2023-2024学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年湖南师大附中高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.tan390∘的值等于( )
A. 33B. 3C. − 33D. − 3
2.已知全集为U，集合M，N满足M⫋N⫋U，则下列运算结果为U的是( )
A. M∪NB. (∁UN)∪(∁UM)C. M∪(∁UN)D. N∪(∁UM)
3.下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若aC. 若ab>0，则a2>b2
4.下列命题正确的是( )
A. 小于90∘的角是锐角B. 第二象限的角一定大于第一象限的角
C. 与−2024∘终边相同的最小正角是136∘D. 若α=−2，则α是第四象限角
5.函数y=4xx2+2的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)=f(2−x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)( )
A. 在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数
B. 在区间[0,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数
C. 在区间[0,1]上是减函数，在区间[3,4]上是增函数
D. 在区间[0,1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数
7.若2x−2y<3−x−3−y，则 ( )
A. ln(y−x+1)>0B. ln(y−x+1)<0
C. ln|x−y|>0D. ln|x−y|<0
8.设方程lg2x−(12)x=0，lg12x−(12)x=0的根分别为x1、x2，则.( )
A. x1x2=1B. 0二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列选项中，下列说法正确的是( )
A. “a>1”是“a2>1”的充分不必要条件
B. “A=B”是“sinA=sinB”的必要不充分条件
C. “∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x0，y0∈R，x02+y02<0”
D. y=x12与y=x24是同一函数
10.下列不等式恒成立的是( )
A. x(1−2x)≤18B. ex+e−x≥2
C. lgab+lgba≥2D. x2+1x2+2>12
11.已知函数f(x)=1−tan2x1+tan2x−2sinxcsx.下列结论是假命题的是( )
A. 函数f(x)的最小正周期是πB. 函数f(x)在区间[−π8,π8]上是增函数
C. 函数f(x)的图象关于点(−π8,0)对称D. 函数f(x)的图象关于直线x=−π8对称
12.已知5a=3，8b=5，则( )
A. a2C. a+1a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.将函数f(x)=sin(3x+π6)的图象向右平移m(m>0)个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，则m的最小值为______.
14.若函数f(x)=(12023)x2−2024x在区间D上单调递增，请写出一个满足条件的区间D为______.
15.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，如图，A，B是直线y=12与曲线y=f(x)的两个交点，若|AB|=π6，则f(π)=______.
16.已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(x)=lg2(1−x),x≤0f(x−1)−f(x−2),x>0，则f(x)在[−2024,2024]上的整数值零点的个数为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设全集U=R，集合A={x||x−1|≤2}，B={x|x−2x+6≥0}.
(1)求A∩B；
(2)已知集合C={x|10−a18.(本小题12分)
已知sin(2a−β)=35,sinβ=−45，且π2<α<π,−π2<β<0.
(1)求cs(2α−β)的值；
(2)求csα的值；
(3)求角α−β的大小.
19.(本小题12分)
已知关于x的不等式x2− ab⋅x+b−14≤0.
(1)当a=1，b=4时，求不等式的解集；
(2)若不等式仅有一个解，求4a+b的最小值.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=lga(2x−4)+lga(5−x)(a>0且a≠1)的图象过点P(3,−2).
(1)求a的值及f(x)的定义域；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)若2m=3n=t∈(52,3)，比较f(2m)与f(3n)的大小.
21.(本小题12分)
某摩天轮示意图如图.已知该摩天轮的半径为30米，轮上最低点与地面的距离为2米，沿逆时针方向匀速旋转，旋转一周所需时间为T=24分钟.在圆周上均匀分布12个座舱，标号分别为1∼12(可视为点).现4号座舱位于圆周最上端，从此时开始计时，旋转时间为t分钟.
(1)求1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系h(t)的解析式；
(2)在前24分钟内，求1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)记1号座舱与5号座舱高度之差的绝对值为H米，若在0≤t≤t0这段时间内，H恰有三次取得最大值，求t0的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=3x−a3x+1(a∈R).
(1)若函数f(x)为奇函数，求a的值，并求此时函数f(x)的值域；
(2)若存在x1<0答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：tan390∘=tan30∘= 33.
故选：A.
利用诱导公式化简求值即可．
本题考查诱导公式的应用，三角函数求值，是基本知识的考查．
2.【答案】D
【解析】解：已知全集为U，集合M，N满足M⫋N⫋U，
对于A，M∪N=N≠U，
即A不符合题意；
对于B，(∁UN)∪(∁UM)=∁U(M∩N)=∁UM≠U，
即B不符合题意；
对于C，M∪(∁UN)≠U，
即C不符合题意；
对于D，N∪(∁UM)=U，
即D符合题意．
故选：D.
由已知结合集合的交集，并集及补集运算检验各选项即可判断．
本题主要考查了集合的交集，并集及补集运算，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：A.当c=0时不成立，故A错；
B.取a=−2，b=−1，则1a=−12，1b=−1，所以1a>1b，故B错；
C.取a=−2，b=−1，则a2=4，ab=2，b2=1，故C错；
D.因为a>b>0，所以有a2>b2，故D正确；
故选：D.
对四个选项逐一举数进行判断即可．
本题考查了不等式的性质，对每一个选项只需列举出满足条件的数据进行判断即可，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：小于90∘的角可以是负角，负角不是锐角，A错误；
第二象限的角不一定大于第一象限的角，例如：150∘是第二象限角，390∘是第一象限角，B错误；
对于C选项，因为−2024∘=−360∘×6+136∘，所以与−2024∘角终边相同的最小正角是136∘，C 正确；
对于D选项，若α=−2≈−2×57.3∘=−114.6∘，是第三象限角，错误．
故选：C.
根据三角函数的定义逐项判断即可．
本题考查任意角三角函数的定义，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性与函数值符号的分析，一般用间接法分析，属于基础题．
根据题意，先分析函数的奇偶性，可以排除C、D，结合函数的解析式可得当x>0时，有f(x)>0，排除B，即可得答案．
【解答】
解：根据题意，设y=f(x)=4xx2+2，其定义域为R，有f(−x)=−4xx2+2=−f(x)，则f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，排除C、D，
当x>0时，4x>0，x2+2>0，必有f(x)>0，排除B，
故选：A.
6.【答案】B
【解析】解：∵f(x)=f(2−x)，
∴函数f(x)的图象关于直线x=1对称，
又f(x)在区间[1,2]上是减函数，
∴f(x)在区间[0,1]上是增函数①，
又f(−x)=f(x)，
∴f(2+x)=f(−x)=f(x)，
∴f(x)是以2为周期的函数，
∴f(x)在区间[3,4]上是减函数②，
由①②可得，B正确．
故选：B.
依题意，可得函数f(x)的图象关于直线x=1对称，是以2为周期的函数，从而可得答案．
本题考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了函数的单调性在比较变量大小中的应用，属于中档题．
由2x−2y<3−x−3−y，可得2x−3−x<2y−3−y，令f(x)=2x−3−x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)【解答】
解：由2x−2y<3−x−3−y，可得2x−3−x<2y−3−y，
令f(x)=2x−3−x，则f(x)在R上单调递增，且f(x)所以x0，
由于y−x+1>1，故ln(y−x+1)>ln1=0，
因为不确定|x−y|与1的大小，故CD错误，
故选：A.
8.【答案】B
【解析】【分析】
由方程lg2x−(12)x=0得lg2x=(12)x，lg12x−(12)x=0得：lg12x=(12)x，分别画出左右两边函数的图象，即可得出结论．
本题考查指数、对数函数的图象，考查学生分析解决问题的能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．
【解答】
解：由方程lg2x−(12)x=0得lg2x=(12)x，
lg12x−(12)x=0得：lg12x=(12)x，
分别画出左右两边函数的图象，如图所示．
由指数与对数函数的图象知：x1>1>x2>0，
于是有lg2x1=(12)x1<(12)x2=lg12x2，得x1<1x2，所以0故选：B.
9.【答案】AC
【解析】解：对于A，a2>1，解得a>1或a<−1，
故“a>1”是“a2>1”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，sinπ4=sin3π4= 22，但π4≠3π4，故B错误；
对于C，“∀x，y∈R，x2+y2≥0”的否定是“∃x0，y0∈R，x02+y02<0”，故C正确；
对于D，y=x12的定义域为[0,+∞),y=x24的定义域为R，故D错误．
故选：AC.
结合充分条件、必要条件的定义、以及命题否定、同一函数的定义，即可求解．
本题主要考查充分条件、必要条件的定义、以及命题否定、同一函数的定义，属于基础题．
10.【答案】AB
【解析】解：对于A，x(1−2x)=12×2x(1−2x)≤12⋅(2x+(1−2x)2)2=18(当且仅当2x=1−2x，即x=14时取等号)，故A正确；
对于B，由基本不等式得ex+e−x≥2 ex⋅e−x=2(当且仅当ex=e−x，即x=0时取等号)，故B正确；
对于C，若lgab<0，则lgba=1lgab<0，lgab+lgba<0，故C错误；
对于D，x2+1x2+2=x2+2+1x2+2−2，
令t=x2+2，则t≥2，上式可化为g(t)=t+1t−2(t≥2)，
由对勾函数的性质可知，g(t)在[2,+∞)上单调递增，
故g(t)min=g(2)=12，
即x2+1x2+2的最小值为12(当且仅当x=0时取得)，故D错误．
故选：AB.
利用基本不等式对各个选项逐一分析可得答案．
本题考查基本不等式及其应用，考查运算能力，属于中档题．
11.【答案】AD
【解析】解：∵f(x)=1−tan2x1+tan2x−2sinxcsx=cs2x−sin2x= 2cs(2x+π4)(x≠kπ+π2,k∈Z)，
∴f(x)的最小正周期T=2π2=π，A正确；
当x∈[−π8,π8]时，2x+π4∈[0,π2]，f(x)= 2cs(2x+π4)为减函数，B错误；
∵f(−π8)= 2cs[2×(−π8)+π4]= 2≠0，
∴函数f(x)的图象不关于点(−π8,0)对称，但关于直线x=−π8对称，C错误，D正确．
故选：AD.
利用三角恒等变换可得f(x)= 2cs(2x+π4)(x≠kπ+π2,k∈Z)，利用余弦函数的性质对各个选项逐一分析可得答案．
本题考查正弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】ABD
【解析】【分析】
本题主要考查了不等式的基本性质，以及指数式与对数式的互化，同时考查了作差法比较大小，属于基础题．
先将指数式转化成对数式表示出a、b，然后利用作差法比较大小以及不等式的性质进行判定．
【解答】
解：∵5a=3，8b=5，
∴a=lg53，b=lg85，
则a−b=lg3lg5−lg5lg8≈−0.6993×0.3010≈−0.09<0，故a01，1b>1，所以1a+1b>2，选项B正确；
因为a0，1ab>1，此时a+1a−(b+1b)=(a−b)+b−aab=(b−a)(1ab−1)>0，
所以a+1a>b+1b，故选项C不正确；
因为0故选：ABD.
13.【答案】π18
【解析】解：将函数f(x)=sin(3x+π6)的图象向右平移m(m>0)个单位长度，可得y=sin(3x+π6−3m)的图象；
再将图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)=sin(12x+π6−3m)的图象，
若g(x)为奇函数，则π6−3m=kπ，k∈Z.
令k=0，可得m的最小值为π18.
故答案为：π18.
由题意，根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得到g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
14.【答案】(−∞,1012)
【解析】解：令u=x2−2024x，则u在(−∞,1012)单调递减，(1012,+∞)上单调递增，
f(x)=(12023)x2−2024x=(12023)u在R上单调递减，
所以f(x)=(12023)x2−2024x的单调递增区间为(−∞,1012).
故答案为：(−∞,1012)(答案不唯一，(−∞,1012)的任何子区间均可).
利用复合函数的单调性即可求出结果．
本题考查复合函数的单调性，属基础题．
15.【答案】− 32
【解析】解：由题意：设A(x1,12)，B(x2,12)，则x2−x1=π6，
由y=Asin(ωx+φ)的图象可知：
ωx2+φ−(ωx1+φ)=5π6−π6=2π3，即ω(x2−x1)=2π3，
∴ω=4，
又f(2π3)=sin(8π3+φ)=0，∴8π3+φ=kπ，k∈Z，
即φ=−8π3+kπ，k∈Z，
观察图象，可知当k=2时，φ=−2π3满足条件，
∴f(π)=sin(4π−2π3)=− 32.
故答案为：− 32.
由A，B两点的位置入手，结合整体代换思想，先确定ω，再根据图象的位置，找出合乎条件的一个φ值，即可求解．
本题主要考查根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象确定解析式的方法，属中档题．
16.【答案】675
【解析】解：当x>0时，
由f(x)=f(x−1)−f(x−2)可得f(x+2)=f(x+1)−f(x)，
f(x+3)=f(x+2)−f(x+1)，
所以f(x+3)=−f(x)，所以f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，
即x>0时，周期为6，
当x<0时，1−x>1，f(x)=lg2(1−x)>0，此时函数无零点，
由于f(0)=lg21=0，
则f(6)=f(5)−f(4)=f(4)−f(3)−f(4)=−f(3)，
−f(3)=−f(2)+f(1)=−f(1)+f(0)+f(1)=f(0)=0，
所以f(3)=0，
所以f(0)=f(3)=f(6)=f(9)=f(12)=⋯−f(2022)，
由于2022=3×674，故f(x)在[−2024,2024]上的整数值零点个数为675.
故答案为：675.
根据函数当x>0时的周期，及f(x+3)=−f(x)，即可求出整数值零点．
本题考查了函数零点的计算，属于中档题．
17.【答案】解：(1)A={x||x−1|≤2}={x|−1≤x≤3}，
B={x|x−2x+6≥0}={x|x≥2或x<−6}，
故A∩B={x|2≤x≤3}；
(2)当10−a≥2a+1，即a≤3时，集合C=⌀，符合题意，
当C≠⌀时，即a>3，
则10−a≥2或2a+1≤−6，
故3综上所述，a的取值范围为{a|a≤8}.
【解析】(1)先求出集合A，B，再结合交集的定义，即可求解；
(2)结合补集、交集的定义，并分类讨论，即可求解．
本题主要考查集合的运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为π2<α<π，所以π<2α<2π，又−π2<β<0，所以0<−β<π2，
所以π<2α−β<5π2，
而sin(2α−β)=35>0，所以2π<2α−β<5π2，
所以cs(2α−β)= 1−sin2(2α−β)=45；
(2)由−π2<β<0且sinβ=−45，得csβ=35，
所以cs2α=cs[(2α−β)+β]=cs(2α−β)csβ−sin(2α−β)sinβ，
cs2α=cs[(2α−β)+β]=cs(2α−β)csβ−sin(2α−β)sinβ=45×35−35×(−45)；
又π2<α<π，所以csα=− 1+cs2α2=−7 210；
(3)由(2)知π2<α<π,csα=−7 210，所以sinα= 210，
所以sin(α−β)=sin[(2α−β)−α]=sin(2α−β)csα−cs(2α−β)sinα=35×(−7 210)−45× 210=− 22，
又π2<α<π,0<−β<π2，所以π2<α−β<3π2，
所以α−β=5π4.
【解析】(1)根据同角平方关系即可求解；
(2)根据和角余弦公式求解cs2α=cs[(2α−β)+β]，再根据倍角余弦公式即可求解；
(3)先根据差角正弦公式求解sin(α−β)=sin[(2α−β)−α]，再结合角的范围即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，涉及到求角，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当a=1，b=4时，不等式可化为x2−2x+34≤0，即4x2−8x+3≤0，
整理得(2x−3)(2x−1)≤0，解得12≤x≤32，即不等式的解集为[12,32]；
(2)若不等式x2− ab⋅x+b−14≤0仅有一个解，则Δ=(− ab)2−(b−1)=0，
即ab=b−1⇒b=ab+1>0，a>0，由ab−b+1=0，两边除以b得a+1b=1，
则4a+b=(4a+b)(a+1b)=5+4ab+ab≥5+2 4ab×ab=9，
当且仅当ab=4ab，即a=23,b=3时，等号成立，
故4a+b的最小值为9.
【解析】(1)根据题意，把a=1，b=4代入，解不等式即可；
(2)根据条件利用根的判别式列式，化简可得a+1b=1，且ab>0，再利用基本不等式算出4a+b的最小值．
本题主要考查一元二次方程根的判别式、基本不等式及其应用等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)依题意，f(3)=lga2+lga2=−2，解得a=12，
由2x−4>05−x>0，解得2(2)由(1)知，f(x)=lg12(2x−4)+lg12(5−x)=lg12(2x−4)(5−x)=lg12(−2x2+14x−20)，
令−2x2+14x−20>0，得2又y=−2x2+14x−20的开口向下，对称轴方程为x=72，
所以y=−2x2+14x−20在区间(2,72)上单调递增，在(72,5)上单调递减，又y=lg12x为减函数，
所以，由复合函数的单调性可得，f(x)的单调减区间为(2,72)，单调增区间为(72,5)；
(3)2m=3n=t(52则2m=lg 2t=1lgt 2，3n=lg33t=1lgt33，
显然 2=68，33=69>68= 2>1，即有0于是2m>3n，而52又27>34，则7>4lg23，lg23<74，即2m<72，
n=lg3t>lg352，3n>3lg352=lg31258>lg39=2，
从而2m∈(2,72)，3n∈(2,72)，
因为函数u=−2x2+14x−20在(2,72)上是增函数，又y=lg12u在(0,+∞)上是减函数，
则f(x)在(2,72)上是减函数，
所以f(2m)【解析】(1)由f(3)=−2求得a，由对数函数的定义得定义域；
(2)先求得f(x)的定义域为(2,5)，再利用复合函数的单调性可得答案；
(3)指数式改写为对数式，然后比较2m，3n的大小，并由已知得出2m，3n的范围，在此范围内由f(x)的单调性得大小关系．
本题考查对数函数的单调性、复合函数单调性的应用，属于中档题
21.【答案】解：(1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为：
h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0,t≥0)，则A=30，b=32，
∴h(t)=30sin(ωt+φ)+32(ω>0)，
依题意T=24min，∴ω=2πT=π12(rad/min)，
当t=0时，h(t)=32，∴φ=0，∴h(t)=30sinπ12t+32(t≥0)；
(2)令h(t)=17，即30sinπ12t+32=17，∴sinπ12t=−12，
∵0≤t≤24，∴0≤π12t≤2π，∴π12t=7π6或π12t=11π6，解得t=14或t=22，
∴t=14或t=22时，1号舱与地面的距离为17米．
(3)依题意h1=30sinπ12t+32，h5=30sinπ12(t+8)+32，
∴H=|(30sinπ12t+32)−[30sinπ12(t+8)+32]|
=30|sinπ12t−sin(π12t+2π3)|
=30|32sinπ12t− 32csπ12t|
=30 3|sin(π12t−π6)|，
令π12t−π6=π2+kπ，k∈Z，解得t=8+12k，k∈N，
∴当t=8+12k，k∈N时，H取得最大值，
依题意可得32≤t0≤44，即t0的取值范围是[32,44].
【解析】(1)设1号座舱与地面的距离h与时间t的函数关系的解析式为h(t)=Asin(ωt+φ)+b(A>0,ω>0)，根据所给条件，求出A，b，ω，φ，即可得到函数解析式．
(2)由(1)中的函数解析式，能求出在前24分钟内1号座舱与地面的距离为17米时t的值；
(3)依题意可得h1，h5，从而得到高度差函数H=|(30sinπ12t+32)−[30sinπ12(t+8)+32]|，利用两角和差的正弦公式化简，再结合正弦函数的性质求出函数取得最大值时t的值，即可得解．
本题考查三角函数模型的应用，考查正弦型曲线的性质、单调性、最值等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=3x−a3x+1为奇函数，
所以f(0)=1−a2=0，所以a=1，
此时f(x)=3x−13x+1=1−23x+1在R上单调递增，
又3x+1>1⇒0<23x+1<2⇒f(x)=1−23x+1∈(−1,1)，
故函数f(x)的值域为(−1,1).
(2)f(x)=3x+1−a−13x+1=1−a+13x+1.
①当a+1≤0时，f(a)≥1，故不成立；
②当a+1>0即a>−1时，f(x)在R上为增函数，且值域为(−a,1)，
(i)当f(0)=1−a2<0即a>1时，只要−1所以−1<1−a2<0，所以1(ii)当f(0)=1−a2≥0即−1所以13综上，13【解析】(1)根据函数的奇偶性得到f(0)=0，求出a，根据函数的单调性求出函数的值域即可；
(2)求出a>−1时，根据函数的单调性求出f(x)的值域，结合f(0)的情况，确定a的范围即可．
本题考查了函数的单调性，值域问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．