2.

(2)w为虚数,只要a-2≠0,所以a≠2.

(3)w为纯虚数,只要12+4a-a2=0且a-2≠0,

所以a=-2或a=6.

19.(12分)已知复数z=1-2i(i为虚数单位).

(1)把复数z的共轭复数记作,若·z1=4+3i,求复数z1.

(2)已知z是关于x的方程2x2+px+q=0的一个根,求实数p,q的值.

【解析】(1)由题意得=1+2i,

所以z1===2-i.

(2)由题意知2(1-2i)2+p(1-2i)+q=0,

化简得(-6+p+q)+(-8-2p)i=0,

则有-6+p+q=0,-8-2p=0,解得p=-4,q=10.

20.(12分)已知复数z=(2+i)-(其中i是虚数单位,x∈R).

(1)若复数z是纯虚数,求x的值;

(2)若函数f(x)=|z|2与g(x)=-mx+3的图象有公共点,求实数m的取值范围.

【解析】(1)因为z=(2+i)-=(2-x)+(1-x)i,且复数z为纯虚数,所以,解得x=2.

(2)由(1)知函数f(x)=|z|2=(2-x)2+(1-x)2=2x2-6x+5,又函数f(x)与g(x)=-mx+3的图象有公共点,所以方程2x2-6x+5=-mx+3有解,

即方程2x2+(m-6)x+2=0有解,

所以Δ=(m-6)2-4×2×2≥0,

所以m≤2或m≥10.

所以实数m的取值范围是(-∞,2]∪[10,+∞).

【补偿训练】

　　　已知z1=x2+i,z2=x2+ai(i为虚数单位),对于任意实数x,都有|z1|>|z2|恒成立,试求实数a的取值范围.

【解析】依题意,得|z1|=,|z2|=,

|z1|>|z2|⇒|z1|2>|z2|2⇒x4+x2+1>x4+a2⇒x2+1>a2⇒-1<a<1.

所以实数a的取值范围是(-1,1).

21.(12分)已知关于x的方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0(θ∈R,x∈C).

(1)若此方程有实数根,求锐角θ的值;

(2)求证:对任意的实数θ,原方程不可能有纯虚根.

【解析】(1)设x∈R是方程x2-(tan θ+i)x-(i+2)=0的实根,则x2-xtan θ-2-(x+1)i=0,

所以

由②得x=-1,代入①得tan θ=1,所以锐角θ=.

(2)证明:反证法

若方程有纯虚根,设为x=ai(a≠0),代入原方程并整理得(-a2+a-2)-(atan θ+1)i=0,

所以(*)

因为方程-a2+a-2=0无实根,

所以方程组(*)无解.

故假设不成立,因此原方程无纯虚根.

22.(12分)设z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1.

(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围;

(2)若ω=,求证:ω为纯虚数.

【解析】(1)设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=z1+=a+bi+=+i.

因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,还可得z2=2a.

由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,

即z1的实部的取值范围是.

(2)ω==

==-i.

因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数.