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    2023-2024学年河南省信阳市高一(上)期末数学试卷(含详细答案解析)
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    2023-2024学年河南省信阳市高一(上)期末数学试卷(含详细答案解析)

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    这是一份2023-2024学年河南省信阳市高一(上)期末数学试卷(含详细答案解析),共12页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.若集合A={x|x2≤9},B={x|y=lg2x},则A∩B等于( )
    A. [−3,3]B. [0,3]C. (0,3]D. [3,+∞)
    2.若sinαtanα>0,且csαtanα<0,则角α是( )
    A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
    3.函数f(x)=lgx+x−2的零点所在区间为( )
    A. (3,4)B. (2,3)C. (1,2)D. (0,1)
    4.函数f(x)=xex+e−x的部分图象大致为( )
    A. B.
    C. D.
    5.已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,则( )
    A. a>c>bB. a>b>cC. c>a>bD. b>c>a
    6.已知x<0,y<0,且2x+y=−2,则4x+2y的最小值为( )
    A. 1B. 2C. 2D. 2 2
    7.我国某科技公司为突破“芯片卡脖子问题”实现芯片国产化,加大了对相关产业的研发投入.若该公司计划2020年全年投入芯片制造研发资金120亿元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长9%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200亿元的年份是参考数据:lg1.09≈0.037,lg2≈0.3010,lg3≈0.4771( )
    A. 2024年B. 2023年C. 2026年D. 2025年
    8.已知g(x)=lg2(a+2−x),若对于任意1−2,则实数a的取值范围是( )
    A. (0,+∞)B. [−18,+∞)C. [−114,+∞)D. [−112,+∞)
    二、多选题:本题共4小题,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
    9.下列说法正确的是( )
    A. 函数f(x)=−e−x与g(x)=ex的图象关于原点对称
    B. 函数f(x)=ax−1(a>0,且a≠1)恒过定点(0,1)
    C. 已知命题p:∃x>0,x2−x+1<0,则p的否定为:∀x>0,x2−x+1≥0
    D. x>0是x>3的充分不必要条件
    10.下列化简正确的是( )
    A. sin(2024π−α)=−sinαB. tan(α−2025π)=tanα
    C. sin(11π2+α)=−csαD. cs(7π2−α)=sinα
    11.已知函数f(x)=(a−2)x+1,x≤0xa,x>0,则以下说法正确的是( )
    A. 若a=−1,则f(x)是(0,+∞)上的减函数
    B. 若a=0,则f(x)有最小值
    C. 若a=12,则f(x)的值域为(0,+∞)
    D. 若a=3,则存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=f(2−x0)
    12.已知f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,且f(x),g(x)在(−∞,0]上单调递减,则( )
    A. f(f(x))是偶函数B. f(g(x))是奇函数
    C. g(g(x))在[0,+∞)上单调递增D. g(f(x))在[0,+∞)上单调递增
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
    13.若扇形的半径为2,面积为43π,则扇形的周长为______.
    14.函数f(x)=2|x−1|在(−∞,a]上单调递减,则a的范围为______.
    15.已知y=f(x)是偶函数,当x<0时,f(x)=x2+ax,且f(3)=3,则a=______.
    16.已知f(x)=ex−1x的零点为x0,若ex0+x0lnx0>2m,则整数m的最大值是______.
    四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题10分)
    计算、求值:
    (1)lg52+2lg2+3lg32−lg0.01+lne3+2723;
    (2)sin(−11π6)+cs25π3+tan(−19π4).
    18.(本小题12分)
    已知幂函数f(x)=(6m2−m)xm在(0,+∞)上是增函数;
    (1)求f(x)的解析式;
    (2)若f(8−2a)19.(本小题12分)
    已知函数f(x)=lg2x4lg2x2.
    (1)当x∈[2,8]时,求该函数的值域;
    (2)若不等式f(x)≥mlg2x在x∈[4,16]上有解,求m的取值范围.
    20.(本小题12分)
    已知产品利润等于销售收入减去生产成本.若某商品的生产成本C(单位:万元)与生产量x(单位:千件)间的函数关系是C=3+x;销售收入S(单位:万元)与生产量x间的函数关系是S=3x+18x−8+5,0(Ⅰ)把商品的利润表示为生产量x的函数;
    (Ⅱ)当该商品生产量x(千件)定为多少时获得的利润最大,最大利润为多少万元?
    21.(本小题12分)
    设sinθ,csθ是关于x的方程x2−ax+a=0(其中a∈R)的两个实数根.
    (1)求a的值;
    (2)求cs3(π2−θ)+sin3(π2−θ)的值;
    (3)求tan(π−θ)−1tanθ的值.
    22.(本小题12分)
    已知定义域为R的函数f(x)=b−2x2x+1+a是奇函数.
    (1)求实数a,b的值;
    (2)若f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)>0对任意x≥1恒成立,求k的取值范围.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】解:因为A={x|x2≤9}={x|−3≤x≤3},B={x|y=lg2x}={x|x>0},
    则A∩B=(0,3].
    故选:C.
    由已知先求出集合A,B,然后结合集合的交集运算即可求解.
    本题主要考查了集合的交集运算,属于基础题.
    2.【答案】D
    【解析】解:csαtanα<0,
    则sinα<0,
    sinαtanα>0,
    则tanα<0,
    故角α是第四象限.
    故选:D.
    根据已知条件,结合正弦、余弦、正切函数位于所在象限确定的符号,即可求解.
    本题主要考查三角函数值的符号,属于基础题.
    3.【答案】C
    【解析】解:函数f(1)=lg1+1−2=−1<0,f(2)=lg2+2−2=lg2>0.
    又f(x)为单调增函数,所以f(x)有唯一零点,且在区间(1,2)内.
    故选:C.
    根据零点存在性定理和单调性即可求解.
    本题主要考查函数零点存在性定理和单调性的应用,属于基础题.
    4.【答案】A
    【解析】解:根据题意,函数f(x)=xex+e−x,
    由于∀x∈R,都有ex+e−x>0,则在区间(0,+∞)上,f(x)>0,
    在区间(−∞,0)上,f(x)<0,排除B、C,
    当x→+∞时,f(x)→0,排除D.
    故选:A.
    根据题意,分析函数值的符号,排除B和C,分析函数的变化趋势,排除D,综合可得答案.
    本题考查函数的图象分析,涉及函数值符号以及函数变化趋势的分析,属于基础题.
    5.【答案】B
    【解析】解析:0.30.3>0.30.4,即b>c>0,而ab=(0.40.3)0.3=(43)0.3>1,即a>b,
    ∴a>b>c,
    故选:B.
    由题意利用指数函数的单调性和特殊点,得出结论.
    本题主要考查指数函数的单调性和特殊点,属于基础题.
    6.【答案】A
    【解析】解:因为x<0,y<0,2x+y=−2,所以4x+2y=22x+2y≥2 22x×2y=2 22x+y=1,
    当且仅当22x=2y,即2x=y=−1时,等号成立.
    故选:A.
    利用基本不等式,结合已知条件,即可得出答案.
    本题考查基本不等式的性质的应用,属于基础题.
    7.【答案】C
    【解析】解:依题意知,第n(n∈N*)时投入资金为120×(1+9%)n亿元,
    根据题意列不等式为120×(1+9%)n>200,得1.09n>53,
    两边同取常用对数,得n>lg5−lg3lg1.09=1−lg2−lg3lg1.09=1−0.3010−≈5.9973,所以n≥6,
    所以从2026年开始,该公司全年投入芯片制造方面的研发资金开始超过200亿元.
    故选:C.
    根据指数函数模型列不等式求解即可.
    本题考查了指数函数模型的应用问题,是基础题.
    8.【答案】B
    【解析】解:∵g(x1)−g(x2)x1−x2>−2⇔[g(x1)+2x1]−[g(x2)+2x2]x1−x2>0对任意1令f(x)=g(x)+2x=lg2(a+2−x)+lg222x=lg2(a⋅22x+2x),
    则f(x1)−f(x2)x1−x2>0对任意1∴f(x)=lg2(a⋅22x+2x)在(1,2)上单调递增,
    则函数u=a⋅22x+2x在(1,2)上单调递增,且a⋅22x+2x>0对∀x∈(1,2)成立,
    令t=2x,因此h(t)=at2+t在(2,4)上单调递增,且at2+t>0对∀t∈(2,4)成立,
    当a≥0时,h(t)=at2+t在(2,4)上单调递增,且at2+t>0对∀t∈(2,4)成立,
    当a<0时,由h(t)=at2+t在(2,4)上单调递增,得−12a≥4,解得−18≤a<0,
    由∀t∈(2,4),at2+t>0,得4a+2≥0,解得a≥−12,因此−18≤a<0,
    所以实数a的取值范围是[−18,+∞).
    故选:B.
    对给定不等式作等价变形,构造函数并确定其单调性,再借助函数单调性并结合复合函数单调性求解即得.
    本题考查了复合函数的单调性,属于中档题.
    9.【答案】AC
    【解析】解:对于A:设f(x)=−e−x上任意一点P(x0,y0),其关于原点的对称点为Q(x,y),
    所以x0=−xy0=−y,所以−y=−e−(−x),所以y=ex,即Q为y=ex图象上任意一点,故A正确.
    对于B:令x−1=0,所以x=1,此时f(1)=a0=1,所以f(x)过定点(1,1),故B错误.
    对于C:修改量词否定结论可得¬p:∀x>0,x2−x+1≥0,故C正确.
    对于D:x>0不一定能推出x>3,但x>3一定能推出x>0,所以x>0是x>3的必要不充分条件,故D错误.
    故选:AC.
    对于A:根据图象上任意一点的对称点所满足的关系式判断;B:令x−1=0,由此确定出所过定点坐标;C:通过修改量词否定结论可得结果;D:根据x>0与x>3的互相推出情况进行判断.
    本题主要考查命题的真假判断,简易逻辑,函数的性质,属于基础题.
    10.【答案】ABC
    【解析】解:对于A,sin(2024π−α)=−sinα,故正确;
    对于B,tan(α−2025π)=tan(α−π)=tanα,故正确;
    对于C,sin(11π2+α)=−csα,故正确;
    对于D,cs(7π2−α)=−sinα,故错误.
    故选:ABC.
    利用诱导公式逐项求解即可.
    本题主要考查了诱导公式在三角函数求值中的应用,属于基础题.
    11.【答案】ABC
    【解析】解:若a=−1,则f(x)=−3x+1,x≤0x−1,x>0,f(x)在(0,+∞)上单调递减,故A正确;
    若a=0,则f(x)=−2x+1,x≤01,x>0,
    当x≤0时,f(x)=−2x+1,f(x)在区间(−∞,0]上单调递减,f(x)≥f(0)=1,
    由x>0时,f(x)=1,则f(x)有最小值1,故B正确;
    若a=12,则f(x)=−32x+1,x≤0x12,x>0,
    当x≤0时,f(x)=−32x+1,f(x)在区间(−∞,0]上单调递减,f(x)≥f(0)=1;
    当x>0时,f(x)=x12,f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,f(x)>f(0)=0,
    则f(x)的值域为(0,+∞),故C正确;
    若a=3,则f(x)=x+1,x≤0x3,x>0,当x0∈(1,+∞)时,f(x0)=x03>1;
    由x0∈(1,+∞),可得2−x0∈(−∞,1).
    则当2−x0∈(0,1)时,有f(2−x0)=(2−x0)3∈(0,1);
    当2−x0∈(−∞,0]时,有f(2−x0)=3−x0∈(−∞,1],
    即当2−x0∈(−∞,0]时,f(2−x0)∈(−∞,1],而当x0∈(1,+∞)时,f(x0)∈(1,+∞).
    ∴不存在x0∈(1,+∞),使得f(x0)=f(2−x0),故D错误.
    故选:ABC.
    分别把四个选项中的a值代入分段函数解析式,由分段函数的单调性判断A;求解函数的值域判断B与C;由x0的范围,求出2−x0的范围,代入分段函数解析式验证判断D.
    本题考查分段函数的应用,考查函数的单调性与函数的最值,考查运算求解能力,是中档题.
    12.【答案】AC
    【解析】解:因为f(x)是定义在R上的偶函数,g(x)是定义在R上的奇函数,
    所以f(f(−x))=f(f(x)),f(g(−x))=f(−g(x))=f(g(x)),
    所以f(f(x))和f(g(x))均为偶函数,A正确,B错误;
    又因为f(x),g(x)在(−∞,0]上单调递减,
    所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,g(x)在R上单调递减,
    所以,由复合函数的单调性可知,在[0,+∞)上g(g(x))单调递增,g(f(x))单调递减,故C正确,D错误.
    故选:AC.
    根据奇偶性定义可判断AB;根据复合函数单调性可判断CD.
    本题主要考查了函数的奇偶性及单调性的判断,属于基础题.
    13.【答案】4π3+4
    【解析】解:由题意设扇形圆心角所对弧长、半径以及面积分别为l,r,S,
    由题意得,S=43π=12lr=12×2×l,
    解得l=43π,
    所以扇形的周长为C=l+2r=43π+2×2=43π+4.
    故答案为:4π3+4.
    由扇形的面积公式求出弧长,代入扇形周长公式即可求解.
    本题考查了扇形的弧长与面积计算问题,是基础题.
    14.【答案】{a|a≤1}
    【解析】解:因为f(x)=2|x−1|=2x−1,x>1(12)x−1,x≤1,
    所以根据函数图像的平移变换和指数函数的性质可得f(x)在(1,+∞)单调递增,在(−∞,1]单调递减.
    因为函数f(x)=2|x−1|在(−∞,a]上单调递减,
    所以a≤1.
    故答案为:{a|a≤1}.
    函数f(x)=2|x−1|是由指数函数y=2x变换得到的,根据函数图像变换知识和指数函数单调性可得f(x)=2|x−1|的单调性,从而解出答案.
    本题主要考查了函数单调性的应用,属于基础题.
    15.【答案】2
    【解析】解:根据题意,当x<0时,f(x)=x2+ax,
    则f(−3)=(−3)2−3a=9−3a,
    因为y=f(x)是偶函数,
    所以f(−3)=(−3)2−3a=9−3a=f(3)=3,解得a=2.
    故答案为:2.
    根据题意,先求出f(−3)的值,结合偶函数的性质分析可得答案.
    本题考查偶函数的性质,涉及函数值的计算,属于基础题.
    16.【答案】0
    【解析】解:函数f(x)=ex−1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞),
    当x<0时,f(x)>0恒成立,不存在零点;
    当x>0时,f(x)单调递增,且f(12)= e−2<0,f(1)=e−1>0,
    所以f(x)=ex−1x的零点x0∈(12,1),f(x0)=ex0−1x0=0,
    即ex0=1x0,两边同时取对数,即x0=−lnx0,即lnx0=−x0,
    所以ex0+x0lnx0=1x0+x0⋅(−x0)=1x0−x02,所以m<12(1x0−x02),
    记h(x)=12(1x−x2),12显然h(x)单调递减,所以h(1)所以0故答案为:0.
    根据题意,可得f(x)=ex−1x的零点x0∈(12,1),记h(x)=12(1x−x2),通过判断h(x)的范围,求出m的取值范围即可.
    本题考查了函数的零点与方程根的关系,考查了转化思想,属中档题.
    17.【答案】解:(1)原式=lg52+lg4+2+2+3+9=lg10+2+2+12=17;
    (2)原式=sinπ6+csπ3+tan(−34π)=12+12−tan34π=2.
    【解析】(1)利用指对幂的运算法则求解即可.
    (2)运用诱导公式直接化简求值即可.
    本题主要考查了对数的运算性质的应用,还考查了诱导公式的应用,属于基础题.
    18.【答案】解:(1)因为f(x)=(6m2−m)xm是幂函数,
    所以6m2−m=1,解得m=12或m=−13,
    又f(x)在(0,+∞)上是增函数,故m>0,
    ∴m=12,则f(x)=x12.
    (2)由(1)知f(x)=x12在(0,+∞)上是增函数,
    又f(8−2a)∴8−2a∴a的取值范围是{a|2【解析】(1)利用幂函数的定义与性质即可得解;
    (2)利用f(x)的单调性与定义域即可得解.
    本题主要考查幂函数的性质,属于基础题.
    19.【答案】解:(1)因为f(x)=lg2x4lg2x2=(lg2x−2)(lg2x−1),
    由对数函数单调性可知,当x∈[2,8]时,lg2x∈[1,3],
    令lg2x=t,t∈[1,3],即可得g(t)=(t−2)(t−1)=t2−3t+2,t∈[1,3],
    可知g(t)=t2−3t+2的开口向上,对称轴为t=32,
    由二次函数性质可知当t=32时,g(t)min=−14,当t=3时,g(t)max=2,
    所以可得当x∈[2,8]时,函数f(x)的值域为[−14,2].
    (2)当x∈[4,16]时,可得lg2x∈[2,4],令lg2x=t,t∈[2,4],
    可得(t−2)(t−1)=t2−3t+2≥mt,即t2−3t+2≥mt在t∈[2,4]上有解,
    整理可得t+2t−3≥m在t∈[2,4]上有解,
    因为函数h(t)=t+2t−3在t∈[2,4]上单调递增,当t=4时,h(t)max=32,
    所以m的取值范围是(−∞,32].
    【解析】(1)换元令lg2x=t,结合二次函数的性质求值域;
    (2)换元令lg2x=t,整理可得t+2t−3≥m在t∈[2,4]上有解,根据存在性问题分析求解.
    本题主要考查了对数函数性质在函数值域求解中的应用,还考查了存在性问题与最值关系的转化,属于中档题.
    20.【答案】解:(Ⅰ)设商品的利润为y万元,
    由题意可得,y=S−C=2x+18x−8+2,0(Ⅱ)当0当且仅当8−x=98−x,即x=5时取等号,
    所以当0当x≥6时,y=11−x≤5,
    综上所述,当x=5时,y取得最大值6,
    所以当该商品生产量x(千件)定为5千件时获得的利润最大,最大利润为6万元.
    【解析】(Ⅰ)设商品的利润为y万元,由产品利润等于销售收入减去生产成本,列式求解即可;
    (Ⅱ)分0本题考查了函数模型的选择与应用,解题的关键是建立符合条件的函数模型,分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键,此类问题求解的一般步骤是:建立函数模型,进行函数计算,得出结果,再将结果反馈到实际问题中指导解决问题,考查了逻辑推理能力与化简运算能力,属于中档题.
    21.【答案】解:(1)sinθ,csθ是关于x的方程x2−ax+a=0(其中a∈R)的两个实数根,
    所以sinθ+csθ=asinθcsθ=a,Δ=a2−4a=a(a−4)≥0,a≤0或a≥4,
    由sinθ+csθ=a两边平方得1+2sinθcsθ=1+2a=a2,
    a2−2a−1=0,解得a=1+ 2(舍)或a=1− 2.
    所以a=1− 2.
    (2)cs3(π2−θ)+sin3(π2−θ)=sin3θ+cs3θ
    =(sinθ+csθ)(sin2θ−sinθcsθ+cs2θ)
    =a(1−a)=(1− 2)× 2= 2−2.
    (3)tan(π−θ)−1tanθ=−tanθ−1tanθ
    =−(sinθcsθ+csθsinθ)=−sin2θ+cs2θsinθcsθ
    =−1a=−11− 2=1 2−1= 2+1.
    【解析】(1)根据根与系数关系以及同角三角函数的基本关系式求得a.
    (2)利用诱导公式以及(1)的结论来求得正确答案.
    (3)利用同角三角函数的基本关系式以及(1)的结论来求得正确答案.
    本题考查三角函数的恒等变换及化简求值,考查同角三角函数基本关系的运用,属于中档题.
    22.【答案】解:(1)f(x)在R上为奇函数,故f(0)=0,
    即b−12+a=0,解得b=1,可得f(x)=1−2x2x+1+a.
    由f(−1)=−f(1),得1−121+a=−1−24+a,解得a=2.
    综上所述,a=2,b=1.
    (2)f(x)=1−2x2x+1+2=−(2x+1)+22(2x+1)=−12+12x+1;
    根据y=2x+1在R上是增函数且2x+1>1,可得f(x)在R上单调递减.
    因为f(x)为奇函数,
    所以不等式f(k⋅3x)+f(3x−9x+2)>0可化为f(k⋅3x)>f(9x−3x−2).
    根据f(x)在R上单调递减,可得k⋅3x<9x−3x−2对于任意x≥1恒成立;
    即(3x)2−(k+1)3x−2>0对任意x≥1恒成立.
    设3x=t,不等式化为t2−(k+1)t−2>0对于任意t≥3恒成立.
    设g(t)=t2−(k+1)t−2,Δ=(k+1)2+8>0,
    所以实数k满足:k+12<3g(3)=4−3k>0,解得k<43,即k的取值范围为(−∞,43).
    【解析】(1)根据题意得f(0)=0,f(−1)=−f(1),从而列式解出实数a、b的值;
    (2)由函数单调性,可知f(x)在(−∞,+∞)上单调递减,从而将问题转化为(3x)2−(k+1)3x−2>0对任意x≥1恒成立,然后根据二次不等式恒成立,算出k的取值范围.
    本题主要考查二次函数与指数函数的性质、函数的单调性与奇偶性及其应用,考查了计算能力、逻辑推理能力,属于中档题.
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