人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理综合训练题

这是一份人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.1.2 空间向量基本定理综合训练题，共7页。

[A级 基础巩固]
1．下列命题中正确的是( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面
C．若两个非零空间向量eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))满足eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，则eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(CD,\s\up7(―→))
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
解析：选C A中，若b＝0，则a与c不一定共线；B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面；C中，∵eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝0，∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \(CD,\s\up7(―→))，∴eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))共线，故eq \(AB,\s\up7(―→))∥eq \(CD,\s\up7(―→))正确；D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb.
2．满足下列条件，能说明空间不重合的A，B，C三点共线的是( )
A．eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→)) B．eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))
C．eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→)) D．|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))|
解析：选C 对于空间中的任意向量，都有eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))，选项A错误；若eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))，则eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，而eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))，据此可知eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))，即B，C两点重合，选项B错误；eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))，则A，B，C三点共线，选项C正确；|eq \(AB,\s\up7(―→))|＝|eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))|，则线段AB的长度与线段BC的长度相等，不一定有A，B，C三点共线，选项D错误．
3．正方体ABCD­A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{eq \(AO1,\s\up7(―→))， eq \(AO2,\s\up7(―→))，eq \(AO3,\s\up7(―→))}为基底，eq \(AC,\s\up7(―→))′＝xeq \(eq \(AO1,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＋yeq \(AO2,\s\up7(―→))＋zeq \(AO3,\s\up7(―→))，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝ eq \f(1,2)
C．x＝y＝z＝ eq \f(\r(2),2) D．x＝y＝z＝2
解析：选A eq \(AC,\s\up7(―→))′＝eq \(AA,\s\up7(―→))′＋eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))
＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))＋ eq \f(1,2) (eq \(AA,\s\up7(―→))′＋eq \(AD,\s\up7(―→)))＋ eq \f(1,2) (eq \(AA,\s\up7(―→))′＋eq \(AB,\s\up7(―→)))
＝ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up7(―→))′＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→))′
＝eq \(eq \(AO1,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＋eq \(AO3,\s\up7(―→))＋eq \(AO2,\s\up7(―→))，
由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.
4．在棱长为1的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则eq \(AE,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＝( )
A．0 B． eq \f(1,2)
C．－ eq \f(1,2) D．－ eq \f(1,4)
解析：选D eq \(AE,\s\up7(―→))·eq \(CD,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→)))·(eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AC,\s\up7(―→))·eq \(AC,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)＋\f(1,2)－\f(1,2)－1)) ＝－ eq \f(1,4) .
5．(多选)下列命题中是假命题的为( )
A．若向量p＝xa＋yb，则p与a，b共面
B．若p与a，b共面，则p＝xa＋yb
C．若eq \(MP,\s\up7(―→))＝xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))，则P，M，A，B四点共面
D．若P，M，A，B四点共面，则eq \(MP,\s\up7(―→))＝xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))
解析：选BD 由平面向量基本定理得p与a，b共面，A是真命题；若a，b共线，p不一定能用a，b表示出来，B是假命题；若eq \(MP,\s\up7(―→))＝xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))，则eq \(MP,\s\up7(―→))，eq \(MA,\s\up7(―→))，eq \(MB,\s\up7(―→))三个向量在同一个平面内，P，M，A，B四点共面，C是真命题；若M，A，B共线，点P不在此直线上，则eq \(MP,\s\up7(―→))＝xeq \(MA,\s\up7(―→))＋yeq \(MB,\s\up7(―→))不成立，D是假命题；故选B、D.
6．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．
解析：若x≠0，则a＝－ eq \f(y,x) b－ eq \f(z,x) c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.
答案：x＝y＝z＝0
7．已知空间的一组基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________．
解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，
于是有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝2λ，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝－2.))
答案：2 －2
8．如图在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(―→))＝c，则eq \(B1M,\s\up7(―→))＝________．(用a，b，c表示)
解析：eq \(B1M,\s\up7(―→))＝eq \(AM,\s\up7(―→))－eq \(AB1,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))－(eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AA1,\s\up7(―→)))＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AA1,\s\up7(―→))＝－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b－c.
答案：－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b－c
9．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(―→))＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．
(1)用向量a，b，c表示eq \(D1B,\s\up7(―→))，eq \(EF,\s\up7(―→))；
(2)若eq \(D1F,\s\up7(―→))＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．
解：(1)如图，eq \(D1B,\s\up7(―→))＝eq \(D1D,\s\up7(―→))＋eq \(DB,\s\up7(―→))＝－eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \(AD,\s\up7(―→))＝a－b－c，
eq \(EF,\s\up7(―→))＝eq \(EA,\s\up7(―→))＋eq \(AF,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(D1A,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AC,\s\up7(―→))＝－ eq \f(1,2) (eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))＋ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,2) (a－c).
(2)eq \(D1F,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(D1D,\s\up7(―→))＋eq \(D1B,\s\up7(―→)))
＝ eq \f(1,2) (－eq \(AA1,\s\up7(―→))＋eq \(D1B,\s\up7(―→)))
＝ eq \f(1,2) (－c＋a－b－c)
＝ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b－c，
∴x＝ eq \f(1,2) ，y＝－ eq \f(1,2) ，z＝－1.
10．已知A，B，M三点不共线，对于平面ABM外的任意一点O，判断在下列各条件下的点P与点A，B，M是否共面．
(1)eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(OM,\s\up7(―→))＝3eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))；
(2)eq \(OP,\s\up7(―→))＝4eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OM,\s\up7(―→))．
解：法一：(1)原式可变形为eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋(eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OP,\s\up7(―→)))＋(eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OP,\s\up7(―→)))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋eq \(PA,\s\up7(―→))＋eq \(PB,\s\up7(―→))．
由共面向量定理的推论知，点P与点A，B，M共面．
(2)原式可变形为eq \(OP,\s\up7(―→))＝2eq \(OA,\s\up7(―→))＋(eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))＋(eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OM,\s\up7(―→)))＝2eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(MA,\s\up7(―→))．
由共面向量定理的推论，可知点P位于平面ABM内的充要条件是eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋xeq \(BA,\s\up7(―→))＋yeq \(MA,\s\up7(―→))．
而eq \(OP,\s\up7(―→))＝2eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(BA,\s\up7(―→))＋eq \(MA,\s\up7(―→))，∴点P与点A，B，M不共面．
法二：(1)原式可变形为eq \(OB,\s\up7(―→))＝3eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OM,\s\up7(―→))．
∵3＋(－1)＋(－1)＝1，
∴点B与点P，A，M共面，
即点P与点A，B，M共面．
(2)由eq \(OP,\s\up7(―→))＝4eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→))－eq \(OM,\s\up7(―→))，得
4＋(－1)＋(－1)＝2≠1，
∴点P与点A，B，M不共面．
[B级 综合运用]
11．(多选)(2021·夏津第一中学高二月考)已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在线段MN上，且eq \(MG,\s\up7(―→))＝2eq \(GN,\s\up7(―→))，现用基底{eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))，eq \(OC,\s\up7(―→))}表示向量eq \(OG,\s\up7(―→))，有eq \(OG,\s\up7(―→))＝xeq \(OA,\s\up7(―→))＋yeq \(OB,\s\up7(―→))＋zeq \(OC,\s\up7(―→))，则( )
A．x＝ eq \f(1,6) B．y＝ eq \f(1,3)
C．z＝ eq \f(1,3) D．x＋y＋z＝1
解析：选ABC 如图所示，
∵N为BC的中点，则eq \(ON,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋eq \(BN,\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＝eq \(OB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)))) ＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(OC,\s\up7(―→))，
∵M为OA的中点，则eq \(OM,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up7(―→))，∴eq \(MN,\s\up7(―→))＝eq \(ON,\s\up7(―→))－eq \(OM,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(OB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(OC,\s\up7(―→))－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up7(―→))，
∵eq \(MG,\s\up7(―→))＝2eq \(GN,\s\up7(―→))，则eq \(MG,\s\up7(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(MN,\s\up7(―→))，
∴eq \(OG,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋eq \(MG,\s\up7(―→))＝eq \(OM,\s\up7(―→))＋ eq \f(2,3) eq \(MN,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up7(―→))＋ eq \f(2,3) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2) eq \(OB,\s\up7(―→))＋\f(1,2) eq \(OC,\s\up7(―→))－\f(1,2) eq \(OA,\s\up7(―→)))) ＝ eq \f(1,6) eq \(OA,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,3) OC，
∴x＝ eq \f(1,6) ，y＝z＝ eq \f(1,3) ，则x＋y＋z＝ eq \f(5,6) .
故选A、B、C.
12．在空间四边形ABCD中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a－2c，eq \(CD,\s\up7(―→))＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则eq \(EF,\s\up7(―→))＝________．向量eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→))，eq \(EF,\s\up7(―→)) ________(填“能”或“否”)构成一组基底．
解析：eq \(EF,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(ED,\s\up7(―→))＋eq \(EB,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,4) (eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→)))＋ eq \f(1,4) (eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CB,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(BD,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(CD,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(CD,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(DB,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→)))＝3a－ eq \f(5,2) b＋3c.
假设eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→))，eq \(EF,\s\up7(―→))共面，则eq \(EF,\s\up7(―→))＝λeq \(AB,\s\up7(―→))＋μeq \(CD,\s\up7(―→))＝λa－2λc＋5μa－5μb＋8μc＝(λ＋5μ)a－5μb＋(8μ－2λ)c＝3a－ eq \f(5,2) b＋3c.
∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＋5μ＝3，,－5μ＝－\f(5,2)，,8μ－2λ＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(λ＝\f(1,2)，,μ＝\f(1,2)．))
∴eq \(EF,\s\up7(―→))，eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→))共面，∴不能构成一组基底．
答案：3a－ eq \f(5,2) b＋3c 否
13．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________．
解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.
所以 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(α＋γ＝1，,α＋β＝2，,γ＋β＝3，)) 故有α＋β＋γ＝3.
答案：3
14．如图，四棱锥P­OABC 的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设eq \(OA,\s\up7(―→))＝a，eq \(OC,\s\up7(―→))＝b，eq \(OP,\s\up7(―→))＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示eq \(BF,\s\up7(―→))，eq \(BE,\s\up7(―→))，eq \(AE,\s\up7(―→))，eq \(EF,\s\up7(―→))．
解：如图，连接BO，则eq \(BF,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(BP,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) (BO―→＋eq \(OP,\s\up7(―→)))＝ eq \f(1,2) (c－b－a)＝－ eq \f(1,2) a－ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c.
eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(eq \(BC,\s\up7(―→)),\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→))＝－a＋ eq \f(1,2) eq \(CP,\s\up7(―→))＝－a＋ eq \f(1,2) (eq \(CO,\s\up7(―→))＋eq \(OP,\s\up7(―→)))＝－a－ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c.
eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AP,\s\up7(―→))＋eq \(PE,\s\up7(―→))＝eq \(AO,\s\up7(―→))＋eq \(OP,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,2) (eq \(PO,\s\up7(―→))＋eq \(OC,\s\up7(―→)))＝－a＋c＋ eq \f(1,2) (－c＋b)＝－a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) c.
eq \(EF,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,2) a.
[C级 拓展探究]
15.如图所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，eq \(AA1,\s\up7(―→))＝c.
(1)试用a，b，c表示向量eq \(MN,\s\up7(―→))；
(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．
解：(1)eq \(MN,\s\up7(―→))＝eq \(MA1,\s\up7(―→))＋eq \(A1B1,\s\up7(――→))＋eq \(B1N,\s\up7(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(BA1,\s\up7(―→))＋eq \(AB,\s\up7(―→))＋ eq \f(1,3) B1C1―→＝ eq \f(1,3) (c－a)＋a＋ eq \f(1,3) (b－a)＝ eq \f(1,3) a＋ eq \f(1,3) b＋ eq \f(1,3) c.
(2)∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1× eq \f(1,2) ＋2×1×1× eq \f(1,2) ＝5，
∴|a＋b＋c|＝ eq \r(5) ，∴|eq \(MN,\s\up7(―→))|＝ eq \f(1,3) |a＋b＋c|＝ eq \f(\r(5),3) ，
即MN＝ eq \f(\r(5),3) .