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人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案设计
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这是一份人教A版 (2019)必修 第二册9.2 用样本估计总体教案设计，共30页。教案主要包含了【单元目标】，【单元知识结构框架】，【学情分析】，【教学设计思路/过程】，【教学问题诊断分析】，【教学成果自我检测】，【教学反思】等内容，欢迎下载使用。
一、【单元目标】
1．知识与技能：
1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律．
2.会列频率分布表，画频率分布直方图．能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律．
3.理解频率分布表、折线图、条形图、扇形图的作用和识读，了解不同的统计图在表示数据上有不同的特点.
4.理解百分位数的统计含义，会求样本数据的第p百分位数.
5.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)，会求样本数据的众数、中位数、平均数．
6.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，会求样本数据的方差、标准差、极差．
7.理解离散程度参数的统计含义.
2．数学学科素养
1．直观想象：频率分布直方图的绘制与应用；各种统计图的理解；方差、标准差有关概念的理解；
2．数学运算：频率分布直方图中的相关计算问题. 求样本数据的众数、中位数、平均数；求方差、标准差;
3. 数据分析：频率分布直方图中的众数、中位数、平均数、用样本平均数和样本标准差估计总体.
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
第一节主要介绍表示样本分布的方法，包括频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等.由于作统计图、表的操作性很强，所以教学中要使学生在明确图、表含义的前提下，让学生自己动手作图.同时让学生理解：对于一个总体的分布，我们往往从总体抽取一个样本，用样本的频率分布估计总体分布. 学生在初中已经学过把样本数据表示成频数分布表和频数分布图的形式，能从图表上直观的看出数据的分布情况，为学习本节内容在基础知识上有了铺垫。
第二节是是主要介绍总体百分数的估计方法，即借助具体数据、频率分布直方图、频率分布直方表估计总体百分数，所以教学中要使学生在明确图、表含义的前提下，让学生体会估计总体百分数的意义.
第三节内容是主要介绍如何从样本中提取基本信息:众数、中位数、平均数，来推断总体的情况.统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.
第四节内容是主要介绍如何从样本中提取基本信息:方差、标准差、极差，来推断总体的情况.统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约4课时
第一课时：总体取值规律的估计
第二课时：总体百分位数的估计
第三课时：总体集中趋势的估计
第四课时：总体离散程度的估计
教学重点：频率分布直方图，百分位数，求样本数据的众数、中位数、平均数；
教学难点：统计图的选择，根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律. 求样本数据的众数、中位数、平均数；用样本平均数和样本标准差估计总体.
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
9.1.1 简单随机抽样
情景导入
我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理呢?你认为为了较为合理地确定出这个标准需要做哪些工作?
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本192-197页，思考并完成以下问题
问题1：画频率分布直方图的步骤有哪些？
【答案】频率分布直方图绘制步骤
①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．
②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
③将数据分组．
④列频率分布表．计算各小组的频率，第i组的频率是eq \f(第i组频数,样本容量).
⑤画频率分布直方图.
【破解方法】用样本在某区间内的频率可以估计总体在相应区间内的比例，但用样本在某区间内的频数不能直接估计总体在相应区间内的频数，需要将样本频数除以样本量后再乘总体中的个体数．
问题2：频率分布直方图的纵轴表示什么？各矩形面积之和等于什么？
【答案】横轴表示分组，纵轴表示eq \f(频率,组距).eq \f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度．各矩形面积之和等于1.
【破解方法】频数分布直方图与频率分布直方图都可用于描述数据的取值规律，它们的横坐标一致，区别在于纵坐标，一个是"频数／组距"或"频数（等距分组时）"，另一个是"频率／组距"．在高中阶段仅学习等距分组的频率分布直方图．对于等距分组的情况，纵坐标分别用"频"和"频率／组距"时，直方图的形状是相同的.
问题3：频率分布直方图意义？
【答案】各个小长方形的面积表示相应各组的频率，频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于1.
【破解方法】学生可能比较难理解为什么频率分布直方图的纵坐标用频率除以组距，而不是直接用频率．可以从两个角度解释：第一，如果小长方形的高为频率，那么区间越长，小长方形就越高，两个长度不同的区间的频率比较就没有意义；第二，全部小长方形的面积之和为1，这个与总体中落在全部取值范围内的频率为100％是一致的，可以作为总体分布的估计. 图画直方图时，组数和组距的选择没有绝对标准，教科书中给出了原则性的选取建议，并通过探究栏目考察不同组数对直方图的形状的影响。组数越少，直方图丢失样本数据的信息会越多：组数越多，直方图会越依赖样本数据，稳定性也较差，换一组数据可能得到完全不同的直方图．
问题4：怎么理解频率分布直方图的特征？
【答案】当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原式数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则 ，不容易从中看出总体数据的分布特点．
【破解方法】总体的取值规律是确定的，而样本的取值规律却取决于样本，具有随机性.我们知道频率分布直方图的形状还和分组有关，因此用样本频率分布直方图描述样本的取值规律，并据此估计总体的取值规律时，会存在误差，这个误差与样本数据本身有关，还与画直方图时样本数据的分组有关，教学中，可以通过随机模拟演示，让学生体会它们之间的关系.
问题5：除了频率分布直方图，初中我们还学习了哪些图表呢？它们各有什么特点?
【答案】1.常见的其他统计图：条形图、扇形图、折线图．
扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例；
条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；
折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．
2.各个统计图特点
(1)不同的统计图在表示数据上有不同的特点．如扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．
(2)不同的统计图适用的数据类型也不同．如条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用于描述连续性数据．
【破解方法】教科书中首先简单回顾了条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图和频率分布直方图的特点和适用范围，然后通过例1的多组空气质量数据，提出了三个问题，让学生体会如何根据不同的实际问题选择不同的统计图对数据进行可视化描述，并学会用简单的语言描述图形展示的信息，教学中，建议针对每个问题分别试着用不同的统计图展示数据信息，并用语言简单描述统计图表达的信息，理解每种统计图的特点和适用范围，体会合理使用统计图表的重要性.
典例分析
题型一 频率分布直方图的绘制与应用
例1．已知如表：
（1）完成上面的频率分布表；
（2）根据上表，画出频率分布直方图．
【解答】解：（1）样本容量为各组的频数之和，为100，各组的频数除以样本容量，即为各组的频率．得出下表．
（2）
解题技巧（绘制频率分布直方图的注意事项）
1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
(1)若eq \f(极差,组距)为整数，则eq \f(极差,组距)＝组数；(2)若eq \f(极差,组距)不为整数，则eq \f(极差,组距)的整数部分＋1＝组数．
2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多.
跟踪训练一
1、在自动车床加工零件的过程中，我们定期地抽取一些样品，测量它们的尺寸，设每次抽取5个零件，共抽取50次，测得尺寸与规定尺寸的偏差记录如下：画出频率分布表和直方图．
【解答】频率直方图（略），频率分布表如下：
题型二 频率分布直方图中的相关计算问题
例2 对某电子元件寿命进行追踪调查，情况如下：
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计寿命在以内的电子元件在总体中占的比例；
（4）估计寿命在以上的电子元件在总体中占的比例．
【解答】解：（1）样本频率分布表如下：
（2）频率分布直方图如下：
（3）估计电子元件寿命在的在总体中占的比例为，
（4）估计电子元件寿命在以上的在总体中占的比例为．
解题技巧 (计算规律)
1.因为小长方形的面积=组距×频率组距=频率,所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
2.在频率分布直方图中,各小长方形的面积之和等于1.
3.频数相应的频率=样本量.
4.在频率分布直方图中,各长方形的面积之比等于频率之比,各长方形的高度之比也等于频率之比.
跟踪训练二
1．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右各小长方形的面积之比为，第四小组频数为10．
（1）求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；
（2）参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？
【解答】解：（1）从左到右各小长方形的面积之比为，
第四小组的频率为：，
又第二小组频数为12．
样本容量是
参加这次测试的学生人数为50人，
（2）次数在100以上为优秀，
则后两组的学生均为优秀，
则该校此年级跳绳成绩的优秀率是.
题型三 对折线图、扇形图、条形图的识读
例3 某集团公司经过五年的产业结构调整，优化产业结构使集团营业收入不断增长，公司今年的年收入比五年前翻了两番．为了更好地分析各工厂的产值变化情况，统计前后产值占比情况，得到如图所示的饼图：
则下列结论正确的是
A．产业结构调整后生物制药的收入增幅最快
B．产业结构调整后食品加工的收入是超过调整前金融产业的收入
C．产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入
D．产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有降低
【解答】解：公司今年的年收入比五年前翻了两番，
设五年前年收入为，则今年的年收入为，
根据饼形图得五年前金融产业产值为，
机械加工产业产值为，食品加工产业产值为，
生物制药产业产值为，今年金融产业产值为，
机械加工产业产值为，食品加工产业产值为，
生物制药产业产值为，
由以上数据计算得到产业结构调整后生物制约的收入增幅最快，故正确；
产业结构调整后食品加工产业收入的调整前金融产业收入的，故选项正确；
产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入，故正确；
产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有升高，故错误．
故选：．
解题技巧（各类统计图的特点）
条形统计图反映各组数据的频数或频率；
扇形统计图反映各组数据占总数的比例；
折线统计图反映数据随时间的变化趋势．
跟踪训练三
1．是一款具有社交属性的健身，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小明根据记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是
A．月跑步里程最小值出现在2月
B．月跑步里程逐月增加
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
【解答】解：由所给折线图可知，月跑步里程并不是逐递增，故错误；
月跑步里程最小值出现在2月，故正确；
月跑步里程中位数为5月份对应的里程数，故正确；
1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月，波动性更小，故正确．
故选：．
9.2.2 总体百分数的估计
教学过程设计
一、情景导入
前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断，接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？
二、预习课本，引入新课
阅读课本201-203页，思考并完成以下问题
问题1第p百分位数定义是什么？
【答案】第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
【破解方法】百分位数直观上比较容易理解，它把一组按大小排列的数据 分成相应百分比的两部分.为了使得对任何一组数据都存在任意的百分位数，百分位数的定义表述却不是很容易理解，教科书中给出的是一组数据的百分位数的定义，因为不管是对有限总体，还是从总体中抽取的样本，观测得到的都是一组数据.如果这组数据是总体中所有个体的观测值，那么该定义就是总体百分位数.如果这组数据是样本的观测值，那么该定义就是样本的百分位数.教学中，对于百分位数概念的理解，要注意强调它的直观含义.
问题2：计算第p百分位数的步骤？
【答案】计算第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i ＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
【破解方法】学生思考并讨论，探究第p百分位数的步骤.
问题3：第p百分位数含有哪些常用的四分位？
【答案】四分位数,常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．
【破解方法】25%分位数称为下四分位数或第一四分位数， 75%分位数称为上四分位数或第三四分位数，上四分位数减下四分位数称为四分位极差，50%的数据落在下四分位数和上四分位数之间.在假设检验中，常用1%，5%，10%，90%，95%和99%的分位数.
典例分析：
题型一 百分位数在具体数据中的应用
例1从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：如下：
9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0．
（1）分别求出这组数据的第25，75，95百分位数；
（2）请你找出珍珠质量较小的前的珍珠质量；
（3）若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
【解答】解：（1）将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，所以，，，
则第25百分位数是，
第75百分位数是，
第95百分位数是第12个数据为9.9．
（2）因为共有12个数据，所以，则第15百分位数是第2个数据为7.9．
即产品质量较小的前的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9．
（3）由（1）可知样本数据的第25百分位数是8.15 ，第50百分位数为8.5 ，
第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15的珍珠为次品，
质量大于8.15 且小于或等于8.5 的珍珠为合格品，
质量大于8.5 且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9 的珍珠为特优品．
解题技巧（计算一组n个数据的第p百分位数的步骤）
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算i=n×p%.
第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
跟踪训练一
1. 某蟹农为了估计今年养的螃蟹的最大质量，从湖中捕捞了9只螃蟹，并进行了称重，质量（单位：如下：158，70，103，84，125，53，93，60，208．
（1）求这9只螃蟹质量的分位数；
（2）求这9只螃蟹质量的分位数．
【解答】解：9只螃蟹的质量，由小及大排列为：53，60，70，84，93，103，125，158，208；
（1），所以这9只螃蟹质量的分位数为60；
（2），所以这9只螃蟹质量的分位数为：125．
题型二 百分位数在统计表或统计图中的应用
例2 对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调 查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为、的数据不慎丢失，则依据此图可得：
（1），年龄组对应小矩形的高度为 0.04 ；
（2）由频率分布直方图估计志愿者年龄的分位数为 岁．
【解答】解：（1）设年龄在，内对应小长方形的高度为，
则，解得：，
，年龄组对应小矩形的高度为0.04．
（2）年龄小于35岁的频率为，
年龄小于40岁的频率为，
志愿者年龄的分位数在，内，
志愿者年龄的分位数为（岁．
解题技巧 (频率直方图计算百分位数的规律)
求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值．
跟踪训练二
1. 某校研究性学习课题小组为了了解某市工薪阶层的工资水平，从该市工薪阶层中随机调查了50位市民，调查结果如表．
（1）完成如图的月收入频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
（2）估计该市工薪阶层月收入的第25和70百分位数；
【解答】解：（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，
所以频率分布直方图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，
故月收入频率分布直方图如图所示：
（2）由（1）可知，月收入在25百元以下所占比例为，
月收入在35百元以下所占的比例为，
因此分位数一定在，内，
则，
月收入在45百元以下所占的比例为，
月收入在55百元以下所占的比例为，
因此分位数一定在，内，
则，
所以估计该市工薪阶层月收入的第25和70百分位数分别为32.5和52.5．
总体集中趋势的估计
一、情景导入
在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念，他们都是描述一组数据的集中趋势大的特征数，只是描述的角度不同，回忆它们的定义及特点，在频率分布直方图中怎样求这些特征.
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本203-207页，思考并完成以下问题
问题1： 众数、中位数、平均数各是什么样的数？
【答案】众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．
(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
【破解方法】如果一组数据的平均数和中位数相差较大，那么可以推断这组数据一定是不对称的。如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值;反之，说明数据中不存在较大的极端值.在实际应用中， 如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们做出决策.
问题2：在频率分布直方图中如何求众数、中位数、平均数？
【答案】频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；
②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
【破解方法】由样本观测数据计算得到的中位数与通过频率分布直方图估计的中位数可能不同，引起不同的原因是频率分布直方图已经损失了一些样本的信息进一步地， 总体的各种数字特征都可以由两种途径来估计，即直接利用样本数据或由频率分布直方图来估计.在有样本原始数据时，尽量用原始数据直接计算平均数和中位数等;在没有样本原始数据，但有整理好的频率分布直方图等时，也可以近似计算样本平均数和中位数等，从而估计总体平均数和中位数等.通过这部分内容的学习，可以让学生体会统计方法没有对错，只有好坏之分，在解决实际问题时应该寻求更好的方法.
典例分析
题型一 平均数、中位数、众数在具体数据中的应用
例1 一名数学教师执教两个班级，在一次期末考试中，一班有25名学生，班级平均分为96分，二班有24名学生，班级平均分为90分．那么这两个班的平均分是 ．
【解答】解：根据题意，在一次期末考试中，一班有25名学生，班级平均分为96分，二班有24名学生，班级平均分为90分．
那么这两个班的平均分；
故答案为：93.06．
解题技巧（众数、中位数、平均数的意义）
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．
跟踪训练一
1．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙：3，3，4，7，9.10，11，12．
三家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数．
【解答】解：对甲分析：8出现的次数最多，故运用了众数；
对乙分析：8既不是众数，也不是中位数，求数据的平均数可得，平均数，故运用了平均数；
对丙分析：共8个数据，最中间的是7与9，故其中位数是8，即运用了中位数．
题型二 在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数
例2 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在，的频率约为
A．0.1B．0.3C．0.45D．0.5
【解答】解：频率分布直方图：小长方形的面积组距，
新生婴儿体重在的频率为
则新生婴儿体重在，的频率约为
新生婴儿体重在的频率为
则新生婴儿体重在，的频率约为
故新生婴儿体重在，的频率约为
故选：．
解题技巧： (统计活动的注意事项)
在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断．
跟踪训练二
1. 如图是根据某地2019年4月上旬每天的最低气温绘成的折线图，那么这段时间最低气温的极差、众数、中位数依次是
A．5，5，4.5B．5，5，4C．4，5，4D．4，5，4.5
【解答】答案
解：这10日的最低气温依次是，，，，，，，，，，故这10日的最低气温的极差是5，众数是5，
将这10日的最低气温按从小到大的顺序排列是，，，，，，，，，，
中间两个数是，，故这组数据的中位数为．
故选：．
总体离散程度的估计
一、情景导入
在初中我们学过方差、中位数和平均数标准差的概念，他们都是描述一组数据的离散程度的特征数.回忆它们的定义及特点，用样本平均数和样本标准差怎样估计总体.
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本209-213页，思考并完成以下问题
问题1： 标准差和方差各指什么？
【答案】1.方差、标准差的定义
一组数据x1，x2，…，xn，用eq \x\t(x)表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－eq \x\t(x)2，标准差为eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
2.总体方差、总体标准差的定义
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2
为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
3.样本方差、样本标准差的定义
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，则称s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \x\t(y))2
为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
【破解方法】方差的概念比平均数的概念难理解，它是刻画一组数据离散程度的统计指标.教科书从定义一组数据的方差开始，如果这组数据是总体的普查结果就得到总体方差，如果这组数据是从总体中通过简单随机抽样得到的样本观测数据就得到样本方差的观测值.
问题2：标准差和方差的特征各是什么？
【答案】方差、标准差特征
标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．
【破解方法】在实际应用中，方差和标准差常被理解为稳定性.例如，在比较两个人的成绩时，标准差小意味着成绩稳定;在描述产品的质量时，标准差越小，说明产品的质量越稳定.
典例分析
题型一 标准差与方差的应用
例1 在一次试验中，所抽取的样本共有5个个体，其值分别为0，1，2，3，．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为
A．2B．C．D．
【解答】解：样本，0，1，2，3的平均值为1，
，
解得，
则样本的标准差，
故选：．
解题技巧（实际应用中标准差、方差的意义）
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高．
跟踪训练一
1．随机调查某校50个学生的午餐费，结果如下表，这50个学生午餐费的平均值和方差分别是
A．4，0.6B．4，C．4.2，0.56D．4.2，
【解答】解：根据题意，得
这50个学生午餐费的平均值是
，
方差是
．
故选：．
题型二 用样本平均数和样本标准差估计总体
例2 甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击20次，3人的测试成绩如下表．
试根据以上数据，判断他们谁更优秀．
【解答】解：甲的平均数
乙的平均数
丙的平均数
故甲的成绩更优秀．
解题技巧 (用样本平均数和样本标准差估计总体注意事项)
（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.
（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换．
跟踪训练二
1. 某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在五块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下：
问：哪一品种的西红柿既高产又稳定？
【解答】解：，
，
，
，
，
．
由，而，
故说明第1种西红柿品种既高产又稳定．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．北京市某年12个月的平均浓度指数如图所示，由图判断，四个季度中的平均浓度指数方差最大的是
A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度
【解答】解：根据图中数据知：
第一季度的数据是72.25，43.96，93.13；
第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；
第三季度的数据是59.36，38.67，51.6；
第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；
观察得出第四季度的数据波动性最大，
所以第四季度的平均浓度指数方差最大．
故选：．
2．已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取100辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，那么时速在区间，内的汽车辆数大约为
A．30B．35C．40D．45
【解答】解：由频率分布直方图得：
时速在区间，内的频率为：，
时速在区间，内的汽车辆数大约为：
．
故选：．
3．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，，样本数据分组为，，，，，，，，，，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ．
【解答】解：由题意可知：样本中净重在，的产品的频率，
样本容量，
样本中净重在，的产品个数．
故答案为90．
4．某班有学生40人，将其数学成绩平均分为两组，第一组的平均分为80，标准差为4，第二组的平均分为90，标准差为6，则该班40名学生的数学成绩平均分为 ，标准差为 ．
【解答】解：该班数学成绩的平均分为
；
这次数学成绩的方差是
；
它的标准差是．
故答案为：85，．
5．某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得如表：
（1）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，求这款新面包日需求量不少于21个的概率；
（2）该店在这30天内，这款新面包每天出炉的个数均为21．
（ⅰ）若日需求量为15个，求这款新面包的日利润；
（ⅱ）求这30天内这款面包的日利润的平均数．
【解答】解：（1）这款新面包日需求量不少于21个的频率为，
这款新面包日需求量不少于21个的概率为．
（2）若日需求量为15个，则这款新面包的日利润为：
（元，
若日需求量为18个，则这款新面包的日利润为：
（元，
若日需求量不少于21个，则这款新面包的日利润为：
（元，
这30天内这款面包的日利润的平均数为：
（元．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为
A．10B．20C．40D．60
【解答】解：由频率分布直方图得：
这1000名学生中成绩在130分以上的频率为：
，
则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为人．
故选：．
2．一实体店主对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期天的数据统计，得到如下统计图，则下列说法错误的是
A．
B．中位数为17
C．众数为17
D．日销售量不低于18的频率为0.5
【解答】解：由条形统计图得：，故正确；
中位数为，故错误；
众数为17，故正确；
日销售量不低于18的频率为：，故正确．
故选：．
3．为了解某校高二学生联考数学成绩分布，从该校参加联科的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图，若第一组至第五组数据的频率之比为，最后一组数据的频率是6，则样本容量为 ；众数为 ．
【解答】解：该校高二学生数学成绩最后一组的概率为
，
样本容量为
；
又根据频率分布直方图，得
众数应在的中点处，
为．
故答案为：40，102.5．
4．某班有学生40人，将其数学成绩平均分为两组，第一组的平均分为80，标准差为4，第二组的平均分为90，标准差为6，则该班40名学生的数学成绩平均分为 ，标准差为 ．
【解答】解：该班数学成绩的平均分为
；
这次数学成绩的方差是
；
它的标准差是．
故答案为：85，．
5．某高科技公司投入1000万元研发某种产品，大规模投产后，在产品出库进入市场前，需做严格的质量检验．为此，从库房的产品中随机抽取200件，检测一项关键的质量指标值（记为，由检测结果得到如下样本频率分布直方图：
（1）求这200件产品质量指标值的样本平均数、样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）该公司规定：当时，产品为正品；当时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利80元；若是次品，则亏损20元．
①估计这200件产品中正品、次品各有多少件；
②求公司生产一件这种产品的平均利润．
【解答】解：（1）取每个区间中点值为区间代表计算平均数为：
，
方差为：
；
（2）①由题意知，产品是正品的频率为，
则200件产品中是正品的件数为（件，是次品的件数为20件；
②由题意知，生产一件产品的平均利润为（元．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本213页练习
2.课本习题9.2复习巩固及综合运用
七、【教学反思】
宽度分组
频数
频率
，
1
，
1
，
6
，
20
，
44
，
23
，
4
，
1
寿命
个数
20
30
80
40
30
寿命
频数
频率
20
0.10
30
0.15
80
0.40
40
0.20
30
0.15
合计
200
1
月收入（单位：百元）
，
，
，
，
，
，
频数
5
10
15
10
5
5
餐费（元
3
4
5
人数
10
20
20
丙的成绩
乙的成绩
甲的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
日需求量
15
18
21
24
27
频数
10
8
7
3
2
一、【单元目标】
1．知识与技能：
1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律．
2.会列频率分布表，画频率分布直方图．能根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律．
3.理解频率分布表、折线图、条形图、扇形图的作用和识读，了解不同的统计图在表示数据上有不同的特点.
4.理解百分位数的统计含义，会求样本数据的第p百分位数.
5.结合实例，能用样本估计总体的集中趋势参数(众数、中位数、平均数)，会求样本数据的众数、中位数、平均数．
6.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数(标准差、方差、极差)，会求样本数据的方差、标准差、极差．
7.理解离散程度参数的统计含义.
2．数学学科素养
1．直观想象：频率分布直方图的绘制与应用；各种统计图的理解；方差、标准差有关概念的理解；
2．数学运算：频率分布直方图中的相关计算问题. 求样本数据的众数、中位数、平均数；求方差、标准差;
3. 数据分析：频率分布直方图中的众数、中位数、平均数、用样本平均数和样本标准差估计总体.
二、【单元知识结构框架】
三、【学情分析】
第一节主要介绍表示样本分布的方法，包括频率分布表、频率分布直方图、条形图、扇形图、折线图等.由于作统计图、表的操作性很强，所以教学中要使学生在明确图、表含义的前提下，让学生自己动手作图.同时让学生理解：对于一个总体的分布，我们往往从总体抽取一个样本，用样本的频率分布估计总体分布. 学生在初中已经学过把样本数据表示成频数分布表和频数分布图的形式，能从图表上直观的看出数据的分布情况，为学习本节内容在基础知识上有了铺垫。
第二节是是主要介绍总体百分数的估计方法，即借助具体数据、频率分布直方图、频率分布直方表估计总体百分数，所以教学中要使学生在明确图、表含义的前提下，让学生体会估计总体百分数的意义.
第三节内容是主要介绍如何从样本中提取基本信息:众数、中位数、平均数，来推断总体的情况.统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.
第四节内容是主要介绍如何从样本中提取基本信息:方差、标准差、极差，来推断总体的情况.统计学是研究如何收集、整理、分析数据的科学，它可以为人们制定决策提供依据.
四、【教学设计思路/过程】
课时安排： 约4课时
第一课时：总体取值规律的估计
第二课时：总体百分位数的估计
第三课时：总体集中趋势的估计
第四课时：总体离散程度的估计
教学重点：频率分布直方图，百分位数，求样本数据的众数、中位数、平均数；
教学难点：统计图的选择，根据频率分布表和频率分布直方图观测数据的分布规律. 求样本数据的众数、中位数、平均数；用样本平均数和样本标准差估计总体.
教学方法/过程：
五、【教学问题诊断分析】
9.1.1 简单随机抽样
情景导入
我国是世界上严重缺水的国家之一,城市缺水问题较为突出,某市政府为了节约生活用水,计划在本市试行居民生活用水定额管理,即确定一个居民月用水量标准a,用水量不超过a的部分按平价收费,超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响,那么标准a定为多少比较合理呢?你认为为了较为合理地确定出这个标准需要做哪些工作?
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本192-197页，思考并完成以下问题
问题1：画频率分布直方图的步骤有哪些？
【答案】频率分布直方图绘制步骤
①求极差，即一组数据中的最大值与最小值的差．
②决定组距与组数．组距与组数的确定没有固定的标准，一般数据的个数越多，所分组数越多．当样本容量不超过100时，常分成5～12组．为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求“取整”．
③将数据分组．
④列频率分布表．计算各小组的频率，第i组的频率是eq \f(第i组频数,样本容量).
⑤画频率分布直方图.
【破解方法】用样本在某区间内的频率可以估计总体在相应区间内的比例，但用样本在某区间内的频数不能直接估计总体在相应区间内的频数，需要将样本频数除以样本量后再乘总体中的个体数．
问题2：频率分布直方图的纵轴表示什么？各矩形面积之和等于什么？
【答案】横轴表示分组，纵轴表示eq \f(频率,组距).eq \f(频率,组距)实际上就是频率分布直方图中各小长方形的高度，它反映了各组样本观测数据的疏密程度．各矩形面积之和等于1.
【破解方法】频数分布直方图与频率分布直方图都可用于描述数据的取值规律，它们的横坐标一致，区别在于纵坐标，一个是"频数／组距"或"频数（等距分组时）"，另一个是"频率／组距"．在高中阶段仅学习等距分组的频率分布直方图．对于等距分组的情况，纵坐标分别用"频"和"频率／组距"时，直方图的形状是相同的.
问题3：频率分布直方图意义？
【答案】各个小长方形的面积表示相应各组的频率，频率分布直方图以面积的形式反映数据落在各个小组的频率的大小，各小长方形的面积的总和等于1.
【破解方法】学生可能比较难理解为什么频率分布直方图的纵坐标用频率除以组距，而不是直接用频率．可以从两个角度解释：第一，如果小长方形的高为频率，那么区间越长，小长方形就越高，两个长度不同的区间的频率比较就没有意义；第二，全部小长方形的面积之和为1，这个与总体中落在全部取值范围内的频率为100％是一致的，可以作为总体分布的估计. 图画直方图时，组数和组距的选择没有绝对标准，教科书中给出了原则性的选取建议，并通过探究栏目考察不同组数对直方图的形状的影响。组数越少，直方图丢失样本数据的信息会越多：组数越多，直方图会越依赖样本数据，稳定性也较差，换一组数据可能得到完全不同的直方图．
问题4：怎么理解频率分布直方图的特征？
【答案】当频率分布直方图的组数少、组距大时，容易从中看出数据整体的分布特点，但由于无法看出每组内的数据分布情况，损失了较多的原式数据信息；当频率分布直方图的组数多、组距小时，保留了较多的原始数据信息，但由于小长方形较多，有时图形会变得非常不规则 ，不容易从中看出总体数据的分布特点．
【破解方法】总体的取值规律是确定的，而样本的取值规律却取决于样本，具有随机性.我们知道频率分布直方图的形状还和分组有关，因此用样本频率分布直方图描述样本的取值规律，并据此估计总体的取值规律时，会存在误差，这个误差与样本数据本身有关，还与画直方图时样本数据的分组有关，教学中，可以通过随机模拟演示，让学生体会它们之间的关系.
问题5：除了频率分布直方图，初中我们还学习了哪些图表呢？它们各有什么特点?
【答案】1.常见的其他统计图：条形图、扇形图、折线图．
扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例；
条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率；
折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．
2.各个统计图特点
(1)不同的统计图在表示数据上有不同的特点．如扇形图主要用于直观描述各类数据占总数的比例，条形图和直方图主要用于直观描述不同类别或分组数据的频数和频率，折线图主要用于描述数据随时间的变化趋势．
(2)不同的统计图适用的数据类型也不同．如条形图适用于描述离散型的数据，直方图适用于描述连续性数据．
【破解方法】教科书中首先简单回顾了条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图和频率分布直方图的特点和适用范围，然后通过例1的多组空气质量数据，提出了三个问题，让学生体会如何根据不同的实际问题选择不同的统计图对数据进行可视化描述，并学会用简单的语言描述图形展示的信息，教学中，建议针对每个问题分别试着用不同的统计图展示数据信息，并用语言简单描述统计图表达的信息，理解每种统计图的特点和适用范围，体会合理使用统计图表的重要性.
典例分析
题型一 频率分布直方图的绘制与应用
例1．已知如表：
（1）完成上面的频率分布表；
（2）根据上表，画出频率分布直方图．
【解答】解：（1）样本容量为各组的频数之和，为100，各组的频数除以样本容量，即为各组的频率．得出下表．
（2）
解题技巧（绘制频率分布直方图的注意事项）
1．在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：
(1)若eq \f(极差,组距)为整数，则eq \f(极差,组距)＝组数；(2)若eq \f(极差,组距)不为整数，则eq \f(极差,组距)的整数部分＋1＝组数．
2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，纵使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多.
跟踪训练一
1、在自动车床加工零件的过程中，我们定期地抽取一些样品，测量它们的尺寸，设每次抽取5个零件，共抽取50次，测得尺寸与规定尺寸的偏差记录如下：画出频率分布表和直方图．
【解答】频率直方图（略），频率分布表如下：
题型二 频率分布直方图中的相关计算问题
例2 对某电子元件寿命进行追踪调查，情况如下：
（1）列出频率分布表；
（2）画出频率分布直方图；
（3）估计寿命在以内的电子元件在总体中占的比例；
（4）估计寿命在以上的电子元件在总体中占的比例．
【解答】解：（1）样本频率分布表如下：
（2）频率分布直方图如下：
（3）估计电子元件寿命在的在总体中占的比例为，
（4）估计电子元件寿命在以上的在总体中占的比例为．
解题技巧 (计算规律)
1.因为小长方形的面积=组距×频率组距=频率,所以各小长方形的面积表示相应各组的频率.这样,频率分布直方图就以面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
2.在频率分布直方图中,各小长方形的面积之和等于1.
3.频数相应的频率=样本量.
4.在频率分布直方图中,各长方形的面积之比等于频率之比,各长方形的高度之比也等于频率之比.
跟踪训练二
1．为了了解小学生的体能情况，抽取了某小学同年级部分学生进行跳绳测试，将所得的数据整理后画出频率分布直方图（如图），已知图中从左到右各小长方形的面积之比为，第四小组频数为10．
（1）求第四小组的频率和参加这次测试的学生人数；
（2）参加这次测试跳绳次数在100次以上为优秀，试估计该校此年级跳绳成绩的优秀率是多少？
【解答】解：（1）从左到右各小长方形的面积之比为，
第四小组的频率为：，
又第二小组频数为12．
样本容量是
参加这次测试的学生人数为50人，
（2）次数在100以上为优秀，
则后两组的学生均为优秀，
则该校此年级跳绳成绩的优秀率是.
题型三 对折线图、扇形图、条形图的识读
例3 某集团公司经过五年的产业结构调整，优化产业结构使集团营业收入不断增长，公司今年的年收入比五年前翻了两番．为了更好地分析各工厂的产值变化情况，统计前后产值占比情况，得到如图所示的饼图：
则下列结论正确的是
A．产业结构调整后生物制药的收入增幅最快
B．产业结构调整后食品加工的收入是超过调整前金融产业的收入
C．产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入
D．产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有降低
【解答】解：公司今年的年收入比五年前翻了两番，
设五年前年收入为，则今年的年收入为，
根据饼形图得五年前金融产业产值为，
机械加工产业产值为，食品加工产业产值为，
生物制药产业产值为，今年金融产业产值为，
机械加工产业产值为，食品加工产业产值为，
生物制药产业产值为，
由以上数据计算得到产业结构调整后生物制约的收入增幅最快，故正确；
产业结构调整后食品加工产业收入的调整前金融产业收入的，故选项正确；
产业结构调整后机械加工的收入是五年前的总收入，故正确；
产业结构调整后金融产业收入相比调整前金融产业收入略有升高，故错误．
故选：．
解题技巧（各类统计图的特点）
条形统计图反映各组数据的频数或频率；
扇形统计图反映各组数据占总数的比例；
折线统计图反映数据随时间的变化趋势．
跟踪训练三
1．是一款具有社交属性的健身，致力于提供健身教学、跑步、骑行、交友及健身饮食指导、装备购买等一站式运动解决方案．可以让你随时随地进行锻炼，记录你每天的训练进程．不仅如此，它还可以根据不同人的体质，制定不同的健身计划．小明根据记录的2019年1月至2019年11月期间每月跑步的里程（单位：十公里）数据整理并绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是
A．月跑步里程最小值出现在2月
B．月跑步里程逐月增加
C．月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数
D．1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月波动性更小
【解答】解：由所给折线图可知，月跑步里程并不是逐递增，故错误；
月跑步里程最小值出现在2月，故正确；
月跑步里程中位数为5月份对应的里程数，故正确；
1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月，波动性更小，故正确．
故选：．
9.2.2 总体百分数的估计
教学过程设计
一、情景导入
前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断，接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？
二、预习课本，引入新课
阅读课本201-203页，思考并完成以下问题
问题1第p百分位数定义是什么？
【答案】第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
【破解方法】百分位数直观上比较容易理解，它把一组按大小排列的数据 分成相应百分比的两部分.为了使得对任何一组数据都存在任意的百分位数，百分位数的定义表述却不是很容易理解，教科书中给出的是一组数据的百分位数的定义，因为不管是对有限总体，还是从总体中抽取的样本，观测得到的都是一组数据.如果这组数据是总体中所有个体的观测值，那么该定义就是总体百分位数.如果这组数据是样本的观测值，那么该定义就是样本的百分位数.教学中，对于百分位数概念的理解，要注意强调它的直观含义.
问题2：计算第p百分位数的步骤？
【答案】计算第p百分位数的步骤
第1步，按从小到大排列原始数据．
第2步，计算i ＝n×p%.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
【破解方法】学生思考并讨论，探究第p百分位数的步骤.
问题3：第p百分位数含有哪些常用的四分位？
【答案】四分位数,常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．
【破解方法】25%分位数称为下四分位数或第一四分位数， 75%分位数称为上四分位数或第三四分位数，上四分位数减下四分位数称为四分位极差，50%的数据落在下四分位数和上四分位数之间.在假设检验中，常用1%，5%，10%，90%，95%和99%的分位数.
典例分析：
题型一 百分位数在具体数据中的应用
例1从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：如下：
9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0．
（1）分别求出这组数据的第25，75，95百分位数；
（2）请你找出珍珠质量较小的前的珍珠质量；
（3）若用第25，50，95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
【解答】解：（1）将所有数据从小到大排列，得7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，所以，，，
则第25百分位数是，
第75百分位数是，
第95百分位数是第12个数据为9.9．
（2）因为共有12个数据，所以，则第15百分位数是第2个数据为7.9．
即产品质量较小的前的产品有2个，它们的质量分别为7.8，7.9．
（3）由（1）可知样本数据的第25百分位数是8.15 ，第50百分位数为8.5 ，
第95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15的珍珠为次品，
质量大于8.15 且小于或等于8.5 的珍珠为合格品，
质量大于8.5 且小于等于9.9的珍珠为优等品，质量大于9.9 的珍珠为特优品．
解题技巧（计算一组n个数据的第p百分位数的步骤）
第1步,按从小到大排列原始数据.
第2步,计算i=n×p%.
第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数.
跟踪训练一
1. 某蟹农为了估计今年养的螃蟹的最大质量，从湖中捕捞了9只螃蟹，并进行了称重，质量（单位：如下：158，70，103，84，125，53，93，60，208．
（1）求这9只螃蟹质量的分位数；
（2）求这9只螃蟹质量的分位数．
【解答】解：9只螃蟹的质量，由小及大排列为：53，60，70，84，93，103，125，158，208；
（1），所以这9只螃蟹质量的分位数为60；
（2），所以这9只螃蟹质量的分位数为：125．
题型二 百分位数在统计表或统计图中的应用
例2 对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调 查统计后得到频率分布直方图（如图），但是年龄组为、的数据不慎丢失，则依据此图可得：
（1），年龄组对应小矩形的高度为 0.04 ；
（2）由频率分布直方图估计志愿者年龄的分位数为 岁．
【解答】解：（1）设年龄在，内对应小长方形的高度为，
则，解得：，
，年龄组对应小矩形的高度为0.04．
（2）年龄小于35岁的频率为，
年龄小于40岁的频率为，
志愿者年龄的分位数在，内，
志愿者年龄的分位数为（岁．
解题技巧 (频率直方图计算百分位数的规律)
求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出i＝n×p%，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值．
跟踪训练二
1. 某校研究性学习课题小组为了了解某市工薪阶层的工资水平，从该市工薪阶层中随机调查了50位市民，调查结果如表．
（1）完成如图的月收入频率分布直方图（注意填写纵坐标）；
（2）估计该市工薪阶层月收入的第25和70百分位数；
【解答】解：（1）各组的频率分别是0.1，0.2，0.3，0.2，0.1，0.1，
所以频率分布直方图中各组的纵坐标分别是0.01，0.02，0.03，0.02，0.01，0.01，
故月收入频率分布直方图如图所示：
（2）由（1）可知，月收入在25百元以下所占比例为，
月收入在35百元以下所占的比例为，
因此分位数一定在，内，
则，
月收入在45百元以下所占的比例为，
月收入在55百元以下所占的比例为，
因此分位数一定在，内，
则，
所以估计该市工薪阶层月收入的第25和70百分位数分别为32.5和52.5．
总体集中趋势的估计
一、情景导入
在初中我们学过众数、中位数和平均数的概念，他们都是描述一组数据的集中趋势大的特征数，只是描述的角度不同，回忆它们的定义及特点，在频率分布直方图中怎样求这些特征.
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本203-207页，思考并完成以下问题
问题1： 众数、中位数、平均数各是什么样的数？
【答案】众数、中位数、平均数定义
(1)众数：一组数据中重复出现次数最多的数．
(2)中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置(或中间两个数的平均数)的数叫做这组数据的中位数．
(3)平均数：如果n个数x1，x2，…，xn，那么eq \x\t(x)＝eq \f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)叫做这n个数的平均数．
【破解方法】如果一组数据的平均数和中位数相差较大，那么可以推断这组数据一定是不对称的。如果样本平均数大于样本中位数，说明数据中存在较大的极端值;反之，说明数据中不存在较大的极端值.在实际应用中， 如果同时知道样本中位数和样本平均数，可以使我们了解样本数据中极端数据的信息，帮助我们做出决策.
问题2：在频率分布直方图中如何求众数、中位数、平均数？
【答案】频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标；
②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等；
③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．
【破解方法】由样本观测数据计算得到的中位数与通过频率分布直方图估计的中位数可能不同，引起不同的原因是频率分布直方图已经损失了一些样本的信息进一步地， 总体的各种数字特征都可以由两种途径来估计，即直接利用样本数据或由频率分布直方图来估计.在有样本原始数据时，尽量用原始数据直接计算平均数和中位数等;在没有样本原始数据，但有整理好的频率分布直方图等时，也可以近似计算样本平均数和中位数等，从而估计总体平均数和中位数等.通过这部分内容的学习，可以让学生体会统计方法没有对错，只有好坏之分，在解决实际问题时应该寻求更好的方法.
典例分析
题型一 平均数、中位数、众数在具体数据中的应用
例1 一名数学教师执教两个班级，在一次期末考试中，一班有25名学生，班级平均分为96分，二班有24名学生，班级平均分为90分．那么这两个班的平均分是 ．
【解答】解：根据题意，在一次期末考试中，一班有25名学生，班级平均分为96分，二班有24名学生，班级平均分为90分．
那么这两个班的平均分；
故答案为：93.06．
解题技巧（众数、中位数、平均数的意义）
(1)样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大．
(2)当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势．
跟踪训练一
1．从甲、乙、丙三个厂家生产的同一种产品中，各抽出8件产品，对其使用寿命进行跟踪调查，结果如下（单位：年）
甲：3，4，5，6，8，8，8，10；
乙：4，6，6，6，8，9，12，13；
丙：3，3，4，7，9.10，11，12．
三家广告中都称该产品的使用寿命是8年，请根据调查结果判断厂家在广告中分别运用了平均数、众数、中位数中的哪一种集中趋势的特征数．
【解答】解：对甲分析：8出现的次数最多，故运用了众数；
对乙分析：8既不是众数，也不是中位数，求数据的平均数可得，平均数，故运用了平均数；
对丙分析：共8个数据，最中间的是7与9，故其中位数是8，即运用了中位数．
题型二 在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数
例2 观察新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图所示，则新生婴儿体重在，的频率约为
A．0.1B．0.3C．0.45D．0.5
【解答】解：频率分布直方图：小长方形的面积组距，
新生婴儿体重在的频率为
则新生婴儿体重在，的频率约为
新生婴儿体重在的频率为
则新生婴儿体重在，的频率约为
故新生婴儿体重在，的频率约为
故选：．
解题技巧： (统计活动的注意事项)
在统计活动中，尤其是大型的统计活动，为避免一些外界因素的干扰，通常需要确定调查的对象、调查的方法与策略，需要精心设计前期的准备工作和收集数据的方法，然后对数据进行分析，得出统计推断．
跟踪训练二
1. 如图是根据某地2019年4月上旬每天的最低气温绘成的折线图，那么这段时间最低气温的极差、众数、中位数依次是
A．5，5，4.5B．5，5，4C．4，5，4D．4，5，4.5
【解答】答案
解：这10日的最低气温依次是，，，，，，，，，，故这10日的最低气温的极差是5，众数是5，
将这10日的最低气温按从小到大的顺序排列是，，，，，，，，，，
中间两个数是，，故这组数据的中位数为．
故选：．
总体离散程度的估计
一、情景导入
在初中我们学过方差、中位数和平均数标准差的概念，他们都是描述一组数据的离散程度的特征数.回忆它们的定义及特点，用样本平均数和样本标准差怎样估计总体.
要求：让学生自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探.
二、预习课本，引入新课
阅读课本209-213页，思考并完成以下问题
问题1： 标准差和方差各指什么？
【答案】1.方差、标准差的定义
一组数据x1，x2，…，xn，用eq \x\t(x)表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(xi－eq \x\t(x))2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n,x)eq \\al(2,i)－eq \x\t(x)2，标准差为eq \r(\f(1,n)\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2).
2.总体方差、总体标准差的定义
如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为eq \x\t(Y)，则称S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,N, )(Yi－eq \x\t(Y))2
为总体方差，S＝eq \r(S2)为总体标准差．如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝eq \f(1,N)eq \i\su(i＝1,k,f)i(Yi－eq \x\t(Y))2.
3.样本方差、样本标准差的定义
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为eq \x\t(y)，则称s2＝eq \f(1,n)eq \i\su(i＝1,n, )(yi－eq \x\t(y))2
为样本方差，s＝eq \r(s2)为样本标准差．
【破解方法】方差的概念比平均数的概念难理解，它是刻画一组数据离散程度的统计指标.教科书从定义一组数据的方差开始，如果这组数据是总体的普查结果就得到总体方差，如果这组数据是从总体中通过简单随机抽样得到的样本观测数据就得到样本方差的观测值.
问题2：标准差和方差的特征各是什么？
【答案】方差、标准差特征
标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差．
【破解方法】在实际应用中，方差和标准差常被理解为稳定性.例如，在比较两个人的成绩时，标准差小意味着成绩稳定;在描述产品的质量时，标准差越小，说明产品的质量越稳定.
典例分析
题型一 标准差与方差的应用
例1 在一次试验中，所抽取的样本共有5个个体，其值分别为0，1，2，3，．若该样本的平均值为1，则样本的标准差为
A．2B．C．D．
【解答】解：样本，0，1，2，3的平均值为1，
，
解得，
则样本的标准差，
故选：．
解题技巧（实际应用中标准差、方差的意义）
在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高．
跟踪训练一
1．随机调查某校50个学生的午餐费，结果如下表，这50个学生午餐费的平均值和方差分别是
A．4，0.6B．4，C．4.2，0.56D．4.2，
【解答】解：根据题意，得
这50个学生午餐费的平均值是
，
方差是
．
故选：．
题型二 用样本平均数和样本标准差估计总体
例2 甲、乙、丙三名射击运动员在某场测试中各射击20次，3人的测试成绩如下表．
试根据以上数据，判断他们谁更优秀．
【解答】解：甲的平均数
乙的平均数
丙的平均数
故甲的成绩更优秀．
解题技巧 (用样本平均数和样本标准差估计总体注意事项)
（1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差.
（2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换．
跟踪训练二
1. 某农场为了从三种不同的西红柿品种中选取高产稳定的西红柿品种，分别在五块试验田上试种，每块试验田均为0.5公顷，产量情况如下：
问：哪一品种的西红柿既高产又稳定？
【解答】解：，
，
，
，
，
．
由，而，
故说明第1种西红柿品种既高产又稳定．
六、【教学成果自我检测】
1．课前预习
设计意图：落实与理解教材要求的基本教学内容.
1．北京市某年12个月的平均浓度指数如图所示，由图判断，四个季度中的平均浓度指数方差最大的是
A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度
【解答】解：根据图中数据知：
第一季度的数据是72.25，43.96，93.13；
第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；
第三季度的数据是59.36，38.67，51.6；
第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；
观察得出第四季度的数据波动性最大，
所以第四季度的平均浓度指数方差最大．
故选：．
2．已知有若干辆汽车通过某一段公路，从中抽取100辆汽车进行测速分析，其时速的频率分布直方图如图所示，那么时速在区间，内的汽车辆数大约为
A．30B．35C．40D．45
【解答】解：由频率分布直方图得：
时速在区间，内的频率为：，
时速在区间，内的汽车辆数大约为：
．
故选：．
3．某工厂对一批产品进行了抽样检测．如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是，，样本数据分组为，，，，，，，，，，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是 ．
【解答】解：由题意可知：样本中净重在，的产品的频率，
样本容量，
样本中净重在，的产品个数．
故答案为90．
4．某班有学生40人，将其数学成绩平均分为两组，第一组的平均分为80，标准差为4，第二组的平均分为90，标准差为6，则该班40名学生的数学成绩平均分为 ，标准差为 ．
【解答】解：该班数学成绩的平均分为
；
这次数学成绩的方差是
；
它的标准差是．
故答案为：85，．
5．某面包店推出一款新面包，每个面包的成本价为4元，售价为10元，该款面包当天只出一炉（一炉至少15个，至多30个），当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．为了确定这一炉面包的个数，该店记录了这款新面包最近30天的日需求量（单位：个），整理得如表：
（1）以30天记录的各日需求量的频率代替各日需求量的概率，求这款新面包日需求量不少于21个的概率；
（2）该店在这30天内，这款新面包每天出炉的个数均为21．
（ⅰ）若日需求量为15个，求这款新面包的日利润；
（ⅱ）求这30天内这款面包的日利润的平均数．
【解答】解：（1）这款新面包日需求量不少于21个的频率为，
这款新面包日需求量不少于21个的概率为．
（2）若日需求量为15个，则这款新面包的日利润为：
（元，
若日需求量为18个，则这款新面包的日利润为：
（元，
若日需求量不少于21个，则这款新面包的日利润为：
（元，
这30天内这款面包的日利润的平均数为：
（元．
2．课堂检测
设计意图：例题变式练.
1．某校统计了1000名学生的数学期末考试成绩，已知这1000名学生的成绩均在50分到150分之间，其频率分布直方图如图所示，则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为
A．10B．20C．40D．60
【解答】解：由频率分布直方图得：
这1000名学生中成绩在130分以上的频率为：
，
则这1000名学生中成绩在130分以上的人数为人．
故选：．
2．一实体店主对某种产品的日销售量（单位：件）进行为期天的数据统计，得到如下统计图，则下列说法错误的是
A．
B．中位数为17
C．众数为17
D．日销售量不低于18的频率为0.5
【解答】解：由条形统计图得：，故正确；
中位数为，故错误；
众数为17，故正确；
日销售量不低于18的频率为：，故正确．
故选：．
3．为了解某校高二学生联考数学成绩分布，从该校参加联科的学生数学成绩中抽取一个样本，并分成5组，绘成如图所示的频率分布直方图，若第一组至第五组数据的频率之比为，最后一组数据的频率是6，则样本容量为 ；众数为 ．
【解答】解：该校高二学生数学成绩最后一组的概率为
，
样本容量为
；
又根据频率分布直方图，得
众数应在的中点处，
为．
故答案为：40，102.5．
4．某班有学生40人，将其数学成绩平均分为两组，第一组的平均分为80，标准差为4，第二组的平均分为90，标准差为6，则该班40名学生的数学成绩平均分为 ，标准差为 ．
【解答】解：该班数学成绩的平均分为
；
这次数学成绩的方差是
；
它的标准差是．
故答案为：85，．
5．某高科技公司投入1000万元研发某种产品，大规模投产后，在产品出库进入市场前，需做严格的质量检验．为此，从库房的产品中随机抽取200件，检测一项关键的质量指标值（记为，由检测结果得到如下样本频率分布直方图：
（1）求这200件产品质量指标值的样本平均数、样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；
（2）该公司规定：当时，产品为正品；当时，产品为次品．公司每生产一件这种产品，若是正品，则盈利80元；若是次品，则亏损20元．
①估计这200件产品中正品、次品各有多少件；
②求公司生产一件这种产品的平均利润．
【解答】解：（1）取每个区间中点值为区间代表计算平均数为：
，
方差为：
；
（2）①由题意知，产品是正品的频率为，
则200件产品中是正品的件数为（件，是次品的件数为20件；
②由题意知，生产一件产品的平均利润为（元．
3．课后作业
设计意图：巩固提升.
1.课本213页练习
2.课本习题9.2复习巩固及综合运用
七、【教学反思】
宽度分组
频数
频率
，
1
，
1
，
6
，
20
，
44
，
23
，
4
，
1
寿命
个数
20
30
80
40
30
寿命
频数
频率
20
0.10
30
0.15
80
0.40
40
0.20
30
0.15
合计
200
1
月收入（单位：百元）
，
，
，
，
，
，
频数
5
10
15
10
5
5
餐费（元
3
4
5
人数
10
20
20
丙的成绩
乙的成绩
甲的成绩
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5
频数
6
4
4
6
频数
4
6
6
4
日需求量
15
18
21
24
27
频数
10
8
7
3
2
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