数学选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步测试题

这是一份数学选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算同步测试题，共6页。
A． eq \(OA,\s\up6(―→))B． eq \(AB,\s\up6(―→))
C. eq \(OC,\s\up6(―→)) D． eq \(AC,\s\up6(―→))
解析：选C eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→))－ eq \(CB,\s\up6(―→))＝ eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(BC,\s\up6(―→))＝ eq \(OC,\s\up6(―→))，故选C.
2．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是( )
A． eq \(OM,\s\up6(―→))＝3 eq \(OA,\s\up6(―→))－2 eq \(OB,\s\up6(―→))－ eq \(OC,\s\up6(―→))
B． eq \(OM,\s\up6(―→))＋ eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \(OB,\s\up6(―→))＋ eq \(OC,\s\up6(―→))＝0
C． eq \(MA,\s\up6(―→))＋ eq \(MB,\s\up6(―→))＋ eq \(MC,\s\up6(―→))＝0
D． eq \(OM,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,4) eq \(OB,\s\up6(―→))－ eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(OC,\s\up6(―→))
解析：选C ∵ eq \(MA,\s\up6(―→))＋ eq \(MB,\s\up6(―→))＋ eq \(MC,\s\up6(―→))＝0，
∴ eq \(MA,\s\up6(―→))＝－ eq \(MB,\s\up6(―→))－ eq \(MC,\s\up6(―→))，∴M与A，B，C必共面．
3．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中， eq \(A1E,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,4) eq \(A1C1,\s\up6(―→))，若 eq \(AE,\s\up6(―→))＝x eq \(AA1,\s\up6(―→))＋y( eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AD,\s\up6(―→)))，则( )
A．x＝1，y＝ eq \f(1,2) B．x＝ eq \f(1,2)，y＝1
C．x＝1，y＝ eq \f(1,3) D．x＝1，y＝ eq \f(1,4)
解析：选D eq \(AE,\s\up6(―→))＝ eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(A1E,\s\up6(―→))＝ eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(A1C1,\s\up6(―→))＝ eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,4)( eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AD,\s\up6(―→))).所以x＝1，y＝ eq \f(1,4).
4．已知向量a，b，且 eq \(AB,\s\up6(―→))＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(―→))＝－5a＋6b， eq \(CD,\s\up6(―→))＝7a－2b，则一定共线的三点是( )
A．A，B，D B．A，B，C
C．B，C，D D．A，C，D
解析：选A ∵ eq \(AB,\s\up6(―→))＝a＋2b， eq \(BD,\s\up6(―→))＝ eq \(BC,\s\up6(―→))＋ eq \(CD,\s\up6(―→))＝2a＋4b＝2(a＋2b)＝2 eq \(AB,\s\up6(―→))，∴ eq \(AB,\s\up6(―→))∥ eq \(BD,\s\up6(―→)).又 eq \(AB,\s\up6(―→))与 eq \(BD,\s\up6(―→))有一公共点B，∴A，B，D三点共线．
5．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点，点F是AE的三等分点，且AF＝ eq \f(1,2)EF，则 eq \(AF,\s\up6(―→))＝( )
A． eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(―→))
B． eq \f(1,2) eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(―→))
C． eq \f(1,2) eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,6) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,6) eq \(AD,\s\up6(―→))
D． eq \f(1,3) eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,6) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,6) eq \(AD,\s\up6(―→))
解析：选D 如图所示， eq \(AF,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3) eq \(AE,\s\up6(―→))， eq \(AE,\s\up6(―→))＝ eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \(A1E,\s\up6(―→))， eq \(A1E,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(A1C1,\s\up6(―→))， eq \(A1C1,\s\up6(―→))＝ eq \(A1B1,\s\up6(―→))＋ eq \(A1D1,\s\up6(―→))， eq \(A1B1,\s\up6(―→))＝ eq \(AB,\s\up6(―→))， eq \(A1D1,\s\up6(―→))＝ eq \(AD,\s\up6(―→))，所以 eq \(AF,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,3)( eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,2) eq \(A1C1,\s\up6(―→)))＝ eq \f(1,3) eq \(AA1,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,6) eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,6) eq \(AD,\s\up6(―→))，故选D.
6．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则 eq \(DA,\s\up6(―→))＋ eq \(CD,\s\up6(―→))－ eq \(CB,\s\up6(―→))＝________．
解析：法一： eq \(DA,\s\up6(―→))＋ eq \(CD,\s\up6(―→))－ eq \(CB,\s\up6(―→))＝( eq \(CD,\s\up6(―→))＋ eq \(DA,\s\up6(―→)))－ eq \(CB,\s\up6(―→))＝ eq \(CA,\s\up6(―→))－ eq \(CB,\s\up6(―→))＝ eq \(BA,\s\up6(―→)).
法二： eq \(DA,\s\up6(―→))＋ eq \(CD,\s\up6(―→))－ eq \(CB,\s\up6(―→))＝ eq \(DA,\s\up6(―→))＋( eq \(CD,\s\up6(―→))－ eq \(CB,\s\up6(―→)))＝ eq \(DA,\s\up6(―→))＋ eq \(BD,\s\up6(―→))＝ eq \(BA,\s\up6(―→)).
答案： eq \(BA,\s\up6(―→))
7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，设AD＝AA1＝1，AB＝2，则| eq \(CC1,\s\up6(―→))－ eq \(BD1,\s\up6(―→))|＝________．
解析：| eq \(CC1,\s\up6(―→))－ eq \(BD1,\s\up6(―→))|＝| eq \(BB1,\s\up6(―→))－ eq \(BD1,\s\up6(―→))|＝| eq \(D1B1,\s\up6(―→))|＝| eq \(DB,\s\up6(―→))|＝ eq \r(12＋22)＝ eq \r(5).
答案： eq \r(5)
8．已知空间向量c，d不共线，设向量a＝kc＋d，b＝c－k2d，且a与b共线，则实数k的值为________．
解析：因为c，d不共线，所以c≠0，且d≠0.
由a与b共线知，存在λ∈R使a＝λb成立，
即kc＋d＝λ(c－k2d)，
整理得(k－λ)c＋(1＋λk2)d＝0，
所以 eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－λ＝0，,1＋λk2＝0，))解得k＝λ＝－1.
答案：－1
9.如图所示，在正六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中：
(1)化简 eq \(A1F1,\s\up6(―→))－ eq \(EF,\s\up6(―→))－ eq \(BA,\s\up6(―→))＋ eq \(FF1,\s\up6(―→))＋ eq \(CD,\s\up6(―→))＋ eq \(F1A1,\s\up6(―→))，并在图中标出化简结果的向量；
(2)化简 eq \(DE,\s\up6(―→))＋ eq \(E1F1,\s\up6(―→))＋ eq \(FD,\s\up6(―→))＋ eq \(BB1,\s\up6(―→))＋ eq \(A1E1,\s\up6(―→))，并在图中标出化简结果．
解：(1) eq \(A1F1,\s\up6(―→))－ eq \(EF,\s\up6(―→))－ eq \(BA,\s\up6(―→))＋ eq \(FF1,\s\up6(―→))＋ eq \(CD,\s\up6(―→))＋ eq \(F1A1,\s\up6(―→))
＝ eq \(AF,\s\up6(―→))＋ eq \(FE,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(BB1,\s\up6(―→))＋ eq \(CD,\s\up6(―→))＋ eq \(DC,\s\up6(―→))
＝ eq \(AE,\s\up6(―→))＋ eq \(AB1,\s\up6(―→))＋ eq \a\vs4\al(0)
＝ eq \(AE,\s\up6(―→))＋ eq \(ED1,\s\up6(―→))＝ eq \(AD1,\s\up6(―→)).
作出 eq \(AD1,\s\up6(―→))如图所示．
(2) eq \(DE,\s\up6(―→))＋ eq \(E1F1,\s\up6(―→))＋ eq \(FD,\s\up6(―→))＋ eq \(BB1,\s\up6(―→))＋ eq \(A1E1,\s\up6(―→))
＝ eq \(DE,\s\up6(―→))＋ eq \(EF,\s\up6(―→))＋ eq \(FD,\s\up6(―→))＋ eq \(BB1,\s\up6(―→))＋ eq \(B1D1,\s\up6(―→))＝ eq \(DF,\s\up6(―→))＋ eq \(FD,\s\up6(―→))＋ eq \(BD1,\s\up6(―→))
＝ eq \a\vs4\al(0) eq \a\vs4\al(＋) eq \(BD1,\s\up6(―→))＝ eq \(BD1,\s\up6(―→)).
作出 eq \(BD1,\s\up6(―→))如图所示．
10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E在A1D1上，且 eq \(A1E,\s\up6(―→))＝2 eq \(ED1,\s\up6(―→))，F在对角线A1C上，且 eq \(A1F,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(FC,\s\up6(―→)).求证：E，F，B三点共线．
证明：设 eq \(AB,\s\up6(―→))＝a， eq \(AD,\s\up6(―→))＝b， eq \(AA1,\s\up6(―→))＝c，
因为 eq \(A1E,\s\up6(―→))＝2 eq \(ED1,\s\up6(―→))， eq \(A1F,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(FC,\s\up6(―→))，
所以 eq \(A1E,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(A1D1,\s\up6(―→))， eq \(A1F,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,5) eq \(A1C,\s\up6(―→)).
所以 eq \(A1E,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,3)b， eq \(A1F,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,5)( eq \(AC,\s\up6(―→))－ eq \(AA1,\s\up6(―→)))＝ eq \f(2,5)( eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AD,\s\up6(―→))－ eq \(AA1,\s\up6(―→)))＝ eq \f(2,5)a＋ eq \f(2,5)b－ eq \f(2,5)c.所以 eq \(EF,\s\up6(―→))＝ eq \(A1F,\s\up6(―→))－ eq \(A1E,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,5)a－ eq \f(4,15)b－ eq \f(2,5)c＝ eq \f(2,5) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a－\f(2,3)b－c)).
又 eq \(EB,\s\up6(―→))＝ eq \(EA1,\s\up6(―→))＋ eq \(A1A,\s\up6(―→))＋ eq \(AB,\s\up6(―→))＝－ eq \f(2,3)b－c＋a＝a－ eq \f(2,3)b－c，
所以 eq \(EF,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,5) eq \(EB,\s\up6(―→)).且EF与EB有公共点E，所以E，F，B三点共线．
1．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 eq \(AO,\s\up6(―→))＋ eq \(OB,\s\up6(―→))＝ eq \(DO,\s\up6(―→))＋ eq \(OC,\s\up6(―→))，则四边形ABCD是( )
A．平行四边形 B．空间四边形
C．等腰梯形 D．矩形
解析：选A ∵ eq \(AO,\s\up6(―→))＋ eq \(OB,\s\up6(―→))＝ eq \(DO,\s\up6(―→))＋ eq \(OC,\s\up6(―→))，∴ eq \(AB,\s\up6(―→))＝ eq \(DC,\s\up6(―→)).
∴ eq \(AB,\s\up6(―→))∥ eq \(DC,\s\up6(―→))且| eq \(AB,\s\up6(―→))|＝| eq \(DC,\s\up6(―→))|.
∴四边形ABCD为平行四边形．
2．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量 eq \(OP,\s\up6(―→))的为( )
A． eq \(OA,\s\up6(―→))＋2 eq \(AB,\s\up6(―→))＋2 eq \(AC,\s\up6(―→)) B． eq \(OA,\s\up6(―→))－3 eq \(AB,\s\up6(―→))－2 eq \(AC,\s\up6(―→))
C． eq \(OA,\s\up6(―→))＋3 eq \(AB,\s\up6(―→))－2 eq \(AC,\s\up6(―→)) D． eq \(OA,\s\up6(―→))＋2 eq \(AB,\s\up6(―→))－3 eq \(AC,\s\up6(―→))
解析：选C 因为A，B，C，P四点共面，所以可设 eq \(AP,\s\up6(―→))＝x eq \(AB,\s\up6(―→))＋y eq \(AC,\s\up6(―→))，即 eq \(OP,\s\up6(―→))＝ eq \(OA,\s\up6(―→))＋x eq \(AB,\s\up6(―→))＋y eq \(AC,\s\up6(―→))，由图可知x＝3，y＝－2，故选C.
3.如图，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若 eq \(AG,\s\up6(―→))＝λ eq \(AM,\s\up6(―→))与 eq \(OG,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(OB,\s\up6(―→))＋ eq \f(1,4) eq \(OC,\s\up6(―→))同时成立，则实数λ的值为__________．
解析： eq \(OG,\s\up6(―→))＝ eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \(AG,\s\up6(―→))＝ eq \(OA,\s\up6(―→))＋λ eq \(AM,\s\up6(―→))＝ eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \f(λ,2)( eq \(AB,\s\up6(―→))＋ eq \(AC,\s\up6(―→)))＝ eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \f(λ,2)( eq \(OB,\s\up6(―→))－ eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \(OC,\s\up6(―→))－ eq \(OA,\s\up6(―→)))＝(1－λ) eq \(OA,\s\up6(―→))＋ eq \f(λ,2) eq \(OB,\s\up6(―→))＋ eq \f(λ,2) eq \(OC,\s\up6(―→))，所以1－λ＝ eq \f(1,2)， eq \f(λ,2)＝ eq \f(1,4)，解得λ＝ eq \f(1,2).
答案： eq \f(1,2)
4．已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外的一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值．
(1) eq \(OQ,\s\up6(―→))＝ eq \(PQ,\s\up6(―→))＋x eq \(PC,\s\up6(―→))＋y eq \(PA,\s\up6(―→))；
(2) eq \(PA,\s\up6(―→))＝x eq \(PO,\s\up6(―→))＋y eq \(PQ,\s\up6(―→))＋ eq \(PD,\s\up6(―→)).
解：(1)如图所示， eq \(OQ,\s\up6(―→))＝ eq \(PQ,\s\up6(―→))＋ eq \(OP,\s\up6(―→))，由向量加法的平行四边形法则，可得 eq \(PO,\s\up6(―→))＝ eq \f(1,2)( eq \(PC,\s\up6(―→))＋ eq \(PA,\s\up6(―→))).所以 eq \(OP,\s\up6(―→))＝－ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(―→))－ eq \f(1,2) eq \(PA,\s\up6(―→)).所以 eq \(OQ,\s\up6(―→))＝ eq \(PQ,\s\up6(―→))＋ eq \(OP,\s\up6(―→))＝ eq \(PQ,\s\up6(―→))－ eq \f(1,2) eq \(PC,\s\up6(―→))－ eq \f(1,2) eq \(PA,\s\up6(―→)).所以x＝－ eq \f(1,2)，y＝－ eq \f(1,2).
(2)因为 eq \(PA,\s\up6(―→))＝ eq \(PD,\s\up6(―→))＋ eq \(DA,\s\up6(―→))＝ eq \(PD,\s\up6(―→))＋2 eq \(QO,\s\up6(―→))＝ eq \(PD,\s\up6(―→))＋2( eq \(PO,\s\up6(―→))－ eq \(PQ,\s\up6(―→)))＝ eq \(PD,\s\up6(―→))＋2 eq \(PO,\s\up6(―→))－2 eq \(PQ,\s\up6(―→))，所以x＝2，y＝－2.
5.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．
(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；
(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．
证明：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，
∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在边的中点，且 eq \(PE,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(PM,\s\up6(―→))， eq \(PF,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(PN,\s\up6(―→))， eq \(PG,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(PQ,\s\up6(―→))， eq \(PH,\s\up6(―→))＝ eq \f(2,3) eq \(PR,\s\up6(―→)).
由题意知四边形MNQR是平行四边形，
∴ eq \(MQ,\s\up6(―→))＝ eq \(MN,\s\up6(―→))＋ eq \(MR,\s\up6(―→))＝( eq \(PN,\s\up6(―→))－ eq \(PM,\s\up6(―→)))＋( eq \(PR,\s\up6(―→))－ eq \(PM,\s\up6(―→)))
＝ eq \f(3,2)( eq \(PF,\s\up6(―→))－ eq \(PE,\s\up6(―→)))＋ eq \f(3,2)( eq \(PH,\s\up6(―→))－ eq \(PE,\s\up6(―→)))＝ eq \f(3,2)( eq \(EF,\s\up6(―→))＋ eq \(EH,\s\up6(―→))).
又 eq \(MQ,\s\up6(―→))＝ eq \(PQ,\s\up6(―→))－ eq \(PM,\s\up6(―→))＝ eq \f(3,2) eq \(PG,\s\up6(―→))－ eq \f(3,2) eq \(PE,\s\up6(―→))＝ eq \f(3,2) eq \(EG,\s\up6(―→)).
∴ eq \(EG,\s\up6(―→))＝ eq \(EF,\s\up6(―→))＋ eq \(EH,\s\up6(―→))，
由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．
(2)平行．证明如下：
由(1)得 eq \(MQ,\s\up6(―→))＝ eq \f(3,2) eq \(EG,\s\up6(―→))，∴ eq \(MQ,\s\up6(―→))∥ eq \(EG,\s\up6(―→))，
∴ eq \(EG,\s\up6(―→))∥平面ABCD.
又 eq \(MN,\s\up6(―→))＝ eq \(PN,\s\up6(―→))－ eq \(PM,\s\up6(―→))＝ eq \f(3,2) eq \(PF,\s\up6(―→))－ eq \f(3,2) eq \(PE,\s\up6(―→))＝ eq \f(3,2) eq \(EF,\s\up6(―→))，
∴ eq \(MN,\s\up6(―→))∥ eq \(EF,\s\up6(―→)).即EF∥平面ABCD.
又∵EG∩EF＝E，
∴平面EFGH与平面ABCD平行．