2023-2024学年湖南省部分学校高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年湖南省部分学校高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|x≥4}，N={x|x−1≤8}，则M∩N=( )
A. [−9,4]B. (9,+∞)C. [4,9]D. [4,7]
2.“α=π2”是“sinα=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 既不充分也不必要条件D. 充分必要条件
3.已知弧长为π的扇形面积也为π，则该扇形的圆心角(正角)为( )
A. π4B. π3C. 2π2D. π2
4.已知a2+b2=4ab−1，则ab的最小值为( )
A. 12B. 13C. 2D. 3
5.已知a=20.45，b=40.22，c=lg8，则( )
A. c6.函数f(x)=4x+x2−2x−20(x>1)的零点所在区间为( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (4,5)
7.若α∈(−π,0)，sinα2=−2 55，则tanα=( )
A. 43B. −43C. 67D. −67
8.把某种物体放在空气中冷却，若该物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则tmin后该物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1−θ0)e−t4求得.若将温度分别为80℃和60℃的两块物体放入温度是20℃的空气中冷却，要使得两块物体的温度之差不超过10℃，则至少要经过(取：ln2=0.69)( )
A. 2.76minB. 4.14minC. 5.52minD. 6.9min
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知a>0，且a≠1，ab=1，则函数y=ax与y=lgbx的图象可能是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数f(x)=lg2(mx−7)在[3,4]上单调递增，则m的取值可能为( )
A. 1B. 2C. 4D. 5
11.如图，天津永乐摩天轮有着“天津之眼”的美誉，也是世界上唯一一座建在桥上的摩天轮.以摩天轮某座舱P距离地面高度的最小值处为初始位置，摩天轮(匀速转动)的转动时间t(单位：分钟)与座舱P距离地面的高度h(t)(单位：米)的函数关系式为h(t)=Asin(π15t+θ)+h，A>0，|θ|<π，且开始转动5分钟后，座舱P距离地面的高度为37.5米，转动10分钟后，座舱P距离地面的高度为92.5米，则( )
A. θ=−π3
B. 该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟
C. A=55
D. 该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为120米
12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈[2,4)时，f(x)=|2x−6|−2，则( )
A. f(x)=f(x+4)
B. f(x)在(−1,1)上单调递减
C. f(2024.5)=1
D. 函数g(x)=2f(|x|)−|lg2|x||恰有8个零点
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知角α的终边经过点(π,2π)，则cs(π2−α)=______.
14.函数y=1+lga6+x2x(a>1)的图象经过定点A，则点A的坐标为______.
15.若函数f(x)=cs(3x+φ)+a在[0,π]上恰有3个零点，x1，x2，x3(x116.已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数f(x)满足f(2x)=2f(x)，且f(1)=2.若∀x1，x2∈(0,+∞)，x1≠x2，(x1−x2)[f(x1)x13−f(x2)x23]<0，则不等式f(x)x≥8x2的解集为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)计算：4lg27+3lg5−(sin2)0+lg8.
(2)已知正数a满足a12+a−12=232，求a2+a−2的值.
18.(本小题12分)
将函数y=cs(13x−π4)图象上所有点的横坐标缩短为原来的16，纵坐标变为原来的2倍.得到函数f(x)的图象.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若y=f(x+a)是奇函数，求a的值；
(3)求f(x)在[0,π2]上的最小值与最大值.
19.(本小题12分)
某企业制定了一个关于销售人员的提成方案，如下表：
记销售人员每月的提成为f(x)(单位：万元)，每月的销售总额为x(单位：万元).
注：表格中的b(b≥0)表示销售额超过100万元的部分.另附参考公式：销售额×销售额的提成比例=提成金额.
(1)试写出提成f(x)关于销售总额x的关系式；
(2)若某销售人员某月的提成不低于7万元，试问该销售人员当月的销售总额至少为多少万元？
20.(本小题12分)
已知指数函数f(x)=ax.
(1)若f(x)在[−1,3]上的最大值为8，求a的值；
(2)当a>1时，若f(x)≤30−x对x∈[−1,3]恒成立，求a的取值范围.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)= 3−2 3sin2x+(sinx+csx)2.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)求f(x)图象的对称中心的坐标；
(3)若f(α2)=32，α∈(π6,2π3)，求csα的值.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2lga(x+a)，g(x)=lga(3x+a)，a>0且a≠1.
(1)若a=3，函数F(x)=f(x)−g(x)，求F(x)的定义域；
(2)若∀x∈(1,+∞)，f(x)>g(x)，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：集合M={x|x≥4}，N={x|x−1≤8}={x|x≤9}，
故M∩N=[4,9].
故选：C.
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：当α=π2时，sinα=sinπ2=1；
当sinα=1时，α可能为5π2.
故“α=π2”可以推出“sinα=1”，“sinα=1”不能推出“α=π2”，
所以“α=π2”是“sinα=1”的充分不必要条件．
故选：A.
将“α=π2”与“sinα=1”相互推导，根据能否推导的情况判断充分、必要条件．
本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
3.【答案】D
【解析】解：设该扇形的圆心角为α，半径为r，则αr=ππr2=π，
解得r=2,α=π2.
故选：D.
根据题意，利用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解．
本题考查扇形的弧长公式和面积公式，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：因为a2+b2=4ab−1≥2ab，当且仅当a=b时取等号，
所以ab≥12.
故选：A.
由已知结合基本不等式即可求解．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：a=20.45>20.44=b>20=1，
则a>b>1，
c=lg8综上所述，a>b>c.
故选：A.
根据已知条件，结合指数函数、对数函数的单调性，即可求解．
本题主要考查指数函数、对数函数的单调性，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：对于函数f(x)=4x+x2−2x−20(x>1)，
∵f(2)=16+4−4−20=−4<0，f(3)=64+9−6−20=47>0，f(2)f(3)<0，
故函数f(x)=4x+x2−2x−20(x>1)的零点所在的区间为(2,3).
故选：B.
由于连续函数f(x)满足f(2)<0，f(3)>0，根据函数零点的判定定理求得零点所在的区间．
本题主要考查函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：因为α2∈(−π2,0)，sinα2=−2 55，
所以csα2= 55，tanα2=−2，
所以tanα=tan(2×α2)=−41−(−2)2=43.
故选：A.
根据正切与正、余弦的的关系求出tanα2，再结合正切二倍角公式求得结果．
本题主要考查三角函数的同角公式，属于基础题．
8.【答案】A
【解析】解：80℃的物块经过tmin后的温度θ1=20+60e−t4，
60℃的物块经过tmin后的温度θ2=20+10e−t4.
要使得两块物体的温度之差不超过10℃，则20+60e−t4−(20+40e−t4)≤10，
即e−t4≤12，
解得t≥4ln2=2.76.
故选：A.
根据题中定义的公式，代入相关数值，再列出不等式求解即可．
本题主要考查了函数的实际应用，考查了指数不等式的解法，属于基础题．
9.【答案】BD
【解析】解：对于A：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故A错误；
对于B：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故B正确；
对于C：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，由选项C的函数图象都为单调递减函数，故C错误；
对于D：由于ab=1，所以a=1b，故函数y=ax与y=lgbx的图象为一个为单调递增函数，一个为单调递减函数，故D正确．
故选：BD.
直接利用指数函数和对数函数的性质判断A、B、C、D的结论．
本题考查的知识要点：指数函数和对数函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：∵函数f(x)=lg2(mx−7)在[3,4]上单调递增，
∴t=mx−7在[3,4]上大于零且单调递增，∴m>03m−7>0，求得m>73.
则m的取值可以为4或5，
故选：CD.
由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，求得m的取值范围，从而得出结论．
本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由题意知，函数h(t)=Asin(π15t+θ)+h中，h(0)=−A+h=Asinθ+h，所以sinθ=−1，因为|θ|<π，所以θ=−π2，选项A不正确；
h(t)的最小正周期为T=2ππ15=30，所以该摩天轮转动一圈所用的时间为30分钟，选项B正确；
由h(t)=Asin(π15t−π2)+h=−Acs(π15t)+h，所以h(5)=−Acsπ3+h=−12A+h=37.5，
h(10)=−Acs2π3+h=12A+h=92.5，解得A=55，h=65，选项C正确；
又A+h=120，所以该摩天轮座舱P距离地面的最大高度为120米，选项D正确．
故选：BCD.
由题意知h(0)=−A+h=Asinθ+h，得出sinθ=−1，求出θ，利用T=2πω求出h(t)的最小正周期，根据h(5)=37.5，h(10)=92.5，求出A、h，即可判断选项中的命题是否正确．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与运算能力，是中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=−f(x)，且当x∈[2,4)时，f(x)=|2x−6|−2，
对于选项A，
由f(x+2)=−f(x)，
得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，
即选项A正确；
对于选项B，当x∈[0,2)时，x+2∈[2,4),
则f(x+2)=|2x−2|−2=−f(x)，
得f(x)=−|2x−2|+2，
画出f(x)的部分图象如图所示．
由图可得f(x)在(−1,1)上单调递增，
即选项B错误；
对于选项C，f(2024.5)=f(4×506+0.5)=f(0.5)=−f(2.5)=−|5−6|+2=1，
即选项C正确；
对于选项D，因为g(−x)=2f(|−x|)−|lg2|−x||=2f(|x|)−|lg2|x||=g(x)，
所以g(x)为偶函数，
当x>0时，令g(x)=0，
得f(x)=12|lg2x|，
画出函数y=12|lg2x|的图象，
因为12|lg217|>12|lg216|=2，
所以f(x)与y=12|lg2x|在(0,+∞)上的图象只有8个零点，
根据函数奇偶性可得g(x)恰有16个零点，
即选项D错误．
故选：AC.
对于选项A，由已知可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)；对于选项B，由已知条件作出f(x)的部分图象可判断；对于选项C，结合函数的周期性可判断；对于选项D，结合函数的性质，作出y=f(x)与y=12|lg2x|在(0,+∞)上的图象，观察两者的交点个数即可．
本题考查了函数的性质，重点考查了数形结合的数学思想方法，属中档题．
13.【答案】2 55
【解析】解：∵角α的终边经过点(π,2π)，
∴sinα=2π π2+4π2=2 55，
则cs(π2−α)=sinα=2 55.
故答案为：2 55.
由题意，利用任意角的三角函数的定义、诱导公式，计算求得结果．
本题主要考查任意角的三角函数的定义、诱导公式，属于基础题．
14.【答案】(6,1)
【解析】解：令6+x2x=1，得x=6，此时y=1，
所以点A的坐标为(6,1).
故答案为：(6,1).
由已知结合对数函数的性质即可求解．
本题主要考查了函数图象的变换及对数函数的性质，属于基础题．
15.【答案】2π3
【解析】解：根据题意，可得f(x)=cs(3x+φ)+a的周期T=2π3，作出函数y=f(x)的草图，如下图所示，
由于f(x)在[0,π]上有32个周期，若f(x)在[0,π]上恰有3个零点x1、x2、x3，则x3−x1=T=2π3.
故答案为：2π3.
求得f(x)的周期T=2π3，可知f(x)在[0,π]上有32个周期，结合图象的特征求出x3−x1的值．
本题主要考查三角函数的周期性、余弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、图象的理解能力，属于基础题．
16.【答案】[−12,0)∪(0,12]
【解析】解：令g(x)=f(x)x3(x≠0)，
因为f(x)是奇函数，所以f(−x)=−f(x)，
所以g(−x)=f(−x)(−x)3=−f(x)−x3=g(x)，
所以g(x)为偶函数，由题知∀x1，x2∈(0,+∞)，
不妨设x1>x2>0，即x1−x2>0，
因为(x1−x2)[f(x1)x12−f(x2)x23]<0，
所以f(x1)x13−f(x2)x23<0，即g(x1)所以在(0,+∞)上，g(x)为减函数，
因为g(x)为偶函数，所以在(−∞,0)上单调递增，
因为不等式f(x)x≥8x2可化为f(x)x3≥8，即g(x)≥8，
又因为f(2x)=2f(x)，f(1)=2，可得g(12)=f(12)(12)2=12f(1)18=8，
所以g(x)≥8可化为g(x)≥g(12)，解得−12≤x<0或0所以解集为[−12,0)∪(0,12].
故答案为：[−12,0)∪(0,12].
结合已知不等式考虑构造函数g(x)=f(x)x3(x≠0)，结合已知先判断g(x)的单调性及奇偶性，结合单调性及奇偶性即可求解不等式．
本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)4lg27+3lg5−(sin2)0+lg8
=4lg449+lg125−1+lg8
=49+lg(125×8)−1
=49+3−1=51；
(2)因为正数a满足a12+a−12=232=2 2，
所以a+a−1+2=8，即a+a−1=6，
所以a2+a−2+2=36，即a2+a−2=34.
【解析】(1)结合对数的运算性质即可求解；
(2)结合指数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由题意可得f(x)=2cs(6×13x−π4)=2cs(2x−π4)，
(2)因为f(x+a)=2cs(2x+2a−π4)是奇函数，
所以2a−π4=π2+kπ(k∈Z)，解得a=3π8+kπ2(k∈Z)；
(3)因为x∈[0,π2]，所以2x−π4∈[−π4,3π4]，
当2x−π4=3π4，即x=π2时，f(x)取得最小值，且最小值为2cs3π4=− 2，
当2x−π4=0，即x=π8时，f(x)取得最大值，且最大值为2cs0=2.
【解析】(1)根据周期变换和平移变换即可得解；
(2)根据三角函数的奇偶性即可得解；
(3)根据余弦函数的性质结合整体思想即可得解．
本题主要考查了三角函数图象的平移变换，三角函数奇偶性及最值的求解，属于中档题．
19.【答案】解：(1)根据题意知，当0≤x≤100时，f(x)=5100x，
当x>100时，f(x)=5%×100+lg6(x−100+1)x−100(x−100)=5+lg6(x−99)；
所以提成f(x)关于销售总额x的函数关系式为f(x)=5100x,0≤x≤1005+lg6(x−99),x>100；
(2)当0≤x≤100时，f(x)=5100x≤5%×100=5，
则该销售人员当月的销售总额必定超过100万元，
令5+lg6(x−99)≥7，得lg6(x−99)≥2，解得x≥135，
所以该销售人员当月的销售总额至少为135万元．
【解析】(1)根据题意，利用分段函数写出函数解析式；
(2)0≤x≤100时，f(x)≤5%×100，列不等式求解即可．
本题考查了分段函数应用问题，是中档题．
20.【答案】解：(1)当a>1时．f(x)=ax在[−1,3]上单调递增，
可得f(x)max=f(3)=a3=8，解得a=2；
当0可得f(x)max=f(−1)=a−1=8，解得a=18.
综上可得，实数a的值为18或2.
(2)方法一：由函数g(x)=30−x在[−1,3]上单调递减，
当a>1时，f(x)=ax在[−1,3]上单调递增，且g(−1)>f(−1)，
所以f(3)≤g(3)，即a3≤27，
又因为a>1，所以1方法二：由题意得，不等式f(x)≤30−x对x∈[−1,3]恒成立，
即ax+x≤30对x∈[−1,3]恒成立，
令g(x)=ax+x，x∈[−1,3]，
因为a>1，所以g(x)为增函数，所以g(x)max=g(3)=a3+3，所以a3+3≤30，
又因为a>1，解得1【解析】(1)根据题意，结合指数函数的性质，分类讨论，即可求解；
(2)方法一：由g(x)=30−x在[−1,3]上单调递减，转化为g(−1)>f(−1)，即可求解；
方法二：根据题意，转化为ax+x≤30对x∈[−1,3]恒成立，令g(x)=ax+x，x∈[−1,3]，结合函数的单调性，得到a3+3≤30，即可求解．
本题主要考查函数恒成立问题，函数最值的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由函数f(x)= 3−2 3sin2x+(sinx+csx)2= 3(1−2sin2x)+1+2sinxcsx
= 3cs2x+sin2x+1=1+2sin(2x+π3).
令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,(k∈Z)，可得π12+kπ≤x≤7π12+kπ(k∈Z).
所以f(x)的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ],k∈Z.
(2)解：由函数f(x)=2sin(2x+π3)+1，
令2x+π3=kπ,k∈Z，解得x=−π6+kπ2,k∈Z，
所以f(x)图象的对称中心的坐标为(−π6+kπ2,1),k∈Z.
(3)解：由f(α2)=32，可得1+2sin(α+π3)=32，则sin(α+π3)=14，
因为α∈(π6,2π3)，所以α+π3∈(π2,π)，所以cs(α+π3)=− 154，
所以csα=cs[(α+π3)−π3]=cs(α+π3)csπ3+sin(α+π3)sinπ3=− 154×12+14× 32= 3− 158.
【解析】(1)根据题意，化简得到f(x)=2sin(2x+π3)+1，结合三角函数的性质，即可求解；
(2)由(1)中函数f(x)的解析式，结合三角函数的性质，即可求解；
(3)由f(α2)=32，求得sin(α+π3)=14，得到cs(α+π3)=− 154，结合两角差的余弦公式，即可求解．
本题主要考查三角函数的相关知识，考查计算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)F(x)=f(x)−g(x)=2lg3(x+3)−lg3(3x+3)，F(x)的定义域为(−1,+∞).
(2)f(x)=lga(x+a)2.
因为a>0且a≠1，x∈(1,+∞)，所以x+a>03x+a>0恒成立．
若a>1，则函数y=lgax是增函数．
因为f(x)>g(x)，所以(x+a)2>3x+a，即x2+(2a−3)x+a2−a>0.
设h(x)=x2+(2a−3)x+a2−a，要使x∈(1,+∞)时，h(x)>0恒成立，
只需−2a−32>1Δ<0或−2a−32≤1h(1)≥0；
解得a≥1.
故a>1符合题意．
若0因为f(x)>g(x)，所以(x+a)2<3x+a，即x2+(2a−3)x+a2−a<0.
结合二次函数的性质可得，当x∈(1,+∞)时，不等式不可能恒成立．
故0综上，a的取值范围为(1,+∞).
【解析】(1)直接利用函数的关系式求出函数的定义域；
(2)利用函数的单调性及函数的恒成立问题以及二次函数的性质判断参数a的取值范围．
本题考查的知识要点：函数的图象和性质，判别式和函数的恒成立问题，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．销售人员个人每月销售额/万元
销售额的提成比例
不超过100万元的部分
5%
超过100万元的部分
lg6(b+1)b