2023-2024学年湖南省娄底市新化县高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年湖南省娄底市新化县高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={0,1,2}，集合B={x|x−2<0}，则A∩B=( )
A. {0,1}B. {0,2}C. {1,2}D. {0,1,2}
2.设P：−2A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知f(x)=lg2x,x>0|x−2|+2,x≤0，则f(f(0))=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
4.函数f(x)=lnx+2x−6的零点所在的区间是( )
A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)
5.已知a= 1−cs110∘2，b= 22(sin20∘+cs20∘)，c=1+tan20∘1−tan20∘，则( )
A. a6.已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，所得图象对应函数解析式为( )
A. y=2sin2xB. y=2cs2x
C. y=2sin(2x+2π3)D. y=2sin(2x+π6)
7.已知函数y=f(x)在定义域(−1,1)上是减函数，且f(2a−1)A. (23,+∞)B. (23,1)C. (0,2)D. (0,+∞)
8.如图，给定菱形ABCD，点P从A出发，沿A−B−C在菱形的边上运动，运动到C停止，点P关于AC的对称点为Q，PQ与AC相交于点M，R为菱形ABCD边上的动点(不与P，Q重合)，当AM=x时，△PQR面积的最大值为y，则y关于x的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题是真命题的有( )
A. ∀x∈R,x2−x+14≥0B. 所有的正方形都是矩形
C. ∃x∈R，x2+2x+2≤0D. 至少有一个实数x，使x2−2=0
10.若x>0，y>0，则下列各式中，恒等的是( )
A. lgx+lgy=lg(x+y)B. lgxy=lgx−lgy
C. lgx2=(lgx)2D. lgy3 x=3lgy−12lgx
11.下列弧度与角度的转化正确的是( )
A. −240∘=−4π3B. 5π3=330∘C. 225∘=5π4D. −7π4=−310∘
12.已知关于x的不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0(a>0,b>0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，则下列结论正确的是( )
A. 2a+b=1B. ab的最大值为18
C. 1a+2b的最小值为4D. 1a+1b的最小值为3+2 2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. (3−π)2+(12)−1+(14)0=______.
14.已知幂函数y=f(x)的图象过点(3, 3)，则lg4f(2)=______.
15.f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图，则其解析式为______.
16.设函数f(x)的定义域为D，若满足：①f(x)在D内是单调增函数；②存在[m,n]⊆D(n>m)，使得f(x)在[m,n]上的值域为[m,n]，那么就称y=f(x)是定义域为D的“成功函数”，若函数g(x)=lg3⁡(a2x+t)(a>0且a≠1)是定义域为R的“成功函数”，则t的取值范围是______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设集合A={x∈R|x(x−2)≤0}，B={x∈R|m−1≤x≤m+6}.
(1)若m=−1，求(∁RA)∩B；
(2)若A⊆B，求实数m的取值范围.
18.(本小题12分)
已知4csα−sinα3sinα+2csα=14.
(1)求tanα的值；
(2)求sin(π−α)sin(3π2−α)的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=(csx+ 3sinx)⋅sin(π2−x)+12.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)求函数f(x)在区间[712π,56π]上的最小值以及取得该最小值时x的值．
20.(本小题12分)
已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x+2，且f(x)的图象经过点A(1,−6).
(1)求f(x)的解析式；
(2)若x∈[−2,2]，不等式f(x)≤mx恒成立，求实数m的取值范围.
21.(本小题12分)
美国对中国芯片的技术封锁，这却激发了中国“芯”的研究热潮，中国华为公司研发的A，B两种芯片都已获得成功．该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产，经市场调查与预测，生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B芯片的毛收入y(千万元)与投入的资金x(千万元)的函数关系为y=kxα(x>0)(k与α都为常数)，其图象如图所示．
(1)试分别求出生产A，B两种芯片的毛收入y(千万元)与投入资金x(千万元)函数关系式；
(2)现在公司准备投入4亿元资金同时生产A，B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，用f(x)表示公司所获利润，当x为多少时，可以获得最大利润？并求最大利润．(利润=A芯片毛收入+B芯片毛收入-研发耗费资金)
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2x+k×2−x，其中k为常数.若函数f(x)在区间I上f(−x)=−f(x)，则称函数f(x)为I上的“局部奇函数”；若函数f(x)在区间I上满足f(−x)=f(x)，则称函数f(x)为I上的“局部偶函数”.
(1)若f(x)为[−2,2]上的“局部奇函数”，当x∈[−2,2]时，解不等式f(x)>2；
(2)已知函数f(x)在区间[−1,1]上是“局部奇函数”，在区间[−2,−1)∪(1,2]上是“局部偶函数”，F(x)=f(x),x∈[−1,1]f(x),x∈[−2,−1)∪(1,2],对于[−2,2]上任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)>m+F(x3)恒成立，求实数m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：由B中不等式x−2<0，得到x<2，即B=(−∞,2)，
∵A={0,1,2}，
∴A∩B={0,1}，
故选：A.
求出B中不等式的解集确定出B，找出A与B的交集即可．
此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
2.【答案】B
【解析】解：当−2反之，当0因此，p是q成立的必要不充分条件．
故选：B.
根据充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查不等式的性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：f(x)=lg2x,x>0|x−2|+2,x≤0，
则f(0)=|0−2|+2=4，
故f(f(0))=f(4)=lg24=2.
故选：C.
根据已知条件，结合函数的解析式，即可求解．
本题主要考查函数的值，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=lnx+2x−6在(0,+∞)上单调递增，
∵f(2)=ln2−2<0，f(3)=ln3>0，
∴函数f(x)=lnx+2x−6的零点所在的区间是(2,3).
故选：C.
判断函数的单调性，由f(2)<0，f(3)>0，结合函数零点判定定理得答案．
本题考查函数零点判定定理的应用，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为a= 1−cs110∘2=sin55∘，
b= 22(sin20∘+cs20∘)=sin65∘，
c=1+tan20∘1−tan20∘=tan45∘+tan20∘1−tan45∘⋅tan20∘=tan65∘，
又sin55∘所以a故选：A.
根据二倍角的余弦公式求出a，根据辅助角公式求出b，根据两角和的正切公式求出c，结合三角函数的性质即可求解．
本题考查了三角函数恒等变换的应用以及三角函数的性质的应用，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：函数f(x)=2sin(ωx+π3)的最小正周期为π，故ω=2，
所以f(x)=2sin(2x+π3)，
把函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到y=2sin(2x−π3+π3)=2sin2x的图象，
故函数的解析式为y=2sin2x.
故选：A.
直接利用正弦型函数的性质和函数的图象的平移变换求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，函数的图象的平移变换，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了函数单调性的应用，属于基础题.
利用函数y=f(x)在定义域(−1,1)上是减函数，将f(2a−1)1−a求解，注意定义域．
【解答】
解：函数y=f(x)在定义域(−1,1)上是减函数，
且f(2a−1)则有：−1<2a−1<1−1<1−a<12a−1>1−a，
解得：23故选B.
8.【答案】C
【解析】解：因为四边形ABCD是菱形，且P关于AC的对称点为Q，所以PQ⊥AC，
先研究P从A运动到B的情况，
设AC=a，∠PAM=α，则PQ=2x⋅tanα，然后可得y=12PQ⋅MC=x⋅(a−x)tanα，
因为P从A运动到B与P从B运动到C时，对应的△PQR面积最大值的变化规律是相反的，
所以设0y=x⋅(a−x)tanα=[−(x−a2)2+a24]tanα，(00，
结合二次函数的性质可知，该函数开口向下，且在(0,a2)上单调递增，C选项正确．
故选：C.
先研究P从A运动到B的情况，可设AC=a，∠PAM=α，则PQ=2x⋅tanα，然后可得y=12PQ⋅MC且y=x⋅(a−x)tanα，(0本题考查二次函数的性质和应用以及学生的建模能力，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，∀x∈R，x2−x+14=(x−12)2≥0，正确；
对于B，所有的正方形都是矩形，正确；
对于C，∀x∈R，x2+2x+2=(x+1)2+1≥1，错误；
对于D，因为x2−2=0，所以x=± 2，即有两个实数x，使x2−2=0，正确．
故选：ABD.
利用配方法即可判断AC，利用正方形概念判断B，解二次方程判断D.
本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：对于A：lgx+lgy=lg(xy)，故选项A不正确；
对于B，根据对数的运算法则得lgxy=lgx−lgy，故B正确；
对于C：lgx2=2lgx，故选项B不正确；
对于D：lgy3 x=lgy3−lg x=lgy3−lgx12=3lgy−12lgx，故选项D正确．
故选：BD.
根据对数运算法则和性质即可判断．
本题主要考查对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】AC
【解析】解：对于A，−240∘=−4π3，A对；
对于B，5π3=300∘，B错；
对于C，225∘=5π4，C对；
对于D，−7π4=−315∘，D错．
故选：AC.
利用角度与弧度的转化关系即可判断各选项
本题主要考查了角度与弧度的转化，属于基础题．
12.【答案】ABD
【解析】解：因为关于x的不等式(2a+3m)x2−(b−3m)x−1>0(a>0,b>0)的解集为(−∞,−1)∪(12,+∞)，
所以−1+12=b−3m2a+3m−1×12=−12a+3m，所以2a+3m=2，b−3m=−1，所以2a+b=1，选项A正确；
因为a>0，b>0，所以1=2a+b≥2 2ab，当且仅当2a=b=12时取等号，解得ab≤18，选项B正确；
1a+2b=2a+ba+4a+2bb=4+ba+4ab≥4+2 ba⋅4ab=8，当且仅当b=2a=12时取等号，选项C错误；
1a+1b=2a+ba+2a+bb=3+ba+2ab≥3+2 2，当且仅当ba=2ab且2a+b=1，即a=1− 22，b= 2−1时取等号，选项D正确．
故选：ABD.
根据一元二次不等式与二次方程的关系可得a，b的关系，结合基本不等式分别检验各选项，即可得解．
本题考查了不等式与对应方程根的关系，以及利用基本不等式求最值的问题，是中档题．
13.【答案】π
【解析】解： (3−π)2+(12)−1+(14)0
=π−3+2+1
=π.
故答案为：π.
根据指数幂的运算性质计算即可．
本题考查了指数幂的运算性质，是基础题．
14.【答案】14
【解析】【分析】
本题主要考查利用幂函数的解析式求解，用待定系数法是解决本题的关键.
【解答】
解：设幂函数f(x)=xα，
∵函数的图象过点(3, 3)，
∴f(3)=3α= 3，
解得α=12，
则f(x)=x12= x，
则f(2)= 2，
则lg4f(2)=lg4 2=lg2212lg24=122=14.
故答案为14.
15.【答案】f(x)=2sin(2x+π4)
【解析】解：由题意A=2，且T=7π8−(−π8)=π，
而T=2πω，可得ω=2，
且2⋅3π8+φ=π+2kπ，k∈Z，|φ|<π2，
可得φ=π4，
所以函数的解析式为f(x)=2sin(2x+π4).
故答案为：f(x)=2sin(2x+π4).
由函数的图象可知A的值，由过的点(−π8,0)，(3π8,0)，可得周期，进而可得ω的值，再将点(3π8,0)代入可得φ的值，即求出函数的解析式．
本题考查由三角函数图象求三角函数的解析式的方法，属于基础题．
16.【答案】(0,14)
【解析】解：依题意，函数g(x)=lga(a2x+t)(a>0且a≠1)在定义域R上为单调递增函数，则t≥0，而t=0时，g(x)=2x不满足条件(2)，所以t>0，
设存在[m,n]，使得g(x)在[m,n]上的值域为[m,n]，
所以lga(a2m+t)=mlga(a2n+t)=n，即a2m+t=ama2n+t=an，
所以m，n是方程(ax)2−ax+t=0的两个不等的实根，设y=ax，则y>0，
所以方程等价为y2−y+t=0的有两个不等的正实根，
即Δ=1−4t>0y1y2=t>0y1+y2=1>0，所以t<14t>0，解得t∈(0,14).
故答案为：(0,14).
先根据对数型复合函数的单调性求得t>0，然后根据“成功函数”的定义列方程，从而转化为二次方程有两正根的问题，利用二次函数根的分布列不等式求解即可．
本题主要考查函数与方程的综合应用，属于中档题．
17.【答案】解；(1)集合A={x|0≤x≤2}，集合B={x|−2≤x≤5}，
则∁RA={x|x<0或x>2}，
故(∁RA)∩B={x|−2≤x<0或2(2)因为A⊆B，所以m−1≤0m+6≥2，解得−4≤m≤1，
故m的取值范围为{m|−4≤m≤1}.
【解析】(1)先化简集合A，B，再利用集合的运算求解；
(2)根据集合关系列出不等式，求出参数范围．
本题主要考查了集合交集及补集运算，还考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)∵4csα−sinα3sinα+2csα=14，
∴16csα−4sinα=3sinα+2csα，
∴14csα=7sinα，
∴tanα=2；
(2)∵sin(π−α)sin(3π2−α)=−sinαcsα
=−sinαcsαsin2α+cs2α=−tanαtan2α+1，
又tanα=2，
∴原式=−24+1=−25.
【解析】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数的基本关系，是基础题．
(1)化简后利用同角三角函数的基本关系可得结果；
(2)先利用诱导公式化简，再构造分母转化为正切，利用第一问的正弦值即可求出结果．
19.【答案】解：(1)因为函数f(x)=(csx+ 3sinx)⋅sin(π2−x)+12
=(csx+ 3sinx)⋅csx+12
=cs2x+ 3sinxcsx+12
=1+cs2x2+ 32sin2x+12
=sin(2x+π6)+1；
∴函数f(x)最小正周期是T=π；
当2kπ−π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，
即kπ−π3≤x≤kπ+π6，k∈Z，
函数f(x)单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k∈Z；
(2)x∈[712π,56π]⇒4π3≤2x+π6≤11π6；
所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0.
【解析】(1)函数解析式利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出函数f(x)的最小正周期，根据正弦函数的单调性即可确定出f(x)的单调递增区间；
(2)由x∈[712π,56π]可得：43π≤2x+π6≤116π，所以当2x+π6=32π时，即x=23π时，f(x)取得最小值0.
本题主要考查了三角函数的图象和性质，以及三角函数求最值，是中档题．
20.【答案】解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c，
因为f(x+1)−f(x)=2x+2，
所以2ax+a+b=2x+2，得a=1，b=1，
因为f(x)的图象经过点A(1−6)，
所以f(1)=1+1+c=−6，即c=−8，
故f(x)=x2+x−8.
(2)设g(x)=f(x)−mx=x2+(1−m)x−8，
因为当x∈[−2,2]时，不等式f(x)≤mx恒成立，
所以g(−2)≤0g(2)≤0，即4−2(1−m)−8≤04+2(1−m)−8≤0，
解得−1≤m≤3.
故m的取值范围是[−1,3].
【解析】(1)设出函数的解析式，得到关于a，b，c的方程，求出即可；
(2)设g(x)=f(x)−mx，结合二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可．
本题主要考查二次函数的解析式，不等式恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为生产A芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设为y=k1x，
且x=1时，y=14，代入解得k1=14，则生产A芯片的毛收入y=14x；
将(1,1)，(4,2)代入y=kxa，得k=1k×4a=2，解得k=1a=12，
所以，生产B芯片的毛收入为y= x.
(2)公司投入4亿元资金同时生产A、B两种芯片，设投入x千万元生产B芯片，则投入(40−x)千万元资金生产A芯片，
公司所获利润f(x)=40−x4+ x−2=−14( x−2)2+9，
故当 x=2，即x=4千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元．
【解析】(1)根据待定系数法，可求出解析式；
(2)将实际问题转换成二次函数求最值的问题，即可求解．
本题考查实际问题，考查分段函数，考查二次函数的最值问题，属于综合题．
22.【答案】解：(1)若f(x)为[−2,2]上的“局部奇函数”，
所以f(−x)=−f(x)，
即2−x+k×2x=−(2x+k×2−x)，
整理可得(1+k)(2x+2−x)=0，
所以1+k=0，解得k=−1，
所以f(x)=2x−2−x，
由f(x)=2x−2−x>2，可得(2x)2−2×2x−1>0，
所以2x> 2+1，解得x>lg2( 2+1)，
又因为x∈[−2,2]，所以lg2( 2+1)所以不等式的解集为{x|lg2( 2+1)(2)若f(x)为[−1,1]上的“局部奇函数”，由(1)知，f(x)=2x−2−x，
若f(x)为区间[−2,−1)∪(1,2]上是“局部偶函数”，可得f(−x)=f(x)，
即2−x+k×2x=2x+k×2−x，整理可得(k−1)(2x−2−x)=0，
所以k−1=0，即k=1，
所以F(x)=2x−2−x,x∈[−1,1]2x+2−x,x∈[−2,−1)∪(1,2],
令t=2x，
当x∈[−1,1]时，t∈[12,2]，y=t−1t在[12,2]单调递增，
当t=12时，ymin=12−2=−32，当t=2时，ymax=2−12=32，
所以当x∈[−1,1]时，F(x)∈[−32,32]，
当x∈[−2,−1)∪(1,2]时，此时F(x)=2x+2−x为局部偶函数，
当x∈(1,2]时，t=2x∈(2,4],y=t+1t在(2,4]单调递增，
此时F(x)∈(52,174],
所以F(x)∈[−32,32]∪(52,174],F(x)max=174,F(x)min=−32,
对于[−2,2]上任意实数x1，x2，x3，不等式F(x1)+F(x2)>m+F(x3)恒成立，
可得2F(x)min>m+F(x)max，即2×(−32)>m+174，
解得：m<−294，
所以实数m的取值范围是(−∞,−294).
【解析】(1)利用局部奇函数的定义可得2−x+k×2x=−(2x+k×2−x)即可求得k的值，然后利用指数函数，对数函数的性质即得；
(2)先利用局部奇函数和偶函数的定义求出分段函数的解析式，再由换元法结合单调性求出分段函数的最值，解不等式2F(x)min>m+F(x)max即可求解．
本题以新定义为载体，主要考查了函数奇偶性及单调性的判断及应用，还考查了不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．