2023-2024学年湖北省荆州市八县市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)

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这是一份2023-2024学年湖北省荆州市八县市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析)，共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|−3A. {x|−3C. {x|−21}
2.与−66∘终边相同的角是( )
A. 34∘B. 104∘C. 214∘D. 294∘
3.“x=3”是“x2−8x+15=0”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.已知幂函数f(x)=xα，且f(2)=8f(1)，则α=( )
A. −2B. 2C. 3D. 4
5.若函数f( x)的定义域是[4,25]，则函数f(x−2)的定义域是( )
A. [1,6]B. [2,5]C. [2,6]D. [4,7]
6.函数f(x)=x+lnx−2x2的零点所在的区间是( )
A. (1,2)B. (2,3)C. (e,3)D. (4,e2)
7.已知国内某人工智能机器人制造厂在2023年机器人产量为400万台，根据市场调研和发展前景得知各行各业对人工智能机器人的需求日益增加，为满足市场需求，该工厂决定以后每一年的生产量都比上一年提高20%，那么该工厂到哪一年人工智能机器人的产量才能达到1200万台(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)( )
A. 2028年B. 2029年C. 2030年D. 2031年
8.已知函数f(x)=lg2(a⋅22x+2x)在区间(1,2)上单调递增，则a的取值范围为( )
A. [0,1)B. [−2,+∞)C. [1,+∞)D. [−18,+∞)
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.给定集合P，Q，定义P−Q={x|x∈P,且x∉Q}，若M={x|−2≤x≤2}，N={x|x≥1}，则( )
A. M∪N={x|x≥−2}B. M−N={x|−2≤x<1}
C. N−M={x|x≥2}D. N−(N−M)={x|1≤x≤2}
10.已知a=lg315，b=lg515，则( )
A. a+b>4B. ab>4C. a2+b2<8D. 1a+1b=1
11.已知函数f(x)=sin2x+1，则( )
A. 函数f(x)的最小正周期为π
B. 函数f(x)的最小值为−1
C. x=π4是函数y=f(x)的图象的一条对称轴
D. y=f(x)不是奇函数
12.已知函数f(x)=12x−42x+xx−1，( )
A. f(x)不关于原点对称B. f(1+x)+f(1−x)=4
C. f(x)在(1,+∞)上单调递减D. f(2x+3)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数f(x)=ax−2023+1(a>0且a≠1)的图象恒过点______.
14.若命题∃x∈R，−x2−2mx+2m−3≥0”为真命题，则m的取值范围为______.
15.已知cs(π3−θ)=45，则sin(2π3+θ)=______.
16.已知函数f(x)=2sin(π4+x)sin(9π4−x)+cs(2x+4π3)在区间[−a,2a](a>0)上单调递增，则实数a的最大值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)化简求值：(827)23+(1500)−12−10 5−2+1；
(2)已知x=lgak，y=lgbk，z=lgck，k≠1，且xy+yz+xz=0，求abc.
18.(本小题12分)
已知f(α)=sin(3π−α)sin(π2+α)cs(2π−α)cs(α+π)cs(5π2+α).
(1)化简f(α)；
(2)若α是第三象限角，且f(π2−α)=−15，求tanα.
19.(本小题12分)
荆州自古以来就是一个以鱼产业闻名的地方，而荆州鱼糕更是该地区的八大名肴之一.相传荆州鱼糕起源于舜帝时代，由舜帝妃子女英创制，历经春秋战国等时期的演变，荆州鱼糕逐渐成为楚宫廷的头道菜肴.据说，乾隆皇帝曾品尝过荆州花猜皮糕后咏叹道：“食鱼不见鱼，可人百合糕.”可见荆州鱼糕的美味非常引人注目.当地某鱼糕生产企业由市场调研分析可知，当前“鱼糕”的产量供不应求，某企业每售出x千件“鱼糕”的销售额为W(x)千元W(x)=2x2+10x,0(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求f(x)的最大值.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=−2x+12x+1+2.
(1)求f(x)的值域；
(2)判断并证明f(x)的单调性.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=tan(2x+φ)(0<φ<π2)的图象关于点(−π8,0)对称.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)求不等式−1≤f(x)≤ 3的解集.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ae2x−2eˣ+3>0恒成立.
(1)求a的取值范围；
(2)设函数g(x)=lnf(x)，若∃m，n∈R，使得当.x∈[m,n]时，g(x)单调递增，且g(x)∈[m,n]，求a的取值范围.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合M={x|−3则M∩N={x|−2≤x<1}.
故选：B.
根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】D
【解析】解：与−66∘终边相同的角可以写成−66∘+360∘⋅k的形式，其中k∈Z，
令k=1，−66∘与294∘的终边相同，其它选项均不合题意．
故选：D.
根据已知条件，结合终边相同的角的定义，即可求解．
本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：∵x2−8x+15=(x−3)(x−5)=0，∴x=3或x=5，
则“x=3”是“x2−8x+15=0”的充分不必要条件．
故选：A.
根据充分不必要条件的定义求解．
本题考查充分不必要条件的应用，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：幂函数f(x)=xα，且f(2)=8f(1)，
则2α=8×1α，解得α=3.
故选：C.
将x的值依次代入幂函数，即可求解．
本题主要考查幂函数的应用，属于基础题．
5.【答案】D
【解析】解：∵函数f( x)的定义域是[4,25]，、
∴4≤x≤25，2≤ x≤5，
∴f(x)的定义域是[2,5]，
故对于函数f(x−2)，有2≤x−2≤5，解得4≤x≤7，
故函数f(x−2)的定义域是[4,7].
故选：D.
结合抽象函数定义域的求法，即可求解．
本题主要考查函数定义域的求解，属于基础题．
6.【答案】A
【解析】解：因为函数y=x，y=lnx，y=−2x2都在(0,+∞)上单调递增，
所以函数f(x)=x+lnx−2x2在(0,+∞)上为增函数．
因为f(1)=1−2=−1<0，f(2)=2+ln2−12=ln2+32>0，
函数f(x)=x+lnx−2x2的零点所在的区间是(1,2).
故选：A.
由函数的单调性和零点存在定理计算即可．
本题考查零点存在定理的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：设该工厂经过x年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆，
由题意可得400×(1+20%)x=1200，
∴1.2x=3，
∴x=lg1.23=lg3lg1.2=lg3lg3+lg4−1=lg3lg3+2lg2−1≈，
∴经过6年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆，即到2029年，可达到．
故选：B.
设该工厂经过x年，人工智能机器人的产量才能达到1200万辆，由题意可得400×(1+20%)x=1200，再结合对数的运算性质求解x的值即可．
本题主要考了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于中档题．
8.【答案】D
【解析】解：令u=a⋅22x+2x，∵函数f(x)=lg2(a⋅22x+2x)在区间(1,2)上单调递增，
而y=lg2u在区间(0,+∞)单调递增，
∴函数u=a⋅22x+2x在区间(1,2)上单调递增，
且恒有a⋅22x+2x>0.
令t=2x∈(2,4)，显然函数t=2x在区间(1,2)上单调递增，
因此函数v=at2+t在区间(2,4)上单调递增，且∀t∈(2,4)，at2+t>0，
当a>0时，v=at2+t在区间(2,4)上单调递增；
当a=0时，v=t在区间(2,4)上单调递增，且at2+t>0恒成立，因此a≥0.
当a<0时，由v=at2+t在区间(2,4)上单调递增，得−12a≥4，解得−18≤a<0.
由∀t∈(2,4)，at2+t>0，得4a+2≥0，解得a≥−12，
因此−18≤a<0.
综上所述，a的取值范围是[−18,+∞).
故选：D.
根据复合函数的单调性以及二次函数的单调性判断即可．
本题考查复合函数的单调性问题，属于中档题．
9.【答案】ABD
【解析】解：∵M={x|−2≤x≤2}，N={x|x≥1}，
故M∪N={x|x≥−2}，故A正确；
由新定义可知，M−N={x|−2≤x<1}，故B正确；
N−M={x|x>2}，故C错误；
N−(N−M)={x|1≤x≤2}，故D正确，
故选：ABD.
由已知结合集合的定义及新定义检验各选项即可判断．
本题以新定义为载体，主要考查了集合的运算，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：a=lg315>0，b=lg515>0，
则1a+1b=lg153+lg155=lg1515=1，D正确；
a+b=(a+b)(1a+1b)=2+ba+ab>2+2 ba⋅ab=4，A正确；
由1a+1b=1可得ab=a+b>4，B正确；
a2+b22ab>8，C错误．
故选：ABD.
由已知结合对数的换底公式可得则1a+1b=1，然后结合基本不等式及相关结论检验各选项即可判断．
本题主要考查了对数的换底公式，还考查了基本不等式的应用，属于中档题．
11.【答案】ACD
【解析】解：易知T=2π2=π，A正确；
∵−1≤sin2x≤1，
∴0≤sin2x+1≤2，
∴f(x)min=0.B错误；
∵f(π4)=sinπ2+1=2，为f(x)的最大值，
∴x=π4是函数y=f(x)的图象的一条对称轴，C正确；
又f(−x)=sin2(−x)+1=−sin2x+1≠−f(x)，
∴y=f(x)不是奇函数，D正确．
故选：ACD.
利用正弦函数的周期性、奇偶性、对称性对四个选项逐一分析可得答案．
本题考查正弦函数的周期性、奇偶性、对称性及最值的应用，属于中档题．
12.【答案】AC
【解析】解：由4x−4≠0x−1≠0，得x≠1，即f(x)定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，故A正确；
因为f(1+x)=21+x41+x−4+1+xx=2x2×4x−2+1+xx，
f(1−x)=21−x41−x−4−1−xx=2×4x2x(4−4×4x)−1−xx=2x2−2×4x−1−xx，
所以f(1+x)+f(1−x)=2，B错误；
当x>1时，f(x)=12x−42x+xx−1，
函数t=2x在区间(1,+∞)上单调递增，函数y=t−4t在区间(2,+∞)上单调递增，
则y=2x−42x在区间(1,+∞)上单调递增，y=12x−42x在区间(1,+∞)上单调递减，
y=1+1x−1在区间(1,+∞)上单调递减，y=xx−1在区间(1,+∞)上单调递减，
所以f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，故C正确．
对于D，由B知f(x)图象关于(1,1)对称，
所以f(x)在区间(−∞,1)上单调递减，所以f(x)在区间(−∞,1)和(1,+∞)上单调递减．
又x>1时，f(x)−1=2x(x−1)+(4x−4)(2x−2)(2x+2)(x−1)>0，
所以f(x)>1，
x<1时，f(x)<1.
①当2x+3>1x2>1，即x>1时，由f(2x+3)x2，解得−1②当2x+3<1x2<1时，不等式组无解，不合题意；
③当2x+3>1x2<1，即−11，f(x2)<1，不合题意；
④当2x+3<1x2>1，即x<−1时，f(2x+3)<1，f(x2)>1，符合题意．
综上所述，f(2x+3)故选：AC.
先求出函数定义域检验选项A；代入求出f(1+x)+f(1−x)检验选项B；结合复合函数单调性检验选项C；结合函数单调性解不等式检验选项D.
本题主要考查了函数对称性，单调性的判断，还考查了函数单调性在不等式求解中的应用，属于难题．
13.【答案】(2023,2)
【解析】解：对于函数f(x)=ax−2023+1(a>0且a≠1)，令x−2023，求得x=2023，y=2，
可得函数f(x)=ax−2023+1(a>0且a≠1)的图象恒过点(2023,2).
故答案为：(2023,2).
由题意，令幂指数等于零，求得x、y的值，可得函数的图象恒过点的坐标．
本题主要考查指数函数的图象经过定点问题，属于基础题．
14.【答案】{m|m≤−3或m≥1}
【解析】解：由题意，不等式−x2−2mx+2m−3≥0有解，即不等式x2+2mx−2m+3≤0有解，
设f(x)=x2+2mx−2m+3，则函数图象开口向上，要使不等式f(x)≤0有解，
则函数f(x)图象与x轴有交点，则Δ=4m2−4(−2m+3)≥0，
化简得m2+2m−3≥0，解得m≤−3或m≥1.
故答案为：{m|m≤−3或m≥1}.
由题意，不等式−x2−2mx+2m−3≥0有解，即不等式x2+2mx−2m+3≤0有解，然后结合二次函数的性质可求．
本题主要考查了含有量词的命题的否定，属于基础题．
15.【答案】±35
【解析】解：因为cs(π3−θ)=45，
所以sin(π3−θ)=± 1−cs2(π3−θ)=±35，
所以sin(2π3+θ)=sin[π−(π3−θ)]=sin(π3−θ)=±35.
故答案为：±35.
由同角三角函数的基本关系和诱导公式计算即可．
本题考查同角三角函数的基本关系和诱导公式，属于基础题．
16.【答案】π12
【解析】解：f(x)=2sin(π4+x)sin(9π4−x)+cs(2x+4π3)
=2sin(π4+x)sin(π4−x)−cs(2x+π3)
=2sin(π4+x)cs(π4+x)−cs(2x+π3)
=sin(π2+2x)−cs(2x+π3)
=cs2x−12cs2x+ 32sin2x
=cs(2x−π3)，
令2kπ−π≤2x−π3≤2kπ(k∈Z)，
解得kπ−π3≤x≤kπ+π6(k∈Z)，
又函数f(x)在区间[−a,2a](a>0)上单调递增，
故[−a,2a]⊆[−π3,π6]，
即−a≥−π32a≤π6a>0，解得0因此实数a的最大值为π12.
故答案为：π12.
利用两角和与差的三角函数化简得f(x)=cs(2x−π3)，再利用余弦函数的单调性列式求解，即可求得实数a的最大值．
本题考查两角和与差的三角函数，考查余弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)(827)23+(1500)−12−10 5−2+1=49+50012−10( 5+2)+1=49+10 5−10 5−20+1=−1679.
(2)∵x=lgak=lgklga，y=lgbk=lgklgb，z=lgxk=lgklgc，且xy+xz+yz=0，
即1x+1y+1z=0，
∴lga+lgb+lgclgk=lg(abc)lgk=0，
∴abc=1.
【解析】(1)结合指数幂的运算性质即可求解；
(2)结合对数的运算性质即可求解．
本题主要考查了指数幂的运算性质及指数与对数的转化，还考查了对数的运算性质，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(α)=sin(3π−α)sin(π2+α)cs(2π−α)cs(α+π)cs(5π2+α)=sinαcsαcsα−csα(−sinα)=csα；
(2)f(π2−α)=sinα=−15，
因为α是第三象限角，所以csα=− 1−sin2α=−2 65，
所以tanα=sinαcsα= 612.
【解析】(1)由诱导公式化简即可；
(2)由同角三角函数的基本关系计算即可．
本题考查诱导公式和同角三角函数的基本关系，属于基础题．
19.【答案】解：(1)依题意，得f(x)=W(x)−(4x+4)，又W(x)=2x2+10x,0则f(x)=2x2+10x−(4x+4),0即f(x)=2x2+6x−4,0(2)当0则函数f(x)在(0,5]为增函数，
所以当x=5时，函数f(x)取最大值2×52+6×5−4=76，
当5当且仅当4(x−1)=400x−1，即x=11时取等号，
因为112>76，
所以当x=11千件时，f(x)取得最大值112千元．
【解析】(1)利用利润等于收入减去成本即可得解；
(2)分段讨论，利用二次函数与基本不等式求得f(x)的最大值，从而得解．
本题考查了利用二次函数模型解决实际问题，分段函数模型的应用，分式型函数模型的应用，基本不等式求和的最小值，属于中档题．
20.【答案】解：(1)根据题意，y=−2x+12x+1+2=−12(2x−12x+1)，
变形可得2x=12−yy+12，则有12−yy+12>0，
解可得：−12(2)根据题意，f(x)在R上为减函数，
证明如下：设x1则f(x1)−f(x2)=−12(2x1−12x1+1)+12(2x2−12x2+1)=12x1+1−12x2+1=2x2−2x1(2x1+1)(2x2+1)，
由于x1则2x2−2x1>0，2x2+1>0，2x1+1>0，
故f(x1)−f(x2)>0；
故f(x)在R上为减函数．
【解析】(1)根据题意，函数的解析式变形可得2x=12−yy+12，由此可得12−yy+12>0，解可得答案；
(2)根据题意，利用作差法分析可得答案．
本题考查函数单调性的证明，涉及函数的值域计算，属于基础题．
21.【答案】解：(1)由题意知，f(x)=tan(2x+φ)的图象关于点(−π8,0)对称，
∴2×(−π8)+φ=kπ2,k∈Z，即φ=kπ2+π4，k∈Z.
∵0<φ<π2，∴φ=π4，故f(x)=tan(2x+π4)，
令−π2+kπ<2x+π4<π2+kπ,k∈Z，
得−3π4+kπ<2x<π4+kπ,k∈Z，
即−3π8+kπ2∴函数f(x)的单调递增区间为(−3π8+kπ2,π8+kπ2)，k∈Z；
(2)由(1)知，f(x)=tan(2x+π4)，由−1≤tan(2x+π4)≤ 3，
得−π4+kπ≤2x+π4≤π3+kπ,k∈Z，
即−π4+kπ2≤x≤π24+kπ2，k∈Z，
∴不等式−1≤f(x)≤ 3的解集为{x|−π4+kπ2≤x≤π24+kπ2,k∈Z}.
【解析】(1)根据f(x)关于点(−π8,0)对称，可确定其解析式和单调增区间；(2)结合正切函数的性质可解不等式．
本题考查正切函数的性质，属于基础题．
22.【答案】解：(1)因为ae2x−2ex+3>0，
所以a>2ex−3e2x=−3e2x+2ex=−3(1ex−13)2+13恒成立，
因为1ex>0，
所以−3e2x+2ex=−3(1ex−13)2+13≤13，当1ex=13时，等号成立，
所以a>13，
所以a的取值范围为(13,+∞).
(2)因为函数y=lnx为增函数，
要使得g(x)在区间[m,n]上单调递增，则函数u=ae2x−2ex+3在区间[m,n]上单调递增，
又函数t=ex为增函数，
所以y=at2−2t+3在[em,en]上为增函数，
由(1)知a>13，
所以a>0且1a≤em，
又g(x)在区间[m,n]上单调递增，且g(x)∈[m,n].
所以g(m)=ln(ae2m−2em+3)=mg(n)=ln(ae2n−2en+3)=n，即ae2m−2em+3=emae2n−2en+3=en，
所以ax2−3x+3=0在[1a,+∞)上有两个不等实数根，
所以Δ=(−3)2−12a>032a>1aa⋅(1a)2−3⋅1a+3≥0，
解得23≤a<34，
综上所述，a的取值范围为[23,34).
【解析】(1)根据题意可得a>2ex−3e2x=−3e2x+2ex=−3(1ex−13)2+13恒成立，进而可得答案．
(2)若函数y=lnx为增函数，则g(x)在区间[m,n]上单调递增，即函数u=ae2x−2ex+3在区间[m,n]上单调递增，推出y=at2−2t+3在[em,en]上为增函数，又g(x)在区间[m,n]上单调递增，且g(x)∈[m,n]，则ae2m−2em+3=emae2n−2en+3=en，推出ax2−3x+3=0在[1a,+∞)上有两个不等实数根，即Δ=(−3)2−12a>032a>1aa⋅(1a)2−3⋅1a+3≥0，
即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．