2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高一（上）期末数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年湖南省娄底市涟源市高一（上）期末数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知全集U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，则∁UA=( )
A. {1,2,3,4,5}B. {2,4,5}C. {1,3}D. ⌀
2.若角θ满足tanθ>0，sinθ<0，则角θ所在的象限是
．( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.不等式x(x−2)<0成立的一个充分不必要条件是( )
A. x∈(0,2]B. x∈(0,2)C. x∈(0,1)D. x∈(−∞,0]
4.已知cs(α+π3)=−34，则sin(α−π6)=( )
A. 35B. −35C. 34D. −34
5.已知x>0，则x2−x+4x的最小值为( )
A. 5B. 3C. −5D. −5或3
6.已知二次函数y=−x2+bx+c的零点为−2和1，则关于x的不等式x2+bx−c>0的解集为( )
A. (−∞,−1)∪(2,+∞)B. (−1,2)
C. (−2,1)D. (−∞,−2)∪(1,+∞)
7.某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
根据这些数据，要得到函数y=Asinωx的图象，需要将函数f(x)的图象( )
A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π6个单位D. 向右平移π6个单位
8.果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t(天)满足的函数关系式为h=m⋅at.若采摘后5天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为20%.采摘下来的这种水果失去30%新鲜度大概是(参考数据：lg2≈0.3，lg3≈0.48)( )
A. 第11天B. 第13天C. 第15天D. 第17天
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若3sinα−csαsinα+3csα=1，则正确的结论为( )
A. tanα=2B. tanα=−2C. sin2α=45D. sinα=2 55
10.在同一直角坐标系中，函数y=x2+ax+a−3与y=ax的图象可能是
( )
A. B.
C. D.
11.已知f(x)=sinx−csx，则下列结论中错误的是( )
A. f(x)的最大值为2B. f(x)在区间[0,3π4]上单调递增
C. f(x)的图象关于点(3π4,0)对称D. f(x)的最小正周期为π
12.若m>0，n>0且函数y=lg2(x−m−n)过点(4,1)，则下列说法中正确的是( )
A. m+ n≥2B. 2m−n>14C. mn≤1D. m2+n2≥2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若一扇形的圆心角为120°，半径为12cm，则该扇形的面积为______．
14.若tanα=5tanπ7，则cs(α−5π14)sin(α−π7)=______．
15.设函数f(x)的定义域为R，f(x)为偶函数，f(x+1)为奇函数，当x∈[1,2]时，f(x)=a⋅2x+b，若f(0)+f(1)=−4，则f(72)=______．
16.设f(x)和g(x)是定义在同一个区间[a,b]上的两个函数，若函数y=f(x)−g(x)在x∈[a,b]上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在[a,b]上是“集团关联函数”，区间[a,b]称为“集团关联区间”.若f(x)=x2−2x+m与g(x)=−x2−x−m在[0,3]上是“集团关联函数”，则m的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,9)．
(1)求实数a的值；
(2)若f(2x−1)<3，求实数x的取值范围．
18.(本小题12分)
设集合A={x|1≤x≤5}，集合B={x|2−a≤x≤1+2a}，其中a∈R．
(1)若B=⌀，求a的取值范围；
(2)若“x∈A”是“x∈B”的必要条件，求a的取值范围．
19.(本小题12分)
设函数f(x)= 32cs2ωx+sinωxcsωx(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)当x∈[−π2,π2]时，求方程f(x)=12的解集．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=x2+2bx−c过点(0,2)，且满足f(−1)=f(2)．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解关于x的不等式：f(x)≤(2a−1)x(a∈R)．
21.(本小题12分)
2020年，全世界范围内都受到“新冠”疫情的影响.了解某些细菌、病毒的生存条件、繁殖习性等对于预防疾病的传播、保护环境有极其要的意义.某科研团队在培养基中放入一定量某种细菌进行研究，发现其蔓延速度越来越快，经过2分钟菌落的覆盖面积为18mm2，经过3分钟覆盖面积为27mm2，现菌落覆盖面积y(单位：mm2)与经过时间x(单位：min)的关系有两个函数模型y=kax(k>0,a>1)与y=px12+q(p>0)可供选择.(参考数据：36=729，37=2187，38=6561，39=19683， 2≈1.414， 3≈1.732.)
(1)试判断哪个函数模型更合适，说明理由，并求出该模型的解析式；
(2)在理想状态下，至少经过多久培养基中菌落面积能超过200mm2？(计算结果保留到整数)
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg4(x+1)+lg4(3−x)．
(1)求f(x)的单调区间及最大值；
(2)设函数g(x)=lg4[(m+2)x+4]，若不等式f(x)≤g(x)在x∈(0,3)上恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，
∴∁UA={2,4,5}．
故选：B．
进行补集的运算即可．
本题考查了集合的列举法的定义，补集及其运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解；∵角θ满足tanθ>0且sinθ<0，
∴θ位于第三象限．
故选：C．
利用象限角的各三角函数的符号，将tanθ>0且sinθ<0联立即可求得答案．
本题考查象限角中各三角函数的符号，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：不等式x(x−2)<0的解集为(0,2)，
又(0,1)⫋(0,2)，
所以(0,1)是不等式x(x−2)<0成立的一个充分不必要条件．
故选：C．
解一元二次不等式，可得不等式的解集为(0,2)，再由充分不必要条件的概念即可得结论．
本题主要考查充分必要条件的概念，考查不等式的解法，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：由于cs(α+π3)=−34，
所以sin(α−π6)=−cs(α+π3)=34．
故选：C．
直接利用三角函数的关系式的变换和诱导公式的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5.【答案】B
【解析】【分析】
由x>0可得x2−x+4x=x+4x−1，从而即可利用基本不等式进行求解．
本题考查基本不等式的运用，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
【解答】
解：由x>0，得x2−x+4x=x+4x−1≥2 x⋅4x−1=3，
当且仅当x=4x，即x=2时等号成立，
所以x2−x+4x的最小值为3．
故选：B．
6.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了二次函数与对应方程和不等式的应用问题，是基础题．
根据二次函数的零点求出b、c的值，代入不等式x2+bx−c>0中求解集即可．
【解答】
解：二次函数y=−x2+bx+c的零点为−2和1，
所以−2和1是方程−x2+bx+c=0的实数根，
由根与系数的关系知，−2+1=b−2×1=−c，
解得b=−1，c=2，
所以不等式x2+bx−c>0可化为x2−x−2>0，
解得x<−1或x>2，
所以不等式的解集为(−∞,−1)∪(2,+∞)．
故选：A．
7.【答案】A
【解析】解：由题意得，A=5，T2=5π6−π3=π2，
所以T=π，ω=2，f(x)=5sin(2x+φ)，
又根据五点作图法可知，2×π3+φ=π2，
所以φ=−π6，f(x)=5sin(2x−π6)，
要得到函数y=5sin2x的图象，只要把f(x)的图象向左平移π12各单位，
故选：A．
由最值求解A，由周期求ω，由最值点求φ，进而可求函数解析式，然后结合函数图象的平移可求．
本题主要考查了利用五点作图法求解函数解析式，还考查了函数图象的平移，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，m⋅a5=10%m⋅a10=20%，解得a=215,m=5%，
所以h=5%⋅2t5，
当h=30%时，则h=5%⋅2t5=30%，
所以t5lg2=lg6，解得t=5(lg2+lg3)lg2≈5×(0.3+0.48)0.3=13，
所以采摘下来的这种水果失去30%新鲜度大概是第13天．
故选：B．
由题意，列出关于a和m的方程组，求出m和a，即可得到h的关系式，令h=30%，由对数的运算性质求解即可．
本题考查了函数模型的选择与应用，解题的关键是建立符合条件的函数模型，分析清楚问题的逻辑关系是解题的关键，此类问题求解的一般步骤是：建立函数模型，进行函数计算，得出结果，再将结果反馈到实际问题中指导解决问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
9.【答案】AC
【解析】解：因为3sinα−csαsinα+3csα=3tanα−1tanα+3=1，所以tanα=2，
所以cs2α=11+tan2α=11+22=15，
所以sin2α=1−cs2α=1−15=45，所以sinα=±2 55．
则正确的结论为AC．
故选：AC．
由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
10.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查函数的解析式与函数的图象的判断以及对应关系，考查分类讨论思想的应用．
分a>1和0【解答】
解：若a>1，则函数y=ax是R上的增函数，
函数y=x2+ax+a−3的图象的对称轴方程为x=−a2<0，
故A符合，B不符合；
若0函数y=x2+ax+a−3的图象与y轴的负半轴相交，C符合，D不符合．
故选：AC．
11.【答案】ACD
【解析】解：函数f(x)=sinx−csx= 2sin(x−π4)，
对于A：函数的最大值为 2，故A错误；
对于B：当x∈[0,3π4]，所以x−π4∈[−π4,π2]，
故函数在该区间上单调递增，故B正确；
对于C：当x=3π4时，f(3π4)= 2，故C错误；
对于D：函数的最小正周期为2π，故D错误．
故选：ACD．
首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论．
本题考查三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，属于基础题．
12.【答案】BCD
【解析】解：把(4,1)代入解析式，得lg2(4−m−n)=1，
解得m+n=2，结合m，n>0，−2所以2m−n>2−2=14，故B正确；
( m+ n)2=m+n+2 mn≤2(m+n)=4，故 m+ n≤2，当且仅当m=n时取等号，故A错误；
mn≤(m+n2)2=1，当且仅当m=n时取等号，故C正确；
而m2+n2≥2mn⇒2(m2+n2)≥(m+n)2=4，即m2+n2≥2，(当且仅当m=n时取等号)，故D正确．
故选：BCD．
将点(4,1)代入解析式，求出m+n=2，然后利用指数函数的单调性、基本不等式逐项判断即可．
本题考查对数函数的性质以及基本不等式的应用，属于中档题．
13.【答案】48πcm2
【解析】解：由题意扇形的圆心角为2π3，半径为12cm，
所以扇形的弧长是l=2π3×12=8π，
则扇形的面积S=12lr=12×8π×12=48πcm2．
故答案为：48πcm2．
先求弧长，再求面积即可．
本题考查扇形弧长、面积公式，是基础题．
14.【答案】32
【解析】解：cs(α−5π14)sin(α−π7)=cs(α+π7−π2)sin(α−π7)=sin(α+π7)sin(α−π7)=sinαcsπ7+csαsinπ7sinαcsπ7−csαsinπ7=tanα+tanπ7tanα−tanπ7=5tanπ7+tanπ75tanπ7−tanπ7=64=32．
故答案为：32．
根据−5π14=π7−π2，利用诱导公式进行化简，再由两角和差的正弦公式展开，最后代入求解，即可．
本题考查三角函数的求值问题，熟练掌握两角和差的正弦公式，同角三角函数的商数关系和诱导公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
15.【答案】4 2−8
【解析】解：∵f(x+1)是奇函数，f(x)是偶函数，
∴f(−x+1)=−f(x+1)=f(x−1)，
则f(x+2)=−f(x)，则f(x+4)=f(x)，
即f(x)是周期为4的周期函数，
则x=0时，f(1)=−f(1)，则f(1)=0，
∵f(0)+f(1)=−4，∴f(0)=−4，
则f(1)=2a+b=0f(0)=a+b=−4，得a=4，b=−8，
f(72)=f(72−4)=f(−12)=f(12)=a⋅212+b=4 2−8，
故答案为：4 2−8．
根据函数奇偶性的定义建立方程，求出f(x)是周期为4的周期函数，根据条件建立方程求出a，b的值即可．
本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质和对应，建立方程求出a，b的值是解决本题的关键，是中档题．
16.【答案】0,116
【解析】【分析】
本题考查函数新定义问题，属于中档题．
根据“集团关联函数”的定义可知y=f(x)−g(x)=2x2−x+2m在0,3上有两个不同的零点，即2x2−x+2m=0在0,3上有两个不同的根，由此列出不等式，即可求得答案．
【解答】
解：因为fx=x2−2x+m与gx=−x2−x−m在0,3上是“集团关联函数”，，
所以y=f(x)−g(x)=x2−2x+m−(−x2−x−m)=2x2−x+2m在0,3上有两个不同的零点，
即2x2−x+2m=0在0,3上有两个不同的根，
设h(x)=2x2−x+2m，其对称轴为x=14∈[0,3]，
故需满足Δ=1−16m>0h(0)=2m≥0h(3)=15+2m≥0，解得0≤m<116，
故m的取值范围是[0,116),
故答案为：[0,116)
17.【答案】解：(1)∵函数f(x)=ax(a>0且a≠1)的图象经过点(2,9)，∴a2=9，∴a=3．
(2)由(1)可得函数f(x)=3x，f(2x−1)=32x−1，不等式f(2x−1)<3，
即32x−1<3，∴2x−1<1，∴x<1，
∴实数x的取值范围为(−∞,1)．
【解析】(1)由题意，利用指数函数的单调性和特殊点，求得a的值．
(2)根据函数f(x)的解析式，解指数不等式，求得实数x的取值范围．
本题主要考查指数函数的单调性和特殊点，解指数不等式，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由B={x|2−a≤x≤1+2a}=⌀，得2−a>1+2a，
解得a<13，故a的取值范围(−∞,13)．
(2)由于x∈A是x∈B的必要条件，故B为A的子集，
故B≠⌀，a≥131+2a≤52−a≥1，解得13≤a≤1．
综上可得a的取值范围为a≤1，即a∈[13,1]．
【解析】(1)由B={x|2−a≤x≤1+2a}=⌀，得2−a>1+2a，可得结果．
(2)x∈A是x∈B的必要条件，可得B⊆A，然后分B=⌀和B≠⌀两种情况求解即可
本题主要考查集合的运算，属于中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)= 32cs2ωx+sinωxcsωx
= 32cs2ωx+12sin2ωx=sin(2ωx+π3)，
因为函数f(x)的最小正周期为π，所以ω=1，
所以f(x)=sin(2x+π3)，
令 −π2+2kπ≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z)，
整理得−5π12+kπ≤x≤kπ+π12(k∈Z)，
故函数的单调递增区间为[−5π12+kπ,kπ+π12](k∈Z)．
(2)因为f(x)=sin(2x+π3)=12，
所以2x+π3=2kπ+π6或2x+π3=2kπ+5π6(k∈Z)；
整理得x=kπ−π12或x=kπ+π4(k∈Z)；
因为x∈[−π2,π2]，所以x=−π12或π4．
即x∈{−π12,π4}．
【解析】(1)化简f(x)，然后根据正弦函数的性质，求出f(x)的周期和单调增区间即可；
(2)由f(x)=12求出x，然后根据x∈[−π2,π2]得到方程的解集．
本题考查的知识要点：三角恒等变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为函数f(x)=x2+2bx−c过点(0,2)，
所以f(0)=2，所以c=−2，即f(x)=x2+2bx+2，
因为f(−1)=f(2)，所以f (x)的对称轴为x=12，
所以−b=12，解得b=−12，故f(x)=x2−x+2．
(2)由(1)，f(x)≤(2a−1)x(a∈R)⇔x2−2ax+2≤0，
方程x2−2ax+2=0的判别式为Δ=4a2−8，
①当Δ=4a2−8<0，即− 2所以不等式x2−2ax+2≤0的解集为⌀；
②当Δ=4a2−8=0，即a=± 2时，方程x2−2ax+2=0有两个相等的实数根，
当a= 2时，不等式x2−2ax+2≤0的解集为{ 2}；
当a=− 2时，不等式x2−2ax+2≤0的解集为{− 2}；
③当Δ=4a2−8>0，即a> 2或a<− 2时，方程x2−2ax+2=0有两个根为：x1=a− a2−2，x2=a+ a2−2，不等式x2−2ax+2<0的解集为{x|a− a2−2≤x≤a+ a2−2}.
综上，− 2当a= 2时，不等式的解集为{ 2}；
当a=− 2时，不等式的解集为{− 2}；
当a> 2或a<− 2时，不等式的解集为{x|a− a2−2≤x≤a+ a2−2}.
【解析】(1)根据题意，由待定系数法和二次函数的性质，即可求出结果；
(2)根据题意，将不等式化为x2−2ax+2≤0，计算出Δ=4a2−8，根据Δ的取值情况，对a进行分类讨论，即可求出结果．
本题主要考查函数解析式的求法，含参不等式的解法，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)y=kax(k>0,a>1)的增长速度越来越快，y=px12+q(p>0)的增长速度越来越慢，
根据题意应选y=kax(k>0,a>l)，
于是ka2=18ka3=27，解得：a=32k=8，
∴y=8(32)x(x∈N)，
(2)根据y=8(32)x(x∈N)函数模型，可得不等式8(32)x>200，解得x≥8，
故至少经过8min培养基中菌落面积能超过200mm2．
【解析】(1)根据函数的单调性可知选哪个模型更合适；
(2)解指数函数不等式可求得答案
本题考查指数函数模型及其应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：(1)根据具体函数定义域的求解方法，根据题意可得解得−1所以函数f(x)的定义域为(−1,3)，
f(x)=lg4(x+1)+lg4(3−x)=lg4[−(x−1)2+4]，
令t(x)=−(x−1)2+4，
则函数t(x)在(−1,1)单调递增，在(1,3)上单调递减，
又函数y=lg4t在定义域上单调递增，
所以函数f(x)的单调增区间为(−1,1)，单调减区间为 (1,3)；
由所得单调性可知，x=1时，f(x)取得最大值f(x)max=f(1)=1，
故f(x)的最大值为1，此时x的值为1．
(2)根据题意得，f(x)−g(x)≤0在x∈(0,3)上恒成立，
化简得，(x+1)(3−x)(m+2)x+4≤1在x∈(0,3)上恒成立，
即x2+mx+1≤0在 x∈(0,3)上恒成立，
即m≥−(x+1x)在x∈(0,3)上恒成立，
令h(x)=−(x+1x)(0则 h(x)max=−2，
∴m≥−2，
即m的取值范围为[−2,+∞)．
【解析】(1)根据对数函数的性质求解定义域，根据复合函数的单调性规则求解函数的单调区间；根据求得的函数的单调性计算函数的最值可得出结果；
(2)构造新函数，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题，再求解参数的取值范围．
本题考查了求函数的单调区间以及最值，不等式的恒成立问题，属于中档题．ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
5π6
Asin(ωx+φ)
0
5
−5
0