2023-2024学年湖南省长沙市雨花区高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省长沙市雨花区高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.如图所示的Venn图中，集合A={0,1,2}，B={−1,0,2}，则阴影部分表示的集合是( )
A. {0,2}B. {−1,1}C. {−1,0,1,2}D. {−1,0,1}
2.已知一个扇形的圆心角为30∘，半径为1，则该扇形的周长为( )
A. 32B. π6C. 30D. π6+2
3.设f(x)=2x+x−8，用二分法求方程2x+x−8=0在[1,5]上的近似解时，经过两次二分后，可确定近似解所在区间为( )
A. [1,2]或[2,3]都可以B. [2,3]
C. [1,2]D. 不能确定
4.“幂函数y=(m2+m−5)xm的图象分布在第一、二象限”是“m=−3或2”的( )
A. 充要条件B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件
5.中国南宋著名数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S= p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半.已知△ABC周长为12，c=4，则此三角形面积最大时，∠A=( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
6.已知sinα−csα= 22，则tanα+1tanα的值为( )
A. −14B. −4C. 14D. 4
7.函数f(x)=2xsinx4x+1的大致图象为( )
A.
B.
C.
D.
8.如果函数y=f(x)在区间I上是增函数，而函数y=f(x)x在区间I上是减函数，那么称函数y=f(x)是区间I上“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”，若函数f(x)=12x2−x+32是区间I上“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )
A. [1,+∞)B. [0, 3]C. [0,1]D. [1, 3]
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若a>b>0，则ac2>bc2B. 若aab>b2
C. 若a>b>0且c<0，则ca2>cb2D. 若a>b且1a>1b，则ab<0
10.下列说法正确的是( )
A. y=x0与y=1(x≠0)表示同一函数
B. 已知f(x)=x3+ax−bx−8，若f(−2)=10，则f(2)=−26
C. 若角α是第一象限角，则α2是第一或第二象限角
D. 当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，则k的取值范围是(0,4)
11.将函数y=sin12x的图象向左平移π3个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标保持不变)，得到函数g(x)的图象，下列关于函数g(x)的说法正确的是( )
A. g(x)=sin(14x+π6)
B. g(x)关于x=π3对称
C. g(x)在区间[0,2023]上有644个零点
D. 若g(x)在[−a,a]上是增函数，则a的最大值为π6
12.函数f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)在R上是单调递减函数B. f(−5)C. f(0)=0D. f(2x−1)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数f(x)=2sinx,x<1f(x−1),x≥1，则f(1)=______.
14.已知函数f(x)的定义域为[−1,1]，则y=f(x+1) x2−2x−3的定义域为______
15.函数f(x)=ln(x2−ax−3)在[2,+∞)单调递增，则a的取值范围是______.
16.已知正实数x，y满足方程e2x−1+2x=e3−y+4−y，则xy+1x的最小值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知集合A={x|0(1)若a=−3，求A∪(∁RB)；
(2)若A∩B=B，求a的取值范围．
18.(本小题12分)
求下列各式的值：
(1)(164)−23+lg25+lg4+7lg72；
(2) 1−2sin10∘cs10∘sin10∘− 1−sin210∘.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax+1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A，点A又在函数g(x)=lg2(x+a)2的图象上.
(1)求a的值；
(2)若关于x的不等式f(g(x))>kx+1在x∈[3,4]上恒成立，求实数k的取值范围.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3sinωxcsωx−cs2ωx+m.
(1)若函数f(x)的图象关于直线x=2π9对称，ω∈[1,π]，求ω的值及函数f(x)单增区间；
(2)在(1)的条件下，当x∈[0,π2]时，x1和x2是函数f(x)的两个零点，求f(x1+x2)−m的值.
21.(本小题12分)
春运是中国在农历春节前后发生的一种大规模全国性交通运输高峰期、高交通运输压力现象.已知某火车站候车厅，候车人数与时间t相关，时间t(单位：小时)满足0(1)求f(t)的表达式，并求当天中午12点时，候车厅候车人数；
(2)若为了照顾群众的安全，每时需要提供的免费矿泉水瓶数为P=f(t)−3160t+320，则一天中哪个时间需要提供的矿泉水瓶数最少？
22.(本小题12分)
如果函数y=f(x)的定义域为R，且存在实常数a，使得对定义域内的任意x，都有f(x+a)=f(−x)恒成立，那么称此函数具有“P(a)性质”.
(1)已知y=f(x)具有“P(0)性质”，且当x≤0时，f(x)=lg2(x2−2x+5)，求y=f(x)在[0,1]的最大值；
(2)已知定义在R上的函数y=h(x)具有“性质P(2)”，当x≥1时，h(x)=|x−4|.若h2(x)−t⋅h(x)+t=0有8个不同的实数解，求实数t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由题意，A∩B={0,2}，A∪B={−1,0,1,2}，
阴影部分表示的集合是∁A∪B(A∩B)={−1,1}.
故选：B.
根据集合的交并运算求解即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：弧长为π6×1=π6，则该扇形的周长为π6+2.
故选：D.
根据扇形弧长公式计算即可得．
本题考查扇形弧长公式，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：因为f(1)=2+1−8=−5<0，f(5)=32+5−8=29>0，f(3)=8+3−8=3>0，
所以f(1)⋅f(3)<0，
所以函数f(x)的零点落在区间[1,3]内，
又因为f(2)=4+2−8=−2<0，
所以f(2)⋅f(3)<0，
所以函数f(x)的零点落在区间[2,3]内，
即经过两次二分后，可确定近似解所在区间为[2,3].
故选：B.
利用二分法的定义求解．
本题主要考查了二分法的应用，考查了函数的零点存在定理，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：当幂函数y=(m2+m−5)xm的图象分布在第一、二象限，
y=(m2+m−5)xm为幂函数，
则m2+m−5=1，解得m=−3或2，
当m=−3时，y=x−3为奇函数，图象关于原点对称，图象分布在第一、三象限，舍去，
当m=2时，y=x2为偶函数，图象关于y轴对称性，图象分布在第一、二象限，符合题意，
故m=2，
所以“幂函数y=(m2+m−5)xm的图象分布在第一、二象限”是“m=−3或2”的充分不必要条件．
故选：C.
根据已知条件，结合幂函数的定义，求出m的值，再一次验证图象分布象限，即可求解．
本题主要考查幂函数的概念，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：由题意可知，p=6，a+b=8，c=4，
则S= p(p−a)(p−b)(p−c)= 6(6−a)(6−b)(6−4)= 12(6−a)(6−b)，
∵(6−a)(6−b)≤[(6−a)+(6−b)2]2=[12−(a+b)2]2=4，当且仅当6−a=6−b，即a=b=4时，等号成立，
∴S≤ 12×4=4 3，当且仅当a=b=4时，等号成立，
此时△ABC为等边三角形，故∠A=60∘.
故选：C.
由题意可知，p=6，a+b=8，c=4，则S= p(p−a)(p−b)(p−c)= 12(6−a)(6−b)，再利用基本不等式求解即可．
本题主要考查了三角形面积公式的应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：sinα−csα= 22，
则(sinα−csα)2=1−2sinαcsα=12，解得sinαcsα=14，
tanα+1tanα=sinαcsα+csαsinα=sin2α+cs2αcsαsinα=1csαsinα=114=4.
故选：D.
根据已知条件，结合三角函数的同角公式，推出得sinαcsα=14，再对所求算式变形，即可求解．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：f(x)=sinx2x+2−x，则f(−x)=−sinx2−x+2x=−f(x)，即f(x)是奇函数，排除C，
f(1)=2sin15∈(0,12)，排除B，D，
故选：A.
判断函数的奇偶性和对称性，利用排除法进行判断即可．
本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的奇偶性和对称性进行判断是解决本题的关键，是基础题．
8.【答案】D
【解析】解：f(x)=12x2−x+32在区间[1,+∞)上是增函数，
y=f(x)x=12x−1+32x，
y′=12−32⋅1x2=x2−32x2；
故y=f(x)x=12x−1+32x在[− 3, 3]上是减函数，
故“缓增区间”I为[1, 3]；
故选D.
由题意，求f(x)=12x2−x+32的增区间，再求y=f(x)x=12x−1+32x的减函数，从而求缓增区间．
本题考查了函数的性质应用，属于基础题．
9.【答案】BCD
【解析】【分析】
本题考查了不等式的基本性质和命题真假的判断，属基础题．
根据各选项的条件，结合不等式的基本性质分别判断即可．
【解答】
解：A.当c=0时，不等式ac2>bc2不成立，故A是假命题；
B.若ab2，a2>ab，∴a2>ab>b2，故B是真命题；
C.若a>b>0，则1a2<1b2，∵c<0，∴ca2>cb2，故C是真命题；
D.由a>b且1a>1b，可知a>0，b<0，∴ab<0，故D为真命题．
故选BCD.
10.【答案】AB
【解析】解：y=x0与y=1(x≠0)，定义域、映射关系均相同，二者为同一函数，故A正确；
设g(x)=x3+ax−bx，
则g(−x)=−g(x)，即g(−x)+g(x)=0，
f(2)=g(2)−8，f(−2)=g(−2)−8，两式相加可得，f(2)+f(−2)=g(2)+g(−2)−16=−16，
f(−2)=10，
故f(2)=−26；故B正确；
角α是第一象限角，即2kπ<α<π2+2kπ,k∈Z，
则kπ2<α2<π4+kπ,k∈Z，
当k=0时，α2是第一象限角，
当k=1时，α2是第三象限角，
故α2是第一或第三象限角，故C错误；
当x∈R时，不等式kx2−kx+1>0恒成立，
当k=0时，1>0，符合题意，
当k≠0时，k>0Δ=(−k)2−4k<0，解得0综上所述，k的取值范围是[0,4),故D错误．
故选：AB.
对于A，表示同一个函数的定义，即可求解；
对于B，结合函数的奇偶性，即可求解；
对于C，结合象限角的定义，分类讨论，即可求解；
对于D，结合二次函数的性质，分类讨论，即可求解．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于中档题．
11.【答案】BC
【解析】解：将函数y=sin12x的图象向左平移π3个单位长度，可得y=sin(x2+π6)的图象；
再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标保持不变)，
得到函数g(x)=sin(x+π6)的图象，故A错误．
令x=π3，求得g(x)=1，为最大值，可得g(x)的图象关于x=π3对称，故B正确．
当x∈[0,2023]时，x+π6∈[π6,2023+π6]，
函数g(x)=sin(x+π6)的零点有5π6，11π6，17π6，⋅⋅⋅，5π6+643π，共计644个，
即g(x)在区间[0,2023]上有644个零点，故C正确．
若g(x)在[−a,a]上是增函数，则a>0a≤π2−a≥−π2，求得0故a的最大值为π2，故D错误．
故选：BC.
由题意，利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于中档题．
12.【答案】BD
【解析】解：∵f(x)的定义域为R，对任意的实数x1，x2(x1≠x2)，满足x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1)，
即(x1−x2)(f(x1)−f(x2))>0，
∴f(x)为R上的增函数，A错误；
∴f(−5)当f(0)的值不能确定，C错误；
由f(2x−1)故选：BD.
依题意，可得f(x)为R上的增函数，进而对各个选项逐一分析可得答案．
本题考查函数单调性的性质与判断，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
13.【答案】0
【解析】解：因为f(x)=2sinx,x<1f(x−1),x≥1，
则f(1)=f(0)=2sin0=0.
故答案为：0.
由已知可得f(1)=f(0)，代入即可求解．
本题主要考查了函数值的求解，属于基础题．
14.【答案】[−2,−1)
【解析】解：由题意，
−1≤x+1≤1x2−2x−3>0，解得−2≤x<−1.
∴y=f(x+1) x2−2x−3的定义域为[−2,−1).
故答案为：[−2,−1).
由分母中根式内部的代数式大于0，结合f(x+1)的定义域，取交集得答案．
本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．
15.【答案】(−∞,12)
【解析】解：函数f(x)=ln(x2−ax−3)在[2,+∞)单调递增，
由复合函数的性质可得y=x2−ax−3)在[2,+∞)单调递增，且函数值为正，
所以a2≤222−2a−3>0，解得a<12.
故答案为：(−∞,12).
由复合函数的单调及对数函数的性质可得关于a的不等式组，即可求解．
本题主要考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】32
【解析】解：令f(x)=ex+x，则f(x)在R上单调递增，
又由e2x−1+2x=e3−y+4−y得e2x−1+2x−1=e3−y+3−y，
即f(2x−1)=f(3−y)，
所以2x−1=3−y，即2x+y=4，
所以xy+1x=4−y2y+1x=2y+1x−12=14(2y+1x)(2x+y)−12
=14(4+4xy+yx)−12≥14(4+2 4xy⋅yx)−12=32，当且仅当4xy=yx，即x=1，y=2时等号成立，
故xy+1x的最小值为32.
故答案为：32.
通过构造函数f(x)=ex+x，通过判断其单调性得到2x+y=4，再利用基本不等式求最值．
本题主要考查了函数的单调性的应用，还考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)因为a=−3，所以B={x|1∁RB={x|x≤1或x≥3}，
故A∪(∁RB)={x|x<2或x≥3}；
(2)因为A∩B=B，所以B⊆A，
若B=⌀，则−a≤1，解得a≥−1，
若B=⌀，则−a>1−a≤2，解得−2≤a<−1，
综上所述，a的取值范围为[−2,+∞).
【解析】(1)代入a的值，求出集合B，从而求出A∪(∁RB)即可；
(2)根据集合的包含关系，得到关于a的不等式，解出即可．
本题考查了集合的运算，考查集合的包含关系以及转化思想，是一道基础题．
18.【答案】解：(1)(164)−23+lg25+lg4+7lg72=[(14)3]−23+lg25×4+2=16+2+2=20；
(2) 1−2sin10∘cs10∘sin10∘− 1−sin210∘= (cs10∘−sin10∘)2sin10∘−cs10∘=|cs10∘−sin10|sin10∘−cs10∘=cs10∘−sin10∘sin10∘−cs10∘=−1.
【解析】(1)利用幂即对数运算性质即可求值；
(2)首先利用同角三角函数的基本关系式，进一步利用|sin10∘−cs10∘|=cs10∘−sin10∘求的结果．
本题考查三角函数化简求值，是中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)=ax+1(a>0,a≠1)，当x=0时，f(x)=2，则函数y=f(x)图像恒过定点A(0,2)，
又∵A(0,2)在函数y=g(x)图象上，即lg2a2=2，解得a=2(负值舍去)，
(2)∵f[g(x)]=2lg2(x+2)2+1=(x+2)2+1,3≤x≤4，
则(x+2)2+1>kx+1在区间[3,4]上恒成立，即x2+(4−k)x+4>0在区间[3,4]上恒成立，
令h(x)=x2+(4−k)x+4，x∈[3,4]，则h(x)min>0，函数y=h(x)的对称轴为x=k2−2，
①k2−2≤3，即k≤10，y=h(x)在区间[3,4]上单调递增，
h(x)min=h(3)=25−3k>0，则k<253，又k≤10，∴k<253；
②3函数y=h(x)在(3,k2−2)上单调递减，在区间(k2−2,4)上单调递增，
则h(x)min=h(k2−2)=(k2−2)2+(4−k)(k2−2)+4=−k24+2k>0，
则0③k2−2≥4，即k≥12，y=h(x)在区间[3,4]上单调递减，
h(x)min=h(4)=36−4k>0，即k<9，又k≥12，∴无解；
综上所述，实数k的取值范围为(−∞,253).
【解析】(1)首先求出f(x)过定点坐标，再代入g(x)中求出a的值；
(2)首先求出f[g(x)]=(x+2)2+1，依题意可得x2+(4−k)x+4>0在区间[3,4]上恒成立，令h(x)=x2+(4−k)x+4，x∈[3,4]，则h(x)min>0，再分k≤10、10本题主要考查函数恒成立问题，指数与对数函数的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)f(x)= 3sinωxcsωx−cs2x= 32sin2ωx−12cs2ωx−12+m=sin(2ωx−π6)−12+m，
∵f(x)关于直线x=2π9对称，∴2ω×2π9−π6=kπ+π2(k∈Z)，解得ω=94k+32(k∈Z)，
∵ω∈[1,π]，∴ω=32，f(x)=sin(3x−π6)−12+m，
由2kπ−π2≤3x−π6≤2kπ+π2，得2kπ3−π9≤x≤2kπ3+π9.
则f(x)的单调递增区间为[2kπ3−π9,2kπ3+π9](k∈Z)；
(2)∵x∈[0,π2]，∴3x−π6∈[−π6,4π3]，
∵x1和x2是f(x)的两个零点，∴3(x1+x2)−π3=π⇒3(x1+x2)=4π3，
∴f(x1+x2)−m=sin[3(x1+x2)−π6]−12=sin7π6−12=−1.
【解析】(1)由二倍角公式和辅助角公式化简函数，利用图象对称列方程求出ω，得出函数解析式，进而可求出函数的单调递增区间；
(2)利用换元法结合正弦函数图象在给定区间的对称性，得出f(x1+x2)−m的值．
本题考查三角恒等变换，考查三角函数的图象和性质，考查学生计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)当0设f(t)=5160−kt(16−t)，f(6)=3960，则k=20，
∴f(t)=5160−20t(16−t),(0故当天中午12点时，候车厅候车人数为4200人．
(2)P=20(t+100t),0①当0仅当t=10时等号成立，
②当16≤t≤24时，P≥200024+320≈403，
又403>400，
所以t=10时，需要提供的矿泉水瓶数最少．
【解析】(1)根据已知条件，分0(2)根据(1)的结论，求出P关于t的函数解析式，再结合基本不等式的公式，以及函数的单调性，即可求解．
本题主要考查函数的实际应用，考查转化能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)因为y=f(x)具有“P(0)性质”，
所以f(x)=f(−x)对x∈R恒成立，
所以f(x)是偶函数．
当x≤0时，f(x)=lg2(x2−2x+5)，
所以当x≥0时，−x≤0，
则f(−x)=lg2[(−x)2−2(−x)+5]=lg2(x2+2x+5)，
由f(x)=f(−x)得，当x≥0时，f(x)=lg2(x2+2x+5).
因为y=lg2x是增函数，y=x2+2x+5=(x+1)2+4在[−1,+∞)单调递增，
所以由复合函数的单调性可知函数f(x)=lg2(x2+2x+5)在[0,1]上单调递增，
因此f(x)在[0,1]上的最大值为f(1)=lg2(12+2×1+5)=lg28=3.
(2)函数y=h(x)具有“性质P(2)”，
则h(x+2)=h(−x)，
当x≥1时，h(x)=|x−4|，所以当x<1时，h(x)=h(−x+2)=|x+2|，
于是h(x)=|x−4|,x≥1|x+2|,x<1，
如下图所示：
若h2(x)−t⋅h(x)+t=0有8个不同的实数解，
令n=h(x)，
则n2−tn+t=0有两个不等的实数根n1，n2，且0所以Δ=t2−4t>0t>032−3t+t>00所以t的取值范围为(4,92).
【解析】(1)根据题意，明确函数的奇偶性，结合其性质，可得答案；
(2)根据题意，写出函数的解析式，画出函数图象，利用二次函数的性质，可得答案．
本题属于新概念题，考查了对数函数的性质、复合函数的单调性、奇偶性及数形结合思想、转化思想，属于中档题．