2023-2024学年广西柳州高级中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年广西柳州高级中学高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.集合A={x|lgπx>1}，则( )
A. 1∈AB. 2∈AC. 3∈AD. 4∈A
2.在△ABC中，若点D满足BD=2DC，则AD=( )
A. 13AC+23ABB. 53AB−23ACC. 23AC−13ABD. 23AC+13AB
3.已知命题p：∀x∈R，x2+x−1>0，则¬p为( )
A. ∃x0∈R，x02+x0−1<0B. ∃x0∈R，x02+x0−1≤0
C. ∀x∈R，x2+x−1<0D. ∀x∈R，x2+x−1≤0
4.化简：1−cs2xcs(π2−x)=( )
A. sinxB. csxC. 2sinxD. 2csx
5.为了得到函数y=2cs(2x−π6)的图象，只需将函数y=2sin2x图象上所有的点( )
A. 向左平移π12个单位长度B. 向右平移π12个单位长度
C. 向左平移π6个单位长度D. 向右平移π6个单位长度
6.函数f(x)=4sinxx2+1的图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.“a>12”是“函数f(x)=lg(ax−1)在区间(a,+∞)上单调递增”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知实数a，b∈(0,3)，且满足a2−b2−9=273b−3a−6b，则a2+b的最小值为( )
A. 94B. 52C. 114D. 3
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=2sinx，则( )
A. f(x)是R上的奇函数B. f(x)的最小正周期为2π
C. f(x)有最大值1D. f(x)在[0,π]上为增函数
10.下列命题正确的是( )
A. 若a>b，则a2>b2
B. 若a3>b3，则a>b
C. 若a>0，b>0，且a+b=6，则ab≤3
D. 若a>−1，则1a+1+a≥1
11.奇函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(1−x)，则下列选项正确的是( )
A. f(x)的一个周期为2B. f(100.4)C. f(2x−12)为偶函数D. f(2x−4)为奇函数
12.已知函数f(x)= 3sin3x+cs3x−2lg(x+1)的所有非负零点从小到大依次记为x1，x2，⋯，xn，则( )
A. n=8B. n=9
C. x1+x2+⋯+xn−1>104π9D. x1+x2+⋯+xn>131π9
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知|a|=2,|b|=3，且a与b的夹角为60∘，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b上的投影向量为______.
14.函数f(x)=(12)1−x2的值域为__________.
15.已知sin(60∘+α)=35，30∘<α<120∘，则csα=__________.
16.已知函数f(x)=|lnx|,x>0ex+1,x≤0，若函数y=f(f(x)a)所有零点的乘积为1，则实数a的取值范围为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=2sin(2x−π6).
(1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴；
(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最值.
18.(本小题12分)
已知f(x)是定义在R上的偶函数，且x≤0时，f(x)=lg13(−x+1).
(1)求函数f(x)在(0,+∞)上的解析式，并判断其单调性(无需证明)；
(2)若f(3a−1)>−2，求实数a的取值范围.
19.(本小题12分)
(1)已知sinα=3csα，求sin2α−2sin2(π2−α)的值；
(2)求4cs40∘− 3tan50∘的值.
20.(本小题12分)
如图为2022年卡塔尔足球世界杯吉祥物，其设计灵感来自于卡塔尔人的传统服饰，寓意自信与快乐，现有国内一家工厂决定在国内专项生产销售此吉祥物，已知生产这种吉祥物的年固定成本为20万元，每生产x千件需另投入资金c(x)万元，其中c(x)与x之间的关系为：c(x)=ax2+bx,0(1)求a，b，c的值，并写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该厂所获年利润最大？并求出最大年利润.
21.(本小题12分)
m，n为函数f(x)=x2−2xlgab+lgba的两个零点，且0(1)若m=2，求不等式f(x)<0的解集；
(2)比较a，b，1的大小关系.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2cs(x+π6)sinx，g(x)=f(x−π12)
(1)求函数f(x)的单调递减区间；
(2)求函数g(x)的零点；
(3)若不等式2a[g(x)+12+cs2x]2−2[g(x)+12−cs2x]−3a+3>0在x∈[0,π4]时恒成立，求实数a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵lgπx>1=lgππ，∴x>π，∴A={x|x>π}，
可知1∉A，2∉A，3∉A，故A、B、C错误；4∈A，故D正确．
故选：D.
求出集合A，结合元素与集合关系判断即可．
本题主要考查元素与集合关系的判断，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，是基础题目.
根据平面向量的线性表示与运算性质，进行计算即可.
【解答】
解：如图所示，
△ABC中，BD=2DC，
∴BD=23BC=23(AC−AB)，
∴AD=AB+BD
=AB+23(AC−AB)
=13AB+23AC.
故选D.
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断是解决本题的关键，属于基础题．
根据全称量词命题的否定是存在量词命题进行判断即可．
【解答】
解：命题为全称量词命题，则否定是存在量词命题：
即¬p：∃x0∈R，x02+x0−1≤0，
故选：B.
4.【答案】C
【解析】解：1−cs2xcs(π2−x)=1−(1−2sin2x)sinx=2sinx，
故选：C.
由题意，利用二倍角的余弦公式、诱导公式，化简可得结果．
本题主要考查二倍角的余弦公式、诱导公式的应用，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：为了得到函数y=2cs(2x−π6)=2sin(2x+π3)=2sin2(x+π6)的图象，
只需将函数y=2sin2x图象上所有的点向左平移π6个单位长度，
故选：C.
利用诱导公式，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查诱导公式，y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题
6.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了函数图象的识别，考查了函数奇偶性的判断，属于基础题．
根据奇偶性，结合特殊点，即可求解．
【解答】
解：函数f(x)=4sinxx2+1的定义域为R，
∵f(−x)=4sin(−x)(−x)2+1=−4sinxx2+1=−f(x)，
∴函数f(x)是奇函数，排除AC；
当x=π2时，f(π2)=4×1(π2)2+1>0，
此时图象在x轴的上方，排除B.
故选：D.
7.【答案】B
【解析】解：令u=ax−1，y=lgu，
若f(x)=lg(ax−1)在(a,+∞)上单调递增，因为y=lgu是(0,+∞)上的增函数，
则需使u=ax−1是(a,+∞)上的增函数且u>0，则a>0且a2−1≥0，解得a≥1.
因为[1,+∞)⫋(12,+∞),故a>12是a≥1的必要不充分条件，
故选：B.
结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了对数的运算性质，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵实数a，b∈(0,3)，且满足a2−b2−9=273b−3a−6b，
∴a2+3a=b2+273b−6b+9=(3−b)2+33−b，
令f(x)=x2+3x，则f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∵a，b∈(0,3)，
∴3−b>0，
故f(a)=f(3−b)，可得a+b=3，
∴a2+b=a2−a+3=(a−12)2+114，
故当a=12时，a2+b取最小值114.
故选：C.
令f(x)=x2+3x，利用已知的等量关系得到a+b=3，进而求解结论．
本题主要考查函数单调性的应用，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
9.【答案】AB
【解析】解：因为f(x)=2sinx，x∈R，
对于A，因为f(−x)=2sin(−x)=−2sinx=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故正确；
对于B，由正弦函数的性质可知T=2π，故正确；
对于C，由正弦函数的性质可知f(x)max=2，故错误；
对于D，由正弦函数的性质可知f(x)在[0,π2]上单调递增，在[π2,π]上单调递减，故错误．
故选：AB.
根据正弦函数的性质逐一判断即可．
本题考查了正弦函数的性质，属于基础题．
10.【答案】BD
【解析】解：A：当a=1，b=−2时，a2B：当a3>b3时，a>b成立，故B正确；
C：当a>0，b>0，且a+b=6时，ab≤(a+b2)2=9，当且仅当a=b=3时取等号，故C错误；
D：当a>−1时，a+1>0，则′1a+1+a=1a+1+a+1−1≥2 (a+1)⋅1a+1−1=1，当且仅当a=0时取等号，故D正确，
故选：BD.
通过举反例即可判断选项A；利用不等式的性质即可判断选项B；利用基本不等式即可判断选项C，D.
本题考查了基本不等式以及不等式的性质的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
11.【答案】ACD
【解析】解：f(x)=f(1−x)，f(x)的对称轴为x=12，f(x+2)=f(−x−1)=−f(x+1)=−f(−x)=f(x)，
∴T=2，故A正确；
T=2，故f(100.4)=f(0.4)，f(2.6)=f(0.6)，f(x)关于x=12对称，
故f(0.4)=f(0.6)，故B错误；
f(2x−12)=−f(12−2x)=−f(12+2x)=f(−2x−12)，所以f(2x−12)为偶函数，故C正确；
f(2x−4)=f(2x+4)=−f(−2x−4)，所以f(2x−4)为奇函数，故D正确，
故选：ACD.
由f(x)=f(1−x)得f(x)的对称轴为x=12，结合奇函数的性质对选项逐一辨析即可．
本题主要考查了函数的奇偶性、对称性，属于中档题．
12.【答案】BC
【解析】解：由f(x)= 3sin3x+cs3x−2lg(x+1)=2sin(3x+π6)−2lg(x+1)=0，
可得sin(3x+π6)=lg(x+1)，
即y=sin(3x+π6)与y=lg(x+1)的图象在第一象限交点横坐标即为x1，x2，⋯，xn，
因为y=sin(3x+π6)≤1,y=lg(x+1)=1时，x=9，如图，
由图可知，共有9个符合要求的交点，所以n=9，
令sin(3x+π6)=−1，解得3x+π6=2kπ+3π2,k∈Z，即x=2kπ3+4π9,k∈Z，
故由图象可知x1+x2>2×4π9,x3+x4>2×(2π3+4π9),x5+x6>2×(4π3+4π9),x7+x8>2×(6π3+4π9)，
所以x1+x2+⋯+x8>2×52π9=104π9，
因为x1+x2+⋯+x8>104π9，若x1+x2+⋯+x8+x9>131π9，
则需x9>27π9=3π，由图知，x9<9<3π，故不成立，
综上可知，BC正确，AD错误．
故选：BC.
根据函数零点转化为方程的根的问题，再转化为两函数图象交点问题，作出函数图象，数形结合判断交点个数，再由正弦型函数的对称性判断CD选项．
本题考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了数形结合的思想，属于中档题．
13.【答案】e
【解析】解：记a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影向量为|a|csθe=2cs60∘e=e.
故答案为：e.
根据向量a在向量b上的投影向量的定义计算即得．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】[12,+∞)
【解析】【分析】
本题主要考查指数函数值域的求解，注意换元法的使用．
利用换元法，结合指数函数的性质进行求解即可．
【解答】
解：设t=1−x2，则t≤1，
所以y=(12)t≥(12)1=12，
所以函数f(x)=(12)1−x2的值域为[12,+∞),
故答案为[12,+∞).
15.【答案】3 3−410
【解析】【分析】
本题考查三角函数的求值，熟练掌握两角差的余弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
先求得60∘+α的取值范围，再利用同角三角函数的平方关系，可得cs(60∘+α)=−45，然后根据α=(60∘+α)−60∘，并结合两角差的余弦公式，展开，代入运算得解．
【解答】
解：因为30∘<α<120∘，所以90∘<60∘+α<180∘，
又sin(60∘+α)=35，所以cs(60∘+α)=−45，
所以csα=cs[(60∘+α)−60∘]=cs(60∘+α)cs60∘+sin(60∘+α)sin60∘=(−45)×12+35× 32=3 3−410.
故答案为：3 3−410.
16.【答案】(0,1]∪(2,+∞)
【解析】解：令f(x)a=t，
则有f(t)=0⇒t=1，
∴f(x)=a，
如图，
当a>2或0故答案为：(0,1]∪(2,+∞).
令f(x)a=t，则可得f(x)=a，结合f(x)的图象，即可得答案．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．
17.【答案】解：(1)由于f(x)=2sin(2x−π6)，
故函数的最小正周期为2π2=π，
令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，整理得x=kπ2+π3(k∈Z)，
故对称轴方程为x=kπ2+π3(k∈Z).
(2)令2x−π6=t，由x∈[−π4,π4]知t∈[−2π3,π3]，
所以要求f(x)在区间[−π4,π4]上的最值，即求y=2sint在t∈[−2π3,π3]上的最值，
当t=−π2时，ymin=2sin(−π2)=−2，当t=π3时，ymax=2sinπ3= 3，
所以f(x)max= 3,f(x)min=−2.
【解析】(1)直接利用正弦型函数的性质求出函数的最小正周期和函数的对称轴方程；
(2)利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．
本题考查：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)设x>0，则−x<0，所以f(−x)=lg13(x+1)，
又因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x)=f(−x)=lg13(x+1)，
则函数f(x)在(0,+∞)上的解析式为f(x)=lg13(x+1)，
函数在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递增；
(2)由(1)可知：f(−8)=f(8)=−2，
所以不等式f(3a−1)>−2可化为f(3a−1)>−2=f(8)=f(−8)，
结合函数的单调性可知|3a−1|<8，
解得：−73所以实数a的取值范围为{a|−73【解析】本题主要考查了函数奇偶性在函数解析式求解中的应用，还考查了函数的奇偶性及单调性在不等式求解中的应用，属于中档题．
(1)设x>0，则−x<0，根据题意得出f(−x)=lg13(x+1)，然后利用函数为偶函数即可求解；
(2)结合(1)的结论，求出f(−8)=f(8)=−2，将不等式等价转化为|3a−1|<8，解之即可求解．
19.【答案】解：(1)sinα=3csα，则tanα=3，
故sin2α−2sin2(π2−α)=sin2α−2cs2α=sin2α−2cs2αsin2α+cs2α=tan2α−2tan2α+1=32−232+1=710.
(2)4cs40∘− 3tan50∘=4cs40∘− 3sin50∘cs50∘=4cs40∘cs50∘− 3sin50∘cs50∘
=4sin40∘cs40∘− 3sin50∘cs50∘=2sin80∘− 3sin50∘cs50∘=2sin(50∘+30∘)− 3sin50∘cs50∘
=2sin50∘cs30∘+2cs50∘sin30∘− 3sin50∘cs50∘= 3sin50∘+cs50∘− 3sin50∘cs50∘
=cs50∘cs50∘=1.
【解析】(1)由已知条件求得tanα，再转化为求齐次式的值即可；
(2)利用三角恒等变化，转化目标式，即可求得结果．
本题主要考查了同角基本关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．
20.【答案】解：(1)将A(6,18)，B(12,48)，C(82,952)三点代入c(x)中有：36a+6b=18144a+12b=4820×82+c82−2−888=952，解得a=16b=2c=16000，
故c(x)=16x2+2x,0由题知L(x)=10×x−c(x)−20=−16x2+8x−20,0(2)由(1)知L(x)=−16x2+8x−20,0当0所以当x=24(千件)时，L(x)max=76(万元)，
当x≥30时，L(x)=−10x−16000x−2+868=868−(10x+16000x−2)=848−(10(x−2)+16000x−2)≤848−2 10(x−2)⋅16000x−2=48，
当且仅当10(x−2)=16000x−2，即x=42(千件)时取等，
所以L(x)max=L(42)=48(万元)，
综上：当x=24(千件)时，L(x)max=76(万元)，
所以当年产量为24千件时，该厂的年利润最大，最大年利润76万元．
【解析】(1)根据将A(6,18)，B(12,48)，C(82,952)三点代入c(x)中，即可求出a，b，c的值，根据利润等于收益减总成本，列出关系，将c(x)代入即可；
(2)根据(1)中的解析式，分别求出0本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由换底公式得lgab⋅lgba=lgblga⋅lgalgb=1，
依题意得m+n=2lgabmn=lgba，两式相乘得(m+n)⋅mn=2，
代入m=2，得n2+2n−1=0，
由0故不等式解集为( 2−1,2)；
(2)解法一：因为00f(1)=1−lgab<0lgab>0，
化简得lgab>1，
故a>1b>a或0即b>a>1或0解法二：∵0∴m+n>2 mn，
即2lgab>2 lgba，故(lgab)3>1，即lgab>1，
故a>1b>a或0即b>a>1或0【解析】(1)由韦达定理联立消去lgab得 (m+n)⋅mn=2，从而求得n的值，得到f(x)<0的解集；
(2)解法一：根据零点的分布列出满足的不等式组求解即可；
解法二：根据不等式m+n>2 mn及韦达定理得lgab>1，求解即可．
本题主要考查对数运算，考查函数零点与方程根的关系，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)f(x)=2cs(x+π6)sinx=2( 32csx−12sinx)sinx
= 3sinxcsx−sin2x= 32sin2x+12cs2x−12=sin(2x+π6)−12，
由2kπ+π2≤2x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，得kπ+π6≤x≤kπ+2π3，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k∈Z；
(2)由(1)知g(x)=f(x−π12)=sin2x−12，
令g(x)=0，则sin2x=12，解得2x=2kπ+π6或2x=2kπ+5π6，k∈Z，
即x=kπ+π12或x=kπ+5π12，k∈Z，
所以g(x)的零点为x=kπ+π12或x=kπ+5π12，k∈Z；
(3)由(2)知g(x)=sin2x−12，
原不等式可化为2a(sin2x+cs2x)2−2(sin2x−cs2x)−3a+3>0，
令t=sin2x−cs2x，则(sin2x+cs2x)2=2−t2，
因为t=sin2x−cs2x= 2sin(2x−π4)，
又因为x∈[0,π4]，
所以2x−π4∈[−π4,π4]，所以t∈[−1,1]，
所以2at2+2t−a−3<0在[−1,1]上恒成立，
令h(t)=2at2+2t−a−3，
当a=0时，h(t)=2t−3<0在[−1,1]上恒成立；
当a>0时，h(−1)=a−5<0h(1)=a−1<0，解得0当a<0时，函数h(t)的对称轴为t=−12a>0，
①若0<−12a≤1，即a≤−12时，
h(t)max=h(−12a)=−12a−a−3<0，
解得−3− 72②若−12a>1，即−12h(t)max=h(1)=a−1<0，解得a<1，故−12综上所述，实数a的取值范围是(−3− 72,1).
【解析】本题考查了三角函数的性质、分类讨论思想及转化思想，属于中档题．
(1)利用三角恒等变换化简f(x)，结合三角函数的性质求出单调减区间；
(2)求出g(x)的解析式，令g(x)=0，求解即可；
(3)原不等式化简为2a(sin2x+cs2x)2−2(sin2x−cs2x)−3a+3>0，令t=sin2x−cs2x，问题转化为2at2+2t−a−3<0在[−1,1]上恒成立，结合一次函数和二次函数的性质，分类讨论可得结果．