2023-2024学年上海市大同中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年上海市大同中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知a，b是非零常数，则“a>b”是“1a<1b”的( )
A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件
C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件
2.用二分法研究函数f(x)=x5+8x3−1的零点时，第一次经过计算得f(0)<0，f(0.5)>0，则其中一个零点所在区间和第二次应计算的函数值分别为( )
A. (0,0.5)，f(0.125)B. (0,0.5)，f(0.375)
C. (0.5,1)，f(0.75)D. (0,0.5)，f(0.25)
3.已知a>0，b>0，且a+b=1，有下列不等式：①a2+b2≥12，②2a−b>12，③lg2a+lg2b≥−2，④ a+ b≤ 2.其中成立的不等式的个数有( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
4.已知定义在R上的函数f(x)，对于给定集合A，若对任意x1，x2∈R，当x1−x2∈A时都有f(x1)−f(x2)∈A，则称f(x)是“A封闭”函数.已知给定两个命题：
P：若f(x)是“{1}封闭”函数，则f(x)是“{2023}封闭”函数.
Q：若f(x)是“[a,b]封闭”函数(a,b∈N*)，则f(x)在区间[a,b]上严格减.
则下列正确的判断为( )
A. P是真命题，Q是真命题B. P是假命题，Q是真命题
C. P是真命题，Q是假命题D. P是假命题，Q是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.若幂函数y=xa的图像经过点(43,3)，则实数a=______.
6.已知全集U=(−∞,1],集合A=(−1,1)，则A−=______.
7.不等式x+5x2+2x+3≥1的解集为______.
8.在直角坐标系xOy中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的正半轴重合.若点(−2,y)在角α终边上，且tan(π−α)=2 2，则sinα=______.
9.若角x满足2cs(x−π4)=1，x∈(0,π)，则x=______.
10.已知lg73=a，7b=2，用a及b表示lg772=______.
11.已知α∈(0,π)，且有1−2sin2α=cs2α，则csα=__________.
12.函数f(x)=(12) x2−3x−10的递增区间是______.
13.设a∈R，若关于x的不等式x2−ax<0的解集是区间(0,1)的真子集，则a的取值范围是______.
14.设α是正实数，将函数y=|x|的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(0<θ<α)，得到曲线C.若对于每一个旋转角θ，曲线C都可以看成是某一个函数的图像，则α的最大值为______.
15.已知a∈R，若关于x的方程|3x−1|−2a=0有唯一解，则a的取值范围是______.
16.已知a，b∈R，若对任意x∈R，a|x−b|+|x−4|−|2x−5|≥0恒成立，则ab的取值范围是______.
三、解答题：本题共5小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)求解关于x不等式：lg2(x2−4x+5)<1；
(2)已知csθ=45，且θ∈(−π2,0)，求tan(π4+θ)的值.
18.(本小题10分)
设a为实数，已知函数f(x)=(x+1)(x+a)x2−1|x|为偶函数.
(1)求a的值；
(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性，并用定义法加以证明；
19.(本小题10分)
已知函数f(x)=ax2−3x+5，且不等式f(x)<3的解集为{x|1(1)求实数a，b的值；
(2)已知g(x)=mx+7−3m，若存在x1∈[2,3]，x2∈[1,4]，使得f(x1)=g(x2)成立，求实数m的取值范围.
20.(本小题10分)
第四届中国国际进口博览会于2021年11月5日至10日在上海举行．本届进博会共有58个国家和3个国际组织参加国家展(国家展今年首次线上举办)，来自127个国家和地区的近3000家参展商亮相企业展．更多新产品、新技术、新服务“全球首发，中国首展”专(业)精(品)尖(端)特(色)产品精华荟萃，某跨国公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在2022年与该跨国公司合资生产此款空调．生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产x千台空调，需另投入资金R万元，且R=10x2+ax,0(1)求2022年企业年利润W(万元)关于年产量x(千台)的函数关系式；
(2)2022年产量为多少(千台)时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？
(注：利润=销售额-成本．)
21.(本小题12分)
若函数f(x)在其定义域内给定区间[a,b]上存在实数x0(a(1)判断函数f(x)= x是否是区间[0,2]上的“平均值函数”，并说明理由
(2)若函数g(x)=lg2(2x2+mx+1)是区间[0,1]上的“平均值函数”，求实数m的取值范围．
(3)设函数h(x)=kx2+x−4(k∈N*)是区间[−2,t](t∈N*)上的“平均值函数”，1是函数h(x)的一个均值点，求所有满足条件实数对(k,t).
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：因为1a<1b可得b−aab<0，
当a>b，即b−a<0，当ab>0时，b−aab<0成立，所以“a>b”不是“1a<1b”的充分条件；
当ab>0时，因为b−aab<0，所以a>b，所以“a>b”不是“1a<1b”的必要条件；
所以“a>b”是“1a<1b”的既非充分也非必要条件，
故选：D.
由“a>b”不能推出“1a<1b”成立，且由“1a<1b”也推不出“a>b”成立，进而判断“a>b”是“1a<1b”的什么条件．(
本题考查不等式性质的应用及充分条件必要条件的判断方法，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：令f(x)=x5+8x3−1，
则f(0)<0，f(0.5)>0，
∴f(0)⋅f(0.5)<0，
∴其中一个零点所在的区间为(0,0.5)，
第二次应计算的函数值应该为f(0.25).
故选：D.
根据零点定理f(a)f(b)<0，说明f(x)在(a,b)上有零点，已知第一次经计算f(0)<0，f(0.5)>0，可得其中一个零点x0∈(0,0.5)，根据二分法的定义即可得到第二次应计算的函数值f(0.25).
本题考查的是二分法研究函数零点的问题，在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、二分法的思想以及数据处理的能力，属中档题．
3.【答案】C
【解析】解：因为2(a2+b2)≥(a+b)2=1，所以a2+b2≥12，当且仅当a=b=12时等号成立，故①正确；
因为a>0，b>0，且a+b=1，所以−112成立，故②正确；
因为ab≤(a+b2)2=14，所以lg2ab≤lg214=−2，即lg2a+lg2b≤−2，故③不正确；
因为( a+ b)2≤2(a+b)=2，所以 a+ b≤ 2，当且仅当a=b=12时等号成立，故④正确．
综上所述，①②③④中成立的不等式有3个，C项符合题意．
故选：C.
根据不等式的性质与基本不等式，对各个不等式逐一加以验证，即可得到其中正确的不等式的个数，从而得出答案．
本题主要考查不等式的性质、基本不等式及其应用、运用函数单调性比较两个实数的大小等知识，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：命题P：若f(x)是“{1}封闭”函数，即对∀x∈R，都有f(x+1)=f(x)+1，
对于集合{k}，任意的x1，x2∈R，使得x1−x2∈{k}，则x1=x2+k，
而f(x2+k)=f(x2+k−1)+1=f(x2+k−2)+2=⋯=f(x2)+k，
所以f(x2+k)−f(x2)=k，故f(x)一定是“{k}封闭”函数，
当k=2023时，命题P正确；
命题Q：不妨设f(x)=x，x∈[1,2]，当x1−x2=m∈[1,2]时，
f(x1)−f(x2)=x1−x2=m∈[1,2]，
此时f(x)=x是“[1,2]封闭”函数，但为单调递增区间，命题Q是假命题．
故选：C.
通过定义进行证明若f(x)是“{1}封闭”函数，则f(x)一定是“{k}封闭”函数，判断命题P，再举出反例判断命题Q.
本题考查了命题真假的判断和函数新定义问题，属中档题．
5.【答案】4
【解析】解：若幂函数y=xa的图像经过点(43,3)，
则有(43)a=3，即3a4=3，∴a4=1，a=4.
故答案为：4.
根据幂函数，代点求值即可．
本题考查了幂函数的应用，属于基础题．
6.【答案】(−∞,−1]∪{1}
【解析】解：因为全集U=(−∞,1],集合A=(−1,1)，
所以A−=(−∞,−1]∪{1}.
故答案为：(−∞,−1]∪{1}.
根据全集U和集合A的范围，由补集概念直接得出结论．
本题考查集合的补集运算，属基础题．
7.【答案】[−2,1]
【解析】解：不等式x+5x2+2x+3≥1，可化为−x2−x+2x2+2x+3≥0，即(x−1)(x+2)x2+2x+3≤0，
∵y=x2+2x+3=(x+1)2+2>0恒成立，
∴(x−1)(x+2)≤0，
解得−2≤x≤1，
即不等式的解集为[−2,1].
故答案为：[−2,1].
把分式不等式转化为整式不等式求解即可．
本题主要考查了分式不等式的解法，属于基础题．
8.【答案】2 23
【解析】解：点(−2,y)在角α终边上，且tan(π−α)=2 2，
则−tanα=2 2，解得tanα=−2 2，即y−2=−2 2，解得y=4 2，
故sinα=4 2 (−2)2+(4 2)2=2 23.
故答案为：2 23.
根据已知条件，结合三角函数的定义，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
9.【答案】7π12
【解析】解：因为2cs(x−π4)=1，x∈(0,π)，−π4所以cs(x−π4)=12，
所以x−π4=π3，
所以x=712.
故答案为：7π12.
由题意得，cs(x−π4)=12，结合x的范围即可求解．
本题主要考查了特殊角的三角函数值的应用，属于基础题．
10.【答案】2a+3b
【解析】解：因为7b=2，所以b=lg72，所以lg772=lg7(32×23)=2lg73+3lg72=2a+3b.
故答案为：2a+3b.
先把7b=2转化为b=lg72，再利用对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，属于基础题．
11.【答案】 55
【解析】【分析】
本题考查了二倍角公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题．
由二倍角公式化简得到2sin2α=4sinαcsα，进而由α的范围及同角的三角函数的基本关系，计算即可．
【解答】
解：由1−2sin2α=cs2α，得1−cs2α=2sin2α，
即2sin2α=4sinαcsα；
又α∈(0,π)，所以sinα≠0，
所以sinα=2csα>0；
由sin2α+cs2α=(2csα)2+cs2α=5cs2α=1，解得csα= 55.
故答案为 55.
12.【答案】(−∞,−2]
【解析】解：由x2−3x−10≥0，解得x≤−2或x≥5，
∴原函数的定义域为(−∞,−2]∪[5,+∞)，
令t=x2−3x−10，该函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=32，
则该函数在(−∞,−2]上为减函数，开方不改变单调性，
而外层函数y=(12)t是定义域内的减函数，
由复合函数的单调性可得，函数f(x)=(12) x2−3x−10的递增区间是(−∞,−2].
故答案为：(−∞,−2].
由根式内部的代数式大于等于0求出原函数的定义域，在求出二次函数t=x2−3x−10在定义域内的减区间，由复合函数的单调性得答案．
本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．
13.【答案】[0,1)
【解析】解：因为关于x的不等式x2−ax<0的解集是区间(0,1)的真子集，
当a=0时，不等式的解集为⌀，符合题意；
当a>0时，不等式的解集为(0,a)，则0当a<0时，不等式的解集为(a,0)，不符合题意，
故a的范围为[0,1).
故答案为：[0,1).
由已知结合二次不等式的求法对a进行分类讨论即可求解．
本题主要考查了含参二次不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于基础题．
14.【答案】π4
【解析】解：根据题意，如图，旋转之前的图象如图中的虚线，
在第一象限的部分为象限的部分为射线OA，在第二象限的部分为象限的部分为射线OB，
旋转后的图象用实线表示，与OA、OB对应的部分为分别射线OA′和OB′，
当OA′在第一象限时，OB′在第二象限，得到的曲线C可以看成是某一个函数的图像，
当OA′和y轴重合时，不能看函数的图象，
当OA′到第二象限时，也不能看函数的图象，
故α的最大值为π4.
故答案为：π4.
根据题意，作出函数y=|x|的图象，结合函数的图象以及函数的定义，分析α的最大值，即可得答案．
本题考查函数的图象，涉及函数的定义，属于基础题．
15.【答案】[12,+∞)∪{0}
【解析】解：关于x的方程|3x−1|−2a=0有唯一解，
则函数y=|3x−1|的图象与直线y=2a有唯一一个交点，
y=|3x−1|的图象，是由y=3x−1的图象保留x轴上方的部分，把x轴下方的部分翻折到x轴上方得到，
作出函数y=|3x−1|与y=2a的图象，如图所示，
由图可知，当2a≥1或2a=0，即a≥12或a=0时，函数y=|3x−1|的图象与直线y=2a有唯一一个交点，
则实数a的取值范围为[12,+∞)∪{0}.
故答案为：[12,+∞)∪{0}.
由题意得，函数y=|3x−1|的图象与直线y=2a有唯一一个交点，作出函数y=|3x−1|与y=2a的图象，数形结合可得答案．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属于中档题．
16.【答案】[1,+∞)
【解析】解：原不等式可化为a|x−b|≥|2x−5|−|x−4|，
令f(x)=|2x−5|−|x−4|，g(x)=a|x−b|，
则f(x)=1−x,x≤523x−9,52作出y=f(x)图象如图所示，易知y=g(x)的零点为x=b，
要满足题意需y=g(x)的图象始终位于y=f(x)图象的上方(部分可重合)，
则需a≥31≤b≤3或1≤a<31≤b≤4−3a≤3，
所以ab≥1，当且仅当a=b=1时取得最小值，显然ab没有上限．
故答案为：[1,+∞).
将不等式化为a|x−b|≥|2x−5|−|x−4|，结合分段函数的图象与性质数形结合计算即可．
本题考查了转化思想、数形结合思想及分类讨论思想，作出图象是关键，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由lg2(x2−4x+5)<1可得0解得，1故不等式的解集为(1,3)；
(2)因为csθ=45，且θ∈(−π2,0)，
所以sinθ=−35，tanθ=−34，
则tan(π4+θ)=1+tanθ1−tanθ=1−341+34=17.
【解析】(1)由已知结合对数函数的性质及二次不等式的求法即可求解；
(2)结合同角基本关系及两角和的正切公式即可求解．
本题主要考查了对数不等式及二次不等式的求解，还考查了同角基本关系及两角和的正切公式的应用，属于中档题．
18.【答案】解：(1)f(x)=(x+1)(x+a)x2−1|x|的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，
函数f(x)是偶函数，即f(x)=f(−x)，
(x+1)(x+a)x2−1|x|=(−x+1)(−x+a)x2−1|x|，
整理得(x+1)(x+a)=(x−1)(x−a)，即2(a+1)x=0，于是得a=−1；
(2)由(1)知，f(x)=1−1x2−1|x|，显然函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∀s，t∈(0,+∞)，t则f(s)−f(t)=−1s2−1s+1t2+1t=s2−t2s2t2+s−tst=s−ts2t2(s+t+st)，
因s>t>0，则s+t+st>0，s−t>0，
即f(s)−f(t)>0，因此f(x)在(0,+∞)上单调递增．
【解析】(1)求出函数的定义域，利用偶函数的定义计算作答．(2)单调递增，再利用函数单调性定义推理作答．
本题考查函数的奇偶性，单调性的证明，属于中档题．
19.【答案】解：(1)不等式f(x)<3，即ax2−3x+2<0因为不等式f(x)<3的解集为{x|1即1，b是方程ax2−3x+2=0的两根，将x=1代入方程得a−3+2=0，解得a=1，
再由韦达定理得1×b=2，故b=2；
(2)因为存在x1∈[2.3]，x2∈[1,4]，使得f(x1)=g(x2)成立，
设f(x)=x2−3x+5，x∈[2,3]的值域为A，g(x)=mx+7−3m，x∈[1,4]的值域为B，
则A∩B≠⌀，f(x)=x2−3x+5的对称轴为x=32，
故f(x)在[2,3]上单调递增，则f(2)≤f(x)≤f(3)，即3≤f(x)≤5，所以A=[3,5]，
当m=0时，g(x)=7，B={7}，不满足题意；
当m>0时，g(x)在[1,4]上单调递增，则g(1)≤g(x)≤g(4)，
即7−2m≤g(x)≤7+m，所以B=[7−2m,7+m]，
由A∩B=⌀，则m>07−2m>5或m>07+m<3，
解得m<1，
所以A∩B≠⌀时，m≥1；
当m<0时，g(x)在[1,4]上单调递减，则g(4)≤g(x)≤g(1)，即7+m≤g(x)≤7−2m，
所以B=[7+m,7−2m]，
由A∩B=⌀，则m<07+m>5或m<07−2m<3，
解得−2所以A∩B≠⌀时，m≤−2.
综上所述，m∈(−∞,−2]∪[1,+∞).
【解析】(1)由不等式的解集，可知1，b为方程ax2−3x+2=0的两根，由韦达定理可得a，b的值；
(2)求出f(x)在[2,3]上的值域，再分类可得g(x)的值域，要使f(x1)=g(x2)成立，可得关于m的不等式，求出m的值．
本题考查分类讨论的思想，方程与不等式之间的转化，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由题意知，当x=10时，R(x)=10×102+10a=4000，
所以a=300，
当0当x≥40时，W=900x−901x2−9450x+10000x−260=−x2+9190x−10000x，
所以W=−10x2+600x−260,0(2)当0所以当x=30时，W有最大值，最大值为8740，
当x≥40时，W=−(x+10000x)+9190≤−2 10000+9190=8990，
当且仅当x=10000x，即x=100时，W有最大值，最大值为8990，
因为8740<8990，
所以当2022年产量为100千台时，企业的利润最大，最大利润为8990万元．
【解析】(1)由题意知，当x=10时，R(x)=10×102+10a=4000，所以a=300，再分0(2)根据已知条件，结合二次函数的性质，以及基本不等式的公式，分别求解分段函数的最大值，再通过比较大小，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，掌握二次函数的性质，以及基本不等式的公式是解本题的关键，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意可知f(x0)= 2−02= 22=f(12)，存在x0∈(0,2)成立，
则f(x)= x是区间[0,2]上的”平均值函数“；
(2)由题意知存在x0∈(0,1)，g(x0)=lg2(3+m)−01，知m>−3，即lg2(2x02+mx0+1)=lg2(3+m)，
则2x02+mx0+1=3+m，因为3+m>0，所以2x02+mx0+1>0，
而2x02+mx0−m−2=0在(0,1)有解，不放令g(x)=2x2+mx−m−2=(x−1)[2x+(m+2)]=0，
解得x=1或x=−m+22，则0<−m+22<1，解得−4(3)由题意的1∈(−2,t)，则t>1，且t∈N+，
由题意可知h(1)=(kt2+t−4)−(4k−6)t+2=kt2−4k+t+2t+2，即k−3=k(t2−4)+t+2t+2=k(t−2)+1，
所以k=43−t，
因为k∈N+，所以43−t≥1，则−1≤t<3，又因为t∈N+，则t=2，即当t=2时，k=4成立，
所以(4,2)是满足条件的实数对．
【解析】(1)根据条件可知f(x0)= 2−02= 22=f(12)，故满足；
(2)由条件可知lg2(2x02+mx0+1)=lg2(3+m)，则有g(x)=2x2+mx−m−2=(x−1)[2x+(m+2)]=0，解出x，再结合x范围可求出m范围；
(3)根据条件表示出h(1)=kt2−4k+t+2t+2，化简整理可得k=43−t，结合k的范围可求出t的范围．
本题是新定义问题，根据条件逐一进行判断即可，属于中档题．