2023-2024学年湖南省湘西州高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省湘西州高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|19≤3x<9}，B={−3,−1,0,2,4}，则A∩B=( )
A. {−1,0}B. {−1,0,2}C. {−3,−1,0}D. {0,2}
2.已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点A(−3,4)，则sin(π−α)=( )
A. −45B. −35C. 35D. 45
3.“α+β=π2”是“sin2α+sin2β=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.函数f(x)=(2x−2−x)csx的部分图象大致为( )
A. B.
C. D.
5.砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.图(2)是根据一个砖雕(如图(1))所作的扇环形，该扇环可视为将扇形OAB截去同心扇形OCD所得的图形，若∠AOB=2π3，C，D分别在OA，OB上，AC=2，AB的长度lAB=2π，则该扇环形砖雕的面积为( )
A. 8π3B. 7π3C. 5π3D. 7π6
6.若f(x)=lg2(9x+1)−kx是偶函数，则k=( )
A. 1B. 32C. lg23D. 2
7.若函数f(x)=2−x2+ax在区间[−1,1]上单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,2]B. [2,+∞)C. (−∞,−2]D. [−2,+∞)
8.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(单位：km/s)、燃料的质量M(单位：kg)、火箭的质量m(单位：kg)满足的函数关系式为ev2000=1+Mm.已知当燃料质量与火箭质量的比值为t0时，火箭的最大速度可达到v0km/s，当燃料质量与火箭质量的比值为t1时，火箭的最大速度可达到3v0km/s，则t1t0−t02−3t0=( )
A. 1B. 3C. −1D. −3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列各式的值为1的是( )
A. cs72∘cs12∘+sin72∘sin12∘B. 4sinπ12csπ12
C. tan10∘+tan35∘1−tan10∘tan35∘D. 32sin30∘+12cs30∘
10.已知函数f(x)=2cs(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π，则( )
A. ω=2B. f(x)的图象与y轴交于点(0,12)
C. f(x)的图象关于直线x=2π3对称D. f(x)在区间(−π3,0)上单调递增
11.已知函数f(x)=2x+1,x≤ax2−2,x>a的图象是一条连续不断的曲线，且f(−1)>f(0)，则下列说法正确的是( )
A. f(f(0))=−3
B. f(x)在区间(−1,0)上单调递减
C. 若−2D. 若k>1，则函数y=f(x)−kx有3个不同的零点
12.设a=ln4，b=lg4，c=20.6，则( )
A. b>aB. c>aC. a−b>abD. a+b>ab
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,12)，则f(116)=______.
14.已知sinα−2csα=0，则sin2α=______.
15.不等式 x−3lg2(x−2)−1≥0的解集为______.
16.若函数f(x)=2sin(ωx+π6)−1在区间[0,π2]上有且仅有2个零点，则ω的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|m−5≤x<2m+3}，B={x||2x−3|≤7}.
(Ⅰ)当m=1时，求A∩(∁RB)；
(Ⅱ)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围.
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示.
(Ⅰ)求f(x)的解析式；
(Ⅱ)若f(x)在区间[0,m]上的值域为[− 3, 3]，求m的值.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+b(a,b∈R).
(Ⅰ)若b=0，且∀x∈R，f(x)≥−x2−2x−4，求a的取值范围；
(Ⅱ)若关于x的不等式f(x)≥x2−4x+3的解集为[−2,−1]，求y=x2+a|x|+b|x|的最小值.
20.(本小题12分)
已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1，当x>0时，f(x)>−1，且f(1)=1.
(Ⅰ)求f(0)；
(Ⅱ)若g(x)=f(x)+k为奇函数，求k的值；
(Ⅲ)解不等式f(x+4)+f(x)>2.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg2(x2+4x+3).
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[a,b](其中022.(本小题12分)
已知函数f(x)=cs2x−2sin2(x−π6)+1将f(x)的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移π6个单位长度，得到g(x)的图象.
(Ⅰ)求f(x)的单调递增区间；
(Ⅱ)若对任意的x1∈[0,π3]，总存在唯一的x2∈[−π3,π]，使得f(x1)+g(x2)=m，求m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为A={x|19≤3x<9}={x|−2≤x<2}，B={−3,−1,0,2,4}，
则A∩B={−1,0}.
故选：A.
先求出集合A，然后结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点A(−3,4)，
所以r= (−3)2+42=5，
则sinα=yr=45，
所以sin(π−α)=sinα=45.
故选：D.
根据三角函数的定义以及诱导公式进行求解即可．
本题主要考查三角函数的计算，利用三角函数的定义是解决本题的关键，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由α+β=π2可得β=π2−α，则sin2α+sin2(π2−α)=sin2α+cs2α=1，
即“α+β=π2”是“sin2α+sin2β=1”的充分条件，
当α=3π2，y=0时，sin2α+sin2β=1成立，但推不出α+β=π2，
故“α+β=π2”是“sin2α+sin2β=1”的充分不必要条件，
故选：A.
判断“α+β=π2”和“sin2α+sin2β=1”之间的逻辑推理关系，可得答案．
本题主要考查了充分条件好人必要条件的定义，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：∵f(x)=(2x−2−x)csx，
∴定义域为R，关于原点对称，
由f(−x)=(2−x−2x)cs(−x)=−(2x−2−x)csx=−f(x)，
所以f(x)为奇函数，排除C；
当x=π2时，csπ2=0，即有f(π2)=0，排除A.
当00，2x−2−x>0，故f(x)>0，排除B.
故选：D.
判断函数的奇偶性和对称性，利用函数符号，结合排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性，以及函数符号关系是解决本题的关键，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：根据弧长公式lAB=|AO|⋅2π3=2π，所以|AO|=3，
故|CO|=1，
故扇环形砖雕的面积：S=12×(32−12)×2π3=8π3.
故选：A.
直接利用扇形的面积公式求出结果．
本题考查的知识要点：扇形的面积公式，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：若f(x)=lg2(9x+1)−kx是偶函数，
则f(−x)=f(x)，
即lg2(9−x+1)+kx=lg2(9x+1)−kx，
即lg2(9−x+1)−lg2(9x+1)=−2kx，
所以lg21+9−x1+9x=lg219x=−2kx，
所以−2xlg23=−2kx，
所以k=lg23.
故选：C.
由已知结合偶函数的定义即可求解．
本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：要使函数f(x)=2−x2+ax在区间[−1,1]上单调递增，
则需t=−x2+ax在区间[−1,1]上单调递增，
其对称轴方程为x=a2，则a2≥1，即a≥2.
∴实数a的取值范围是[2,+∞).
故选：B.
问题转化为t=−x2+ax在区间[−1,1]上单调递增，再由二次函数的单调性列不等式求解．
本题考查复合函数的单调性及其求法，是基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得：v=2000ln(1+t)，
∴v0=2000ln(1+t0)①
3v0=2000ln(1+t1)②，
所以①②得:13=ln⁡(1+t0)ln⁡(1+t1)，则(1+t0)3=(1+t1)，
解得：t1t0−t02−3t0=3.
故选：B.
令t=Mm，根据指对数得互化可求得v=2000ln(1+t)，再根据已知条件可得结果．
本题考查了指对数得互化和函数的实际应用，属于中档题．
9.【答案】BC
【解析】解：对于A：cs72∘cs12∘+sin72∘sin12∘=cs60∘=12，故A错误；
对于B：4sinπ12csπ12=2sinπ6=1，故B正确；
对于C：tan10∘+tan35∘1−tan10∘tan35∘=tan45∘=1，故C正确；
对于D： 32sin30∘+12cs30∘=sin(30∘+30∘)= 32，故D错误．
故选：BC.
直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】ACD
【解析】解：∵f(x)=2cs(ωx−π3)(ω>0)的最小正周期为π，
∴T=2πω=π，
∴ω=2，A正确；
f(x)=2cs(2x−π3).
当x=0时，f(0)=2cs(−π3)=1，B错误；
f(2π3)=2csπ=−2，为最小值，
∴f(x)的图象关于直线x=2π3对称，C正确；
又x∈(−π3,0)⇒2x−π3∈(−π,−π3)⊆(−π,0)，f(x)在区间(−π3,0)上单调递增，D正确．
故选：ACD.
依题意，可求得f(x)=2cs(2x−π3)，利用余弦函数的性质对各个选项逐一分析可得答案．
本题考查正弦函数的周期性和对称性，考查运算求解能力，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：令2x+1=x2−2，解得x=−1或x=3，
因为函数f(x)=2x+1,x≤ax2−2,x>a的图象是一条连续不断的曲线，
所以a=−1或a=3，
当a=3时，f(−1)>f(0)不成立，舍去，
当a=−1时，f(−1)>f(0)成立，
故f(x)=2x+1,x≤−1x2−2,x>−1，
所以f(f(0))=f(−2)=−3，故A正确；
作函数f(x)的图象，如图，
由图象可知，当x∈(−1,0)时，函数f(x)单调递减，故B正确；
令y=f(x)−b=0，可得方程f(x)=b，即方程的根为函数零点，
由函数图象可知，当−2所以方程有3个根，即y=f(x)−b有3个不同的零点，故C正确；
由图象可知，y=kx斜率大于2时，与左下方射线无交点，与y=f(x)的图象有2个交点，
即当k>1时y=f(x)−kx有3个不同的零点表述错误，故D错误．
故选：ABC.
根据图象特点及条件确定a=−1，由函数解析式计算可判断A，作出函数图象，数形结合即可判断BCD.
本题主要考查了分段函数的应用，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：b−a=lg4−ln4=lg4−lg4lge=lg4(lge−1)lge，
∵1>lge>0，lg4>0，∴b−a<0，∴b∵42∵(32)5=24332，(20.6)5=(235)5=8=25632，
∴32<20.6，∴ln4<20.6，∴c>a，故B正确；
∵1a=lg4e，1b=lg410，
1b−1a=lg410e<1，
∴a−b∴1a+1b=lg410e>1，即a+b>ab，D正确．
故选：BD.
由已知结合指数函数及对数函数单调性检验各选项即可判断．
本题主要考查了对数函数单调性及对数的换底公式的应用，属于中档题．
13.【答案】4
【解析】解：∵幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,12)，
∴f(4)=4α=12，解得α=−12，
∴f(x)=x−12，
则f(116)=(116)−12=4.
故答案为：4.
由幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,12)，求出α=−12，从而f(x)=x−12，由此能求出f(116).
本题考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】45
【解析】解：∵sinα−2csα=0，∴tanα=2，∴sin2α=2sinαcsαsin2α+cs2α=2tanαtan2α+1=45.
故答案为：45.
由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式，求得要求的式子的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，二倍角公式的应用，属于基础题．
15.【答案】[3,4)∪(4,+∞)
【解析】解：由不等式 x−3lg2(x−2)−1≥0，可得x−3≥0x−2>0x−2≠2，求得x≥3且x≠4，
故原不等式的解集为[3,4)∪(4,+∞).
故答案为：[3,4)∪(4,+∞).
由题意，根据分式不等式、对数、偶次根式的性质，列出不等式组，求得x的范围．
本题主要考查分式不等式、对数、偶次根式的性质，属于基础题．
16.【答案】(4,163]
【解析】解：令f(x)=2sin(ωx+π6)−1=0，
整理得2sin(ωx+π6)=1，
故sin(ωx+π6)=12，
所以ωx+π6=2kπ+π6或2kπ+5π6，(k∈Z)；
解得x=2kπω或2kπω+2π3ω(k∈Z)；
当k=0时，x=2π3ω，
当k=1时，x=2πω或8π3ω；
故0<2π3ω<2πω<π2≤8π3ω；
解得：4<ω≤163.
故ω的取值范围为(4,163].
故答案为：(4,163].
直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)当m=1时，A={x|−4≤x<5}，B={x||2x−3|≤7}={x|−2≤x≤5}，
则∁RB={x|x>5或x<−2}，
所以A∩(∁RB)={x|−4≤x<−2}；
(Ⅱ)若A∩B=⌀，A={x|m−5≤x<2m+3}，B={x|−2≤x≤5}，
当A=⌀时，m−5≥2m+3，解得m≤−8，符合题意；
当A≠⌀时，{m>−82m+3⩽−2或m−5>5，解得m>10或−8故m的范围为{m|m>10或m≤−52}.
【解析】(Ⅰ)先求出集合A，B，然后结合集合的交集及补集运算即可求解；
(Ⅱ)结合集合的交集运算即可求解．
本题主要考查了集合的交集运算及补集运算，属于基础题．
18.【答案】解：(Ⅰ)由图象可知，A=2，12T=7π12−π3=π4，
所以T=π2，ω=4，
所以f(x)=2sin(4x+φ)，
因为f(π3)=2sin(4π3+φ)=0且|φ|<π2，
所以φ=−π3，
故f(x)=2sin(4x−π3)；
(Ⅱ)当x=5π24时，函数取得最大值2，
又f(0)=− 3，f(π6)= 3，
若在区间[0,m]上的值域为[− 3, 3]，则m=π6.
【解析】(I)由已知结合函数最值可求A，由周期可求ω，然后由函数图象经过的点可求φ，进而可求函数解析式；
(Ⅱ)结合正弦函数的单调性及最值即可求解．
本题主要考查了由部分函数的图象求解函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，还考查了正弦函数单调性的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当b=0时，f(x)=ax，则∀x∈R，ax≥−x2−2x−4，即x2+(a+2)x+4≥0恒成立，
所以Δ=(a+2)2−16≤0，解得−6≤a≤2，即a的取值范围为[−6,2].
(Ⅱ)由f(x)≥x2−4x+3，可得x2−(4+a)x+3−b≤0，
因为不等式的解集为[−2,−1]，所以由根与系数关系可得4+a=−3，3−b=2，
解得a=−7，b=1，
所以y=x2+a|x|+b|x|=|x|+1|x|−7≥2 |x|⋅1|x|−7=−5，
当且仅当|x|=1|x|，即x=±1时等号成立，
故函数y=x2+a|x|+b|x|的最小值为−5.
【解析】(Ⅰ)化简不等式，根据一元二次不等式恒成立，利用判别式求解；
(Ⅱ)由一元二次不等式的解集求出a，b，再由均值不等式求最小值即可．
本题主要考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(Ⅰ)因为定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+1，
所以f(0)=f(0)+f(0)+1，即f(0)=−1；
(Ⅱ)因为f(x+y)=f(x)+f(y)+1，
令y=−x，则f(0)=f(x)+f(−x)+1=−1，
所以f(x)+f(−x)=−2，
若g(x)=f(x)+k为奇函数，
则g(−x)+g(x)=0，
所以f(−x)+f(x)+2k=0，
所以2k=2，即k=1；
(Ⅲ)任取x10，
因为x>0时，f(x)>−1，
所以f(x2−x1)>−1，
则f(x2)−f(x1)=f[x1+(x2−x1)]−f(x1)=f(x1)+f(x2−x1)+1−f(x1)=f(x2−x1)+1>0，
所以f(x2)>f(x1)，
所以f(x)在R上单调递增，
因为f(1)=1，
所以f(1+1)=f(1)+f(1)+1=3，即f(2)=3，
由不等式f(x+4)+f(x)>2可得f(x+4)+f(x)+1>3，
即f(x+4+x)>f(2)，
所以2x+4>2，
解得x>−1，
故原不等式的解集为{x|x>−1}.
【解析】(Ⅰ)利用赋值法求得f(0).
(Ⅱ)根据函数的奇偶性列方程来求得k.
(Ⅲ)根据函数的单调性求得不等式的解集．
本题主要考查了赋值法在函数求值中的应用，还考查了函数的奇偶性及单调性的判断及应用，属于中档题．
21.【答案】解：(Ⅰ)令u(x)=x2+4x+3，则x2+4x+3>0，所以x>−1或x<−3，
所以u(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增，
因为2>1，根据复合函数的单调性，
所以f(x)在(−∞,−3)上单调递减，在(−1,+∞)上单调递增．
(Ⅱ)函数f(x)在(−1,+∞)上的增函数，
所以f(x)在区间[a,b]上的值域为[lg2(λa),lg2(λb)]，则λ>0，
根据条件，可得f(a)=lg2(λa)f(b)=lg2(λb)，即lg2(a2+4a+3)=lg2(λa)lg2(b2+4b+3)=lg2(λb)，
所以a2+4a+3=λab2+4b+3=λb，则a，b即为方程x2+(4−λ)x+3=0的两个不相等的实数根，
要使得实数a，b存在，则方程x2+(4−λ)x+3=0在(0,8)上有两个不相等的实根，
可将问题转化为h(x)=x2+(4−λ)x+3在(0,8)上有两个不等零点，
所以Δ=(4−λ)2−12>00<−4−λ2<8h(0)=3>0h(8)=64+8(4−λ)+3>0，解得4+2 3<λ<998，
所以实数λ的取值范围为(4+2 3,998).
【解析】(Ⅰ)根据复合函数单调性讨论函数f(x)的单调性即可；
(Ⅱ)将问题转化为h(x)=x2+(4−λ)x+3在(0,8)上有两个不等实根，结合二次函数的图象得到不等式组，再求出实数λ的取值范围．
本题考查了复合函数的单调性，根据函数的值域求参数的取值范围，考查了方程思想和转化思想，属难题．
22.【答案】解：(Ⅰ)f(x)=cs2x−2sin2(x−π6)+1=cs2x−2⋅1−cs(2x−π3)2+1
=cs2x−1+cs(2x−π3)+1=cs2x+cs(2x−π3)
=cs2x+12cs2x+ 32sin2x
=32cs2x+ 32sin2x
= 3sin(2x+π3)，
令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z，
解得−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间为[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z.
(Ⅱ)由题意可得g(x)= 3sin(x+π2)，
由f(x1)+g(x2)=m，得g(x2)=m−f(x1)，
∵x1∈[0,π3]，∴2x1+π3∈[π3,π]，
∴ 3sin(2x+π3)∈[0, 3]，
又x2∈[−π3,π]，x2+π2∈[π6,3π2]，
∴ 3sin(x+π2)∈[− 3, 3]，
对任意的x1∈[0,π3]，总存在唯一的x2∈[−π3,π]，使得f(x1)+g(x2)=m，
只需[− 3+m,m]⊆[− 3, 3]，
∴− 3+m≥− 3m≤ 3，解得0≤m≤ 3，即m的取值范围为[0, 3].
【解析】(Ⅰ)由二倍角的正弦公式、两角差的余弦公式化简f(x)，再令−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，即可得出答案；
(Ⅱ)由三角函数的平移变换求出g(x)，再求出x1∈[0,π3]时f(x)的值域和x2∈[−π3,π]时g(x)的值域，可得[− 3+m,m]⊆[−1,1]，即可得出答案．
本题主要考查函数恒成立问题，三角函数图象的平移变换，三角恒等变换以及正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．