2023-2024学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

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这是一份2023-2024学年上海市徐汇区高一（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共12页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是( )
A. y=|x|与y=( x)2B. y=x与y=2lg2x
C. y=−x与y=(3−x)3D. y=x与y=(x−1)−1
2.若0b3”是“a>b”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.已知lg189=a，18b=5，则lg3645=( )
A. a+b2aB. a+ba2C. a+b2+aD. a+b2−a
4.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数图像的特征，如函数f(x)=x2+a|x|(a∈R)的图像不可能是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。
5.知集合A={x|06.不等式1x>1的解集是__________.
7.若lg275⋅lg5x=13，则x=______.
8.函数y=3x−x2+1的零点x0∈(1,2)，对区间(1,2)利用一次“二分法”，可确定x0所在的区间为______.
9.函数y=ax+1+3(a>0且a≠1)的图像过定点______.
10.某林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，若要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，则至少需要经过______年.(参考数据：取lg3=0.48，lg11=1.041)
11.用函数的观点解不等式2x+lg2x>2，该不等式的解集为______.
12.若函数y=f(x)是奇函数，且当x>0时，f(x)=lg2(x+2)，则f(−2)=______.
13.设f(x)=x(12x−a+12).若函数y=f(x)的定义域为(−∞,1)∪(1,+∞)，则关于x的不等式ax≥f(a)的解集为______.
14.函数y=x2+2x+3在区间[m,0]上的最大值为3，最小值为2，则实数m的取值范围是______.
15.已知问题：“|x+3|+|x−a|≥5恒成立，求实数a的取值范围”．两位同学对此问题展开讨论：
小明说可以分类讨论，将不等式左边的两个绝对值打开；小新说可以利用三角不等式解决问题．
请你选择一个适合自己的方法求解此题，并写出实数a的取值范围______.
16.已知函数y=f(x)，其中f(x)=a−|lnx|,x>0,x2+2x+a,x≤0(a∈R).若关于x的方程f(x)=2024恰有四个不同的实数根，则该方程所有实数根之和的取值范围是______.
三、解答题：本题共5小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|x2−8x+m=0,m∈R}，B={x|ax−1=0,a∈R}，且A∪B=A.
(1)若m=12，求实数a组成的集合．
(2)若全集为A，B−={3}，求m，a的值．
18.(本小题10分)
已知函数y=f(x)，其中f(x)=2x−4.
(1)求方程f(x)=3的解；
(2)若关于x的方程f(x)=lg12x+λ在x∈[2,4]上有实数解，求实数λ的取值范围.
19.(本小题10分)
已知a是实数，定义在R上的函数y=f(x)是奇函数，其中f(x)=a−12x+1.
(1)求a的值；
(2)判断函数y=f(x)的单调性，并证明你的结论.
20.(本小题12分)
某中学筹办100年校庆，需为参加校庆的校友、嘉宾每人准备一份纪念品，共需要准备5000份纪念品，每份纪念品包含一支钢笔和一个保温杯，现需要将钢笔和保温杯装入精品礼盒.校庆筹备小组共有7人，现将其分成两组，一组完成钢笔的装盒工作，另一组完成保温杯的装盒工作，据测算，6人一天可完成1000支钢笔的装盒工作，5人一天可完成1000个保温杯的装盒工作.
(1)若安排3人完成钢笔的装盒工作，则完成纪念品装盒工作的工期为多久？
(2)如何安排两组的人数，才能使工期更短？
21.(本小题14分)
若函数y=f(x)满足对任意s，t∈(0,+∞)，都有f(s+t)(1)若g(x)=ln(1+x)，求证：函数y=g(x)是C函数；
(2)若函数y=f(x)x是(0,+∞)上的严格减函数，判断y=f(x)是否一定为C函数，并说明理由.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：对于A，y=|x|的定义域R，y=( x)2的定义域为[0,+∞),故A错误；
对于B，y=x的定义域为R，y=2lg2x的定义域为(0,+∞)，故B错误；
对于C，y=−x，y=(3−x)3=−x，函数的映射关系，定义域、值域均相同，故C正确；
对于D，y=x的定义域为R，y=(x−1)−1的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故D错误．
故选：C.
判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否相同函数．
本题考查函数的基本性质，判断两个函数是否相同，需要判断定义域与对应法则是否相同．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查充分必要条件的判断，考查基本的推理能力，属于基础题．
根据0b3”是“a>b”的必要不充分条件.
【解答】
解：根据0b3，由此可推“a>b3”是“a>b”的必要条件．
取b=0.5，a=0.5，此时a>b3，但是a=b，故充分性不成立.
故选：B.
3.【答案】D
【解析】解：∵lg189=1−lg182=a，
∴lg182=1−a，且b=lg185，
∴lg3645=lg1845lg1836=lg189+lg1851+lg182=a+b2−a.
故选：D.
根据条件可求出lg182=1−a，b=lg185，从而得出lg3645=lg189+lg1851+lg182=a+b2−a.
本题考查了对数的运算性质，对数的换底公式，考查了计算能力，属于中档题．
4.【答案】A
【解析】解：函数的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，易知函数f(x)为偶函数，
当x>0时，若a=0时，f(x)=x2，选项B符合，
当a>0时，f(x)=x2+ax=x2+a2x+a2x≥33x2⋅a2x⋅a2x=33a24，
当且仅当x2=a2x，即x=3a2时取等号，选项D符合，
当a<0时，f(x)=x2+ax在(0,+∞)上单调递增，
当f(x)=x2+ax=0时，解得x=3−a，有且只有一个零点，选项C符合，
故选：A.
易知函数为偶函数，只要研究当x>0时即可，分a=0，a>0，a<0，根据函数单调性即可判断．
本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和单调性是关键，属于中档题．
5.【答案】{x|0【解析】解：B={x|−1∴A∩B={x|0故答案为：{x|0可求出B，然后进行交集的运算即可．
考查描述法表示集合的概念，以及交集的运算．
6.【答案】{x|0【解析】【分析】
本题考查分式不等式的解法，属于基础题．
将不等式1x>1移项后通分，即可求得不等式的解集．
【解答】
解：∵1x>1，
∴1x−1=1−xx>0，
∴(1−x)xx2>0，
∴0∴不等式1x>1的解集为{x|0故答案为：{x|07.【答案】3
【解析】解：因为lg275⋅lg5x=lg5lg27⋅lgxlg5=lg27x=13，
则x=2713=3.
故答案为：3.
由已知结合对数的换底公式及指数与对数的转化公式即可求解．
本题主要考查了对数的换底公式及指数与对数的转化，属于基础题．
8.【答案】(32,2)
【解析】解：设f(x)=3x−x2+1，
则f(1)=3−1+1=3>0,f(2)=32−4+1=−32<0，
取区间(1,2)的中点为32，f(32)=2−94+1=34>0，
所以可确定x0所在的区间为(32,2).
故答案为：(32,2).
根据二分法的定义求解．
本题主要考查二分法的定义与应用，属于基础题．
9.【答案】(−1,4)
【解析】解：对于函数y=ax+1+3(a>0且a≠1)，令x+1=0，求得x=−1，y=4，
可得它的图像过定点(−1,4).
故答案为：(−1,4).
由题意，令指数等于零，求出x、y的值，可得结论．
本题主要考查指数函数的图像经过定点问题，属于基础题．
10.【答案】12
【解析】解：假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为(1110)x.
由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，
则可得(1110)x>3，得x>lg11103.
因为lg11103=lg3lg11−1=≈11.7，
所以x>11.7，故至少需要经过12年．
故答案为：12.
由于林区的木材蓄积量每年平均比上一年增长10%，那么假设该林区当前的木材蓄积量为1，则经过x年的木材蓄积量为(1110)x，由于要求林区的木材蓄积量高于当前蓄积量的3倍，可令(1110)x>3，解不等式，再计算取精确值即可．
本题主要考查函数的实际应用，属于基础题．
11.【答案】(1,+∞)
【解析】解；设函数f(x)=2x+lg2x，x∈(0,+∞)，
则f(x)是定义域(0,+∞)上的单调增函数，且f(1)=2，
所以不等式2x+lg2x>2的解集为(1,+∞).
故答案为：(1,+∞).
设函数f(x)=2x+lg2x，x∈(0,+∞)，根据f(x)的单调性求解即可．
本题考查了利用函数的单调性求不等式解集的问题，是基础题．
12.【答案】−2
【解析】解：由题意可得f(2)=lg2(2+2)=2，
又函数f(x)为奇函数，
则f(−2)=−f(2)=−2.
故答案为：−2.
先求出f(2)的值，然后利用奇函数的性质即可求解．
本题考查了函数的奇偶性，属于基础题．
13.【答案】[1,+∞)
【解析】解：若a≤0，对任意的x∈R，2x−a>0，则函数f(x)的定义域为R，不合乎题意，
所以，a>0，由2x−a≠0可得x≠lg2a，
因为函数y=f(x)的定义域为{x|x≠1}，所以，lg2a=1，解得a=2，
所以，f(x)=x(12x−2+12)，则f(a)=f(2)=2(122−2+12)=2，
由ax≥f(a)可得2x≥2，解得x≥1.
因此，不等式ax≥f(a)的解集为[1,+∞).
故答案为：[1,+∞).
由函数f(x)的定义域可求得实数a的值，可得出函数f(x)的解析式，求出f(a)的值，然后利用指数函数的单调性可解不等式ax≥f(a)，即可得其解集．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
14.【答案】[−3,−1]
【解析】解：因为y=x2+2x+3的开口向上，对称轴x=−1，
又因为f(−1)=2，f(0)=f(−2)=3，
若函数在区间[m,0]上的最大值为3，最小值为2，
则−3≤m≤−1.
故答案为：[−3,−1].
由已知结合二次函数的开口方向及对称轴确定函数取得最值的位置，进而可求m的取值范围．
本题主要考查了二次函数性质的应用，属于基础题．
15.【答案】(−∞,−8]∪[2,+∞)
【解析】解：∵|x+3|+|x−a|≥|x−a−x−3|=|3+a|，
∴要使|x+3|+|x−a|≥5恒成立，则|a+3|≥5即可，
∴a+3≥5或a+3≤−5，解得a≥2或a≤−8，
即实数a的取值范围是(−∞,−8]∪[2,+∞)，
故答案为：(−∞,−8]∪[2,+∞).
利用三角不等式的性质进行转化求解即可．
本题主要考查绝对值不等式的求解，利用三角不等式的性质是解决本题的关键，是基础题．
16.【答案】(0,e+1e−2)
【解析】解：f(x)=a−|lnx|,x>0,x2+2x+a,x≤0(a∈R).若关于x的方程f(x)=2024恰有四个不同的实数根，设四个实数根为x1，x2，x3，x4，且x1即g(x)=|lnx|,x>0−x2−2x,x≤0与y=a−2024有四个不同的交点；
函数g(x)=|lnx|,x>0−x2−2x,x≤0的图象如下：
∴由图知：−lnx3=lnx4，x3x4=1，1e令−x2−2x=0，有x=0或2，令−x2−2x=1，有x=−1，
故x1+x2=−2，y=x3+1x3在(1e,1)上单调递减，
∴x1+x2+x3+x4=−2+x3+1x3∈(0,e+1e−2).
故答案为：(0,e+1e−2).
由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有x3x4=1，x1+x2=−2，进而求解结论．
本题考查利用分段函数的性质确定函数图象，函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
17.【答案】解：(1)m=12，A={x2−8x+12=0}={2,6}，
∵A∪B=A，∴B⊆A，
当B=⌀，则a=0；
当B={2}，则a=12；
当B={6}，则a=16，
综上可得实数a组成的集合为{0,16,12}.
(2)由全集为A，B−={3}，即∁AB={3}，得3∈A，3∉B，
∴32−8×3+m=0，解得m=15，
∴A={x|x2−8x+15=0}={3,5}，
∴5∈B，∴5a−1=0，解得a=15，
综上，m=15，a=15.
【解析】(1)m=12，可得A={2,6}，由A∪B=A得B⊆A，对B分类讨论能求出结果；
(2)由全集为A，B−={3}，即∁AB={3}，得3∈A，3∉B，代入x2−8x+m=0，求出m，A={3,5}，由此能求出结果．
本题考查集合的运算，考查并集、补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18.【答案】解：(1)2x−4=3，解得x=lg27，
所以方程f(x)=3的解为lg27.
(2)因为关于x的方程f(x)=lg12x+λ在x∈[2,4]上有实数解，
所以λ=2x−lg12x−4在x∈[2,4]上有实数解，
令g(x)=2x−lg12x−4，则g(x)在[2,4]上单调递增，
所以g(2)≤g(x)≤g(4)，即1≤g(x)≤14，
故1≤λ≤14.
所以数λ的取值范围为[1,14].
【解析】(1)根据对数的定义求解即可；
(2)把方程f(x)=lg12x+λ在x∈[2,4]上有实数解，转化为λ=2x−lg12x−4在x∈[2,4]上有实数解，构造函数g(x)=2x−lg12x−4，根据函数g(x)的单调性求出该函数的值域即可．
本题考查函数零点与方程根的关系，零点存在定理，属中档题．
19.【答案】解：(1)∵f(x)的定义域为R，∴f(0)有意义，
又f(x)为奇函数，∴f(0)=0，即f(0)=a−120+1=0，解得a=12，
∴f(x)=12−12x+1=2x−12(2x+1)，
f(−x)=2−x−12(2−x+1)=1−2x2(1+2x)=−f(x)，f(x)为奇函数，
∴a=12符合题意．
(2)f(x)是R上的增函数，
证明：任取x1，x2∈R，且x1则f(x1)−f(x2)=(12−12x1+1)−(12−12x2+1=12x2+112x1+1=2x1−2x2(2x1+1)(2x2+1),
∵x1又(2x1+1)>0，(2x2+1)>0，∴(2x1+1)(2x2+1)>0，
∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)【解析】(1)根据f(x)是定义在R上的奇函数，必有f(0)=0，即可解出a的值；
(2)根据函数单调性的定义，取值，作差，变形，定号，判断，即可证出函数的单调性．
本题主要考查函数奇偶性的性质，单调性的判断与证明，考查运算求解能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)若安排3人完成钢笔的装盒工作，则完成钢笔的装盒工作需要5×63=10天，
完成保温怀的装盒工作需要5×57−3=254天<10天．
则完成纪念品装盒工作的工期为10天；
(2)设安排x人完成钢笔的装盒工作，则完成钢笔的装盒工作需要f(x)=5×6x=30x天，
完成保温怀的装盒工作需要g(x)=5×57−x=257−x天，其中x∈{1,2,3,4,5,6}.
因为函数f(x)在区间(0,7)上单调递减，函数g(x)在区间(0,7)上单调递增，
所以完成纪念品装盒工作的工期为T(x)=f(x),f(x)>g(x)g(x),f(x)≤g(x)，
由f(x0)=g(x0)，即30x0=257−x0，得x0=4211.
从而T(x)=30x,x∈{1,2,3}257−x,x∈{4,5,6}.
因为函数T(x)在区间{1,2,3}上单调递减，在{4,5,6,7}上单调递增，
计算可得T(3)=10，T(4)=253，且T(4)所以安排4人完成钢笔的装盒工作，3人完成保温杯的装盒工作，可以使得工期最短．
【解析】(1)计算出3人完成钢笔的装盒工作或完成保温怀的装盒工作的天数，比较大小后可得出结论；
(2)写出完成纪念品装盒工作的工期T(x)的函数解析式，利用函数的单调性求出T(x)的最小值，即可得出结论．
本题考查简单的线性规划，考查函数模型的选择及应用，正确理解题意是关键，是中档题．
21.【答案】解：(1)证明：g(x)=ln(1+x)，s，t∈(0,+∞)，
则有g(s)+g(t)−g(s+t)=ln(1+s)+ln(1+t)−ln(1+s+t)
=ln(1+s)(1+t)1+s+t
=ln1+s+t+st1+s+t
=ln(1+st1+s+t)
>ln1
=0，
所以g(s)+g(t)>g(s+t)，
所以函数y=g(x)是C函数；
(2)y=f(x)一定为C函数，理由如下：
函数F(x)=f(x)x是(0,+∞)上的严格减函数，
任取s，t∈(0,+∞)，
有s+t>s，s+t>t，
则F(s+t)即f(s+t)s+t变形为sf(s+t)<(s+t)f(s)，tf(s+t)<(s+t)f(t)，
两式相加得(s+t)f(s+t)<(s+t)[f(s)+f(t)]，
由s+t>0，则f(s+t)所以y=f(x)为C函数．
【解析】(1)利用对数式的运算，证明g(s)+g(t)−g(s+t)>0即可；
(2)由单调性可得f(s+t)s+t本题属于新概念题，考查了抽象函数的单调性、对数函数的性质及基本运算，考查了逻辑推理能力，属于中档题．